研究生入學(xué)考試大綱高等代數(shù)

1、高等代數(shù)考試的基本要求:要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本觀點(diǎn)和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生擁有抽象思想能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)剖析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?？荚噧?nèi)容和考試要求:一、多項(xiàng)式理論考試內(nèi)容多項(xiàng)式的有關(guān)觀點(diǎn)和基天性質(zhì)一元多項(xiàng)式的帶余除法最大公因式的性質(zhì)多項(xiàng)式唯一分解定理多元多項(xiàng)式的觀點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的基天性質(zhì)考試要求1理解和掌握基本觀點(diǎn)，如整除、不行約性、互素、重因式、對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式等，熟習(xí)一元多項(xiàng)式最大公因式的性質(zhì)，知道多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域及有理數(shù)域上分解的特別性。2熟習(xí)(Euclid)帶余除法，正確理解多項(xiàng)式獨(dú)一分解定理，可以理解和運(yùn)用余數(shù)定

2、理和重因式判斷定理。3理解高斯(Gauss)引理，可以運(yùn)用艾森斯坦(Eisenstein)鑒別法判斷整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的不行約性。4理解代數(shù)基本定理。二、隊(duì)列式考試內(nèi)容隊(duì)列式的觀點(diǎn)和基天性質(zhì)隊(duì)列式計(jì)算隊(duì)列式按行（列）睜開(kāi)定理拉普拉斯(Laplace)定理及隊(duì)列式的乘法法例考試要求1.理解隊(duì)列式的觀點(diǎn)，掌握隊(duì)列式的性質(zhì)、拉普拉斯(Laplace)定理及隊(duì)列式的乘法法則。會(huì)應(yīng)用隊(duì)列式觀點(diǎn)和基天性質(zhì)計(jì)算隊(duì)列式，可以嫻熟掌握隊(duì)列式按行（列）睜開(kāi)定理，可以運(yùn)用遞推公式計(jì)算一些經(jīng)典種類(lèi)的隊(duì)列式。三、向量和矩陣考試內(nèi)容向量的線性組合和線性表示向量組的等價(jià)向量組的線性有關(guān)與線性沒(méi)關(guān)向量組的極大線性沒(méi)關(guān)組

3、向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系矩陣的觀點(diǎn)矩陣的基本運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置陪伴矩陣逆矩陣的觀點(diǎn)和性質(zhì)矩陣可逆的充分必需條件矩陣的初等變換和初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價(jià)分塊矩陣及其運(yùn)算考試要求理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等觀點(diǎn)。理解向量組線性有關(guān)、線性沒(méi)關(guān)的定義、嫻熟掌握判斷向量組線性有關(guān)、線性沒(méi)關(guān)的方法。理解向量組的極大線性沒(méi)關(guān)組和向量組的秩的觀點(diǎn)，會(huì)求向量組的極大線性沒(méi)關(guān)組及秩。理解向量組等價(jià)的觀點(diǎn)、清楚向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。理解矩陣的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)單位矩陣、數(shù)目矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣，熟習(xí)它們的基天性質(zhì)。掌握矩陣的數(shù)乘、加法、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。認(rèn)識(shí)方陣的多項(xiàng)

4、式觀點(diǎn)。理解逆矩陣的觀點(diǎn)，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的鑒別條件，理解陪伴矩陣的觀點(diǎn)，會(huì)用陪伴矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換、初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件，理解矩陣的秩的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)矩陣的秩與隊(duì)列式的關(guān)系。認(rèn)識(shí)矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系，認(rèn)識(shí)n階方陣非退化的觀點(diǎn)及充分必需條件，嫻熟掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。熟習(xí)分塊矩陣及其運(yùn)算。四、線性方程組考試內(nèi)容線性方程組的克萊姆（Cramer）法例齊次線性方程組有非零解的充分必需條件非齊次線性方程組有解的充分必需條件線性方程組解的性質(zhì)和解的構(gòu)造齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解解空間及其維數(shù)非齊次線性方程組的通解考試要求會(huì)用克萊姆法

5、例求解線性方程組。掌握齊次線性方程組有非零解的充分必需條件及非齊次線性方程組有解的充分必需條件。嫻熟掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的觀點(diǎn)，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。理解非齊次線性方程組解的構(gòu)造及通解的觀點(diǎn)。掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。五、二次型考試內(nèi)容二次型及其矩陣表示非退化線性替代與矩陣合同二次型的秩慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形二次型及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性考試要求掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替代與矩陣合同的觀點(diǎn)及性質(zhì)，清楚二次型的非退化線性替代與二次型矩陣合同的關(guān)系。嫻熟掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、秩、規(guī)范形的觀點(diǎn)以及慣性定理，理解復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充分

6、必需條件。會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。掌握二次型及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的觀點(diǎn)及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的鑒別法。六、線性空間考試內(nèi)容會(huì)合與映照的基本觀點(diǎn)線性空間的觀點(diǎn)與基天性質(zhì)線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)線性空間中的基變換與坐標(biāo)變換過(guò)渡矩戰(zhàn)線性子空間及其運(yùn)算線性空間的同構(gòu)考試要求熟習(xí)會(huì)合與映照的觀點(diǎn)。理解線性空間的觀點(diǎn)掌握線性子空間的判斷方法。掌握線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)等基本觀點(diǎn)和性質(zhì)。掌握線性空間的基變換公式和坐標(biāo)變換與過(guò)渡矩陣的關(guān)系。理解生成子空間的觀點(diǎn)，掌握求子空間基和維數(shù)的方法。掌握子空間的交、和、直積運(yùn)算及其性質(zhì)。認(rèn)識(shí)線性空間同構(gòu)的觀點(diǎn)，認(rèn)識(shí)同構(gòu)映照的性質(zhì)。七、線性變換，矩陣的

7、特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量考試內(nèi)容線性變換的觀點(diǎn)和簡(jiǎn)單性質(zhì)線性變換的運(yùn)算線性變換的矩戰(zhàn)線性變換（矩陣）的特點(diǎn)值、特點(diǎn)向量和特點(diǎn)子空間線性變換的特點(diǎn)多項(xiàng)式及Hamilton-Caylay定理矩陣相似的觀點(diǎn)及性質(zhì)矩陣可對(duì)角化的充分必需條件線性變換的值域與核線性變換的不變子空間矩陣的若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型考試要求掌握線性變換的觀點(diǎn)、基天性質(zhì)及運(yùn)算。理解線性變換的矩陣，認(rèn)識(shí)線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。掌握線性變換及其矩陣的特點(diǎn)值、特點(diǎn)向量、特點(diǎn)多項(xiàng)式的觀點(diǎn)及性質(zhì)，可以嫻熟地求解線性變換及矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量。認(rèn)識(shí)對(duì)于特點(diǎn)多項(xiàng)式的Hamilton-Caylay定理，認(rèn)識(shí)矩陣的跡。掌握線性變換的特點(diǎn)子空間、線性

8、變換的不變子空間的觀點(diǎn)。掌握矩陣相像的觀點(diǎn)、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的充分必需條件。熟習(xí)將矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。理解線性變換的值域、核、秩、零度的觀點(diǎn)。認(rèn)識(shí)矩陣的若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型。八、歐幾里德空間考試內(nèi)容線性空間內(nèi)積的定義及其性質(zhì)(Schmidt)正交化過(guò)程正交矩陣歐幾里德空間的觀點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基正交變換及其性質(zhì)正交子空間、正交補(bǔ)及其性質(zhì)施密特實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)值、特點(diǎn)向量及相像對(duì)角矩陣歐幾里德空間的同構(gòu)考試要求掌握線性空間內(nèi)積、向量的正交、歐幾里德空間等基本觀點(diǎn)及性質(zhì)。理解正交變換和正交矩陣的關(guān)系，歐幾里德空間中過(guò)渡矩陣的特別性。理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基的觀點(diǎn)，掌握標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基的求法（施密特正交化過(guò)程），認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)正交基下胸懷矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特別表達(dá)。掌握正交矩陣的觀點(diǎn)及性質(zhì)，認(rèn)識(shí)正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣之間的關(guān)系。理解和掌握正交變換的觀點(diǎn)及其性質(zhì)，認(rèn)識(shí)正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系。理解正交子空間、正交補(bǔ)的觀點(diǎn)及性質(zhì)。7.嫻熟掌握對(duì)稱(chēng)