山東省威海市2022年高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1為了測算如圖所示的陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲600個點已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計陰影部分的面積是A4B3C2D12圓

2、與圓的公切線有幾條（）A1條B2條C3條D4條3若集合，則( )ABCD4有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（ ）A殘差平方和變小B方差變大C相關(guān)指數(shù)變小D解釋變量與預報變量的相關(guān)性變?nèi)?已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是ABCD6設(shè)函數(shù),（ ）A3B6C9D127袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（ ）A310 B35 C18設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若240，則展開式中x的系數(shù)

3、為（ ）A300B150C150D3009設(shè)函數(shù)f(x)，x表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)yf(x)的值域為()A0B1,0C1,0,1D2,010函數(shù)的圖像恒過定點，若定點在直線上，則的最小值為（ ）A13B14C16D1211已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則的通項公式可能是（ ）ABCD12歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（ ）A1BCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖), ，則這塊菜地的面積為_14記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，

4、則_15設(shè)全集，集合，則_16已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，（）當時，求的最小值；（）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點18（12分）如圖，三棱錐中，（1）求證：；（2）求二面角的余弦值19（12分）某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學生中,身不低于1.69米的學生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.(I)求該市

5、高一學生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學生中隨機選取3名學生,記為身高在的學生人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望；()若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.20（12分）已知函數(shù).()當時,求曲線在點處的切線方程;()若存在兩個極值點,證明:.21（12分）（1）解不等式: （2）設(shè)，求證：22（10分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.參考答案一、選擇題：本題共1

6、2小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)幾何概率的計算公式可求，向正方形內(nèi)隨機投擲點，落在陰影部分的概率，即可得出結(jié)論【詳解】本題中向正方形內(nèi)隨機投擲600個點，相當于600個點均勻分布在正方形內(nèi)，而有200個點落在陰影部分，可知陰影部分的面積故選：B【點睛】本題考查的是一個關(guān)于幾何概型的創(chuàng)新題，屬于基礎(chǔ)題解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂題目意思，然后與學過的知識相聯(lián)系轉(zhuǎn)化為熟悉的問題在利用幾何概型的概率公式來求其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時的等可能性主要體現(xiàn)在點落在區(qū)域上任置都是等

7、可能的，而對于角度而言，則是過角的頂點的一條射線落在的區(qū)域（事實也是角）任一位置是等可能的2、C【解析】首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【詳解】圓，圓心 ，圓 ,圓心，圓心距 兩圓外切，有3條公切線.故選C.【點睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡單題型.3、A【解析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點睛：本題考查集合的綜合運算，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強，由相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系得出選項.【詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關(guān)性加強，且為正相關(guān)，所以變大，變大，殘差平方和

8、變小，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)線性相關(guān)性強弱的問題，涉及到的知識點有相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)，以及殘差平方和與相關(guān)性的關(guān)系，屬于簡單題目.5、B【解析】試題分析：如圖，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面PBC底面ABCD，底面ABCD是正方形,且邊長為20，那么利用體積公式可知,故選B.考點：本題主要考查三視圖、椎體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力點評：解決該試題的關(guān)鍵是由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面垂直底面，底面是正方形，根據(jù)數(shù)據(jù)計算其體積6、C【解析】.故選C.7、C【解析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅

9、球的概率為35考點：1、條件概率；2、獨立事件8、B【解析】分別求得二項式展開式各項系數(shù)之和以及二項式系數(shù)之和，代入，解出的值，進而求得展開式中的系數(shù).【詳解】令，得，故，解得.二項式為，展開式的通項公式為，令，解得，故的系數(shù)為.故選B.【點睛】本小題主要考查二項式展開式系數(shù)之和、二項式展開式的二項式系數(shù)之和，考查求指定項的系數(shù)，屬于中檔題.9、B【解析】依題意，由于，所以.當時，當時，故的值域為.故選B.【點睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查新定義函數(shù)的意義，考查了分類討論的數(shù)學思想方法.屬于中檔題.10、D【解析】分析：利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點，將點的坐標代入，結(jié)合題意，利用基本

10、不等式可得結(jié)果.詳解：時，函數(shù)值恒為，函數(shù)的圖象恒過定點，又點在直線上，又，（當且僅當時取“=”），所以，的最小值為，故選D.點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題. 利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.11、D【解析】由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故 所以當時，則的通項公式可能是故選

11、：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、B【解析】由題意將復數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復數(shù)的運算化簡即可得答案【詳解】由 得 故選B【點睛】本題考查歐拉公式的應用，考查三角函數(shù)值的求法與復數(shù)的化簡求值，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先由斜二測圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【詳解】由幾何關(guān)系可得，斜二測圖形中：，由斜二測圖形還原平面圖形，則原圖是一個直角梯形，其中上下底的長度分別為1,2，高為，其面積.【點睛】本題主要考查斜二測畫法，梯形的面積公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能

12、力和計算求解能力.14、【解析】由曲線與直線聯(lián)立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案?！驹斀狻柯?lián)立 ，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【點睛】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。15、【解析】利用已知求得：，即可求得：，再利用并集運算得解.【詳解】由可得：或所以所以所以故填：【點睛】本題主要考查了補集、并集的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題16、4【解析】函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，故答案為4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）

13、0；（）證明見解析【解析】（）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的最小值；（）對函數(shù)求導得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求解即可.【詳解】解：（）當時，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增故當時，（） 由可知，當時，設(shè)，則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增又 故存在唯一，使得當時，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，此時當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減又因為故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理的應用，屬于中檔題.18、 (1)見證明；(2) 【解析】（1）取AB的中點D，連結(jié)PD，CD推導出A

14、BPD，ABCD，從而AB平面PCD，由此能證明ABPC（2）作POCD交CD于O，作PEBC，連結(jié)OE推導出POAB，從而PO平面ABC，由三垂線定理得OEBC，從而PEO是所求二面角PBCA的平面角，由此能求出二面角PBCA的余弦值【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，.因為，所以，所以平面，因為平面，所以.（2）作交于，又由POAB，所以PO平面ABC，作，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，在直角中，則，所以【點睛】本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題19、 (I) 見解析;

15、（）見解析；() 見解析.【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學生的身高高于1.70 的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值. (II)先求出從這批學生中隨機選取1名，身高在的概率，再利用二項分布寫出的分布列和數(shù)學期望. ()先分別計算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解： (I)由圖2 可知，100名樣本學生中身高高于1.70米共有15 名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學生的身高高于1.70 的概率為0.15.記為學生的身高，結(jié)合圖1可得:，,又由于組距為0.1,所以，（）以樣本的頻率估計總體的概率，可得: 從這批學生中隨機選取1名，身高在的

16、概率.因為從這批學生中隨機選取3 名，相當于三次重復獨立試驗，所以隨機變量服從二項分布，故的分布列為:01230.0270.1890.4410.343（或()由，取由（）可知，,又結(jié)合(I)，可得:，所以這批學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，應該認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的. 點睛：(1)本題不難，但是題目的設(shè)計比較新穎，有的同學可能不能適應. 遇到這樣的問題,首先是認真審題，理解題意，再解答就容易了. (2)在本題的解答過程中，要靈活利用頻率分布圖計算概率.20、 ()切線方程為y=0；()證明見解析【解析】（）求出當k=2時的函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由直線的點斜式

17、方程，可得切線方程；（）由題意存在兩個極值點,求導令導函數(shù)得0可得,，將之代入轉(zhuǎn)化成證明，再由函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】()當k=2時,即有f(1)=0，所以,f(1)=0.所以切線方程為y=0；()因為，存在兩個極值點,所以,是的根，設(shè)，,所以,，解得，因為，因為，即證，即證又，則轉(zhuǎn)化為，即證，由()可知,當k=2時,在（0，+）單調(diào)遞減，而，因為，即恒成立，故得證.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)證明不等式恒成立，證明不等式恒成立通常運用轉(zhuǎn)化思想，本題將不等式轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)求單調(diào)性，在利用導數(shù)單調(diào)性進行證明，屬于難題.21、（1）（2）見解析【解析】（1）根據(jù)零

18、點分段法，分三段建立不等式組，解出各不等式組的解集，再求并集即可.（2）運用柯西不等式，直接可以證明不等式，注意考查等號成立的條件，.【詳解】（1）解： 原不等式等價于 或 或 即： 或 或 故元不等式的解集為：（2）由柯西不等式得，當且僅當，即時等號成立.所以【點睛】本題考查絕對值不等式得解法、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力.含絕對值不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對值再解（2）零點分段法：通常適用于含有兩個及兩個以上的絕對值符號的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負實數(shù)時（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；22、（1）見解析；（2）證明見解析【解析】（1）計算導數(shù)，采用分類討論的方法，與，根據(jù)導數(shù)的符號判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導數(shù)研究新函數(shù)