最短路徑算法

1、最短路徑算法 Dijkstra算法在日常生活中，我們?nèi)绻枰３Ｍ礎(chǔ)地區(qū)和B地區(qū)之間，我們最希望知道的可能是從A地區(qū)到B地區(qū)間的眾多路徑中，那一條路徑的路途最短。最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題， 旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。 算法具體的形式包括：（）確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。（）確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。在無(wú)向圖中該問(wèn)題與確定起點(diǎn)的問(wèn)題完全等同，在有向圖中該問(wèn)題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問(wèn)題。引入（）確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題：即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)

2、點(diǎn)之間的最短路徑。（）全局最短路徑問(wèn)題：求圖中所有的最短路徑。用于解決最短路徑問(wèn)題的算法被稱做“最短路徑算法”， 有時(shí)被簡(jiǎn)稱作“路徑算法”。 最常用的路徑算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。Dijkstra算法是典型最短路算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計(jì)算的節(jié)點(diǎn)很多，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

3、，圖論，運(yùn)籌學(xué)等等。Dijkstra算法Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想為：設(shè)G=(V,E)是一個(gè)帶權(quán)有向圖，把圖中頂點(diǎn)集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合（用S表示，初始時(shí)S中只有一個(gè)源點(diǎn)，以后每求得一條最短路徑 , 就將 加入到集合S中，直到全部頂點(diǎn)都加入到S中，算法就結(jié)束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合（用U表示），按最短路徑長(zhǎng)度的遞增次序依次把第二組的頂點(diǎn)加入S中。在加入的過(guò)程中，總保持從源點(diǎn)v到S中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度不大于從源點(diǎn)v到U中任何頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度。此外，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)距離，S中的頂點(diǎn)的距離就是從v到此頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，U中的頂點(diǎn)

4、的距離，是從v到此頂點(diǎn)只包括S中的頂點(diǎn)為中間頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度。Dijkstra算法具體步驟（1）初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)，即S（U,V）的距離為0。U包含除v外的其他頂點(diǎn)，U中頂點(diǎn)u距離為邊上的權(quán)（若v與u有邊）或 ）（若u不是v的出邊鄰接點(diǎn)）。（2）從U中選取一個(gè)距離v最小的頂點(diǎn)k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長(zhǎng)度）。（3）以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改U中各頂點(diǎn)的距離；若從源點(diǎn)v到頂點(diǎn)u（u U）的距離（經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）比原來(lái)距離（不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）短，則修改頂點(diǎn)u的距離值，修改后的距離值的頂點(diǎn)k的距離加上邊上的權(quán)。（4）重復(fù)步驟（2）和（3）直到所有頂點(diǎn)都包含在S中。如下圖，設(shè)A為源點(diǎn)，求A到其他各頂點(diǎn)（B、C、D、E、F）的最短路徑。線上所標(biāo)注為相鄰