高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高中數(shù)學(xué)不等式專題教師版高考動(dòng)態(tài)考試內(nèi)容：不等式不等式的基本性質(zhì)不等式的證明不等式的解法含絕對(duì)值的不等式考試要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b二、不 等 式 知識(shí)要點(diǎn)不等式的基本概念不等（等）號(hào)的定義：不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式

2、.同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)（1）（對(duì)稱性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數(shù)關(guān)系）（11）（平方法則）（12）（開(kāi)方法則）3.幾個(gè)重要不等式（1）（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）極值定理：若則： eq oac(,1)如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最?。?eq oac(,2)如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大. 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等. （當(dāng)僅當(dāng)a=b

3、=c時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（7）4.幾個(gè)著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）即：平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，（當(dāng)a = b時(shí)，）冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）. 步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例

4、一元一次不等式axb解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則（3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3)（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式 eq oac(,1)應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值； eq oac(,2)應(yīng)用數(shù)形思想； eq oac(,3)應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）： 類似于，三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立）是一個(gè)重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問(wèn)

5、題。對(duì)于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一、配湊1. 湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)且僅當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。2. 湊項(xiàng)例2. 已知，求函數(shù)的最大值。解析：由題意知，首先要調(diào)整符號(hào)，又不是定值，故需對(duì)進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。評(píng)注：本題需

6、要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。3. 分離例3. 求的值域。解析：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)，即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。當(dāng)，即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)取“”號(hào)）。的值域?yàn)?。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通?；?，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用a2b代換。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由即時(shí)，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評(píng)注：本題巧妙運(yùn)用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5. 求函數(shù)的最大值。解析：變量代換

7、，令，則當(dāng)t0時(shí)，y0當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題通過(guò)換元法使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化，而且將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問(wèn)題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。四、取平方例6. 求函數(shù)的最大值。解析：注意到的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專講專練（教材回扣+考點(diǎn)分類+課堂內(nèi)外+限時(shí)訓(xùn)練）：基本不等式一、選擇題1若a0，b0，且ln(ab)0，則eq f(1,a)eq

8、 f(1,b)的最小值是()A.eq f(1,4) B1 C4 D8解析：由a0，b0，ln(ab)0，得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,a0，,b0.)故eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,ab)eq f(1,ab)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)4.當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時(shí)，上式取等號(hào). 答案：C2已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A2 B4 C9

9、 D16解析：(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1eq f(x,y)aeq f(y,x)a.x0，y0，a0，1eq f(ax,y)eq f(y,x)a1a2eq r(a).由91a2eq r(a)，得a2eq r(a)80，(eq r(a)4)(eq r(a)2)0.a0，eq r(a)2，a4，a的最小值為4. 答案：B3已知函數(shù)f(x)lgeq blc(rc)(avs4alco1(5xf(4,5x)m)的值域?yàn)镽，則m的取值范圍是()A(4，) B4，)C(，4) D(，4解析：設(shè)g(x)5xeq f(4,5x)m，由題意g(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)

10、，而5xeq f(4,5x)4，故m4，故選D.答案：D4當(dāng)點(diǎn)(x，y)在直線x3y20上移動(dòng)時(shí)，表達(dá)式3x27y1的最小值為()A3 B5 C1 D7解析：方法一：由x3y20，得3yx2.3x27y13x33y13x3x213xeq f(9,3x)12 eq r(3xf(9,3x)17.當(dāng)且僅當(dāng)3xeq f(9,3x)，即3x3，即x1時(shí)取得等號(hào)方法二：3x27y13x33y12eq r(3x33y)12eq r(32)17. 答案：D5已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是()A3 B4 C.eq f(9,2) D.eq f(11,2)解析：2xyx(2y)eq blc(rc

11、)(avs4alco1(f(x2y,2)2，原式可化為(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.當(dāng)x2，y1時(shí)取等號(hào)答案：B6(2013蒼山調(diào)研)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，則eq f(1,x)eq f(1,3y)的最小值是()A2 B2eq r(2) C4 D2eq r(3)解析：由lg2xlg8ylg2，得lg2x3ylg2.x3y1，eq f(1,x)eq f(1,3y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,3y)(x3y)2eq f(x,3y)eq f(3y,x)4.答案：C二、填空題7設(shè)x、yR，且xy0，則eq blc(rc)(av

12、s4alco1(x2f(1,y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)4y2)的最小值為_(kāi)解析：eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)4y2)144x2y2eq f(1,x2y2)142eq r(4)9.當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2eq f(1,x2y2)時(shí)等號(hào)成立，即|xy|eq f(r(2),2)時(shí)等號(hào)成立. 答案：98(2013臺(tái)州調(diào)研)若實(shí)數(shù)a，b滿足ab4ab10(a1)，則(a1)(b解析：ab4abbeq f(4a1,a1)，ab4ab1.(a1)(b2)ab2ab26a26aeq f(4a1

13、,a1)216aeq f(4a132,a1)16a8eq f(6,a1)16(a1)eq f(6,a1)15.a1，a10.原式6(a1)eq f(6,a1)152eq r(66)1527.當(dāng)且僅當(dāng)(a1)21，即a2時(shí)等號(hào)成立最小值為27. 答案：279(2013聊城質(zhì)檢)經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：yeq f(920v,v23v1 600)(v0)，在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)車流量y最大時(shí)，汽車的平均速度v_千米/小時(shí)解析：v0，yeq f(920,vf(1 600,v)3)eq f(920,2 r(vf(1 600,v)3)eq

14、f(920,803)11.08，當(dāng)且僅當(dāng)veq f(1 600,v)，即v40千米/小時(shí)時(shí)取等號(hào). 答案：40三、解答題10已知x0，y0，z0，且xyz1.求證：eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)36. 解析：x0，y0，z0，且xyz1，eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)(xyz)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)f(9,z)14eq blc(rc)(avs4alco1(f(y,x)f(4x,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(z,x)f(9x,z)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4z,y)

15、f(9y,z)142 eq r(f(y,x)f(4x,y)2 eq r(f(z,x)f(9x,z)2eq r(f(4z,y)f(9y,z)14461236.當(dāng)且僅當(dāng)x2eq f(1,4)y2eq f(1,9)z2，即xeq f(1,6)，yeq f(1,3)，zeq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)36. 11某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng)如圖所示，操場(chǎng)的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬解析：設(shè)中間矩形區(qū)域的長(zhǎng)，寬分別為x m，y m，中間的矩形區(qū)域面積為S m2

16、，則半圓的周長(zhǎng)為eq f(y,2) m.操場(chǎng)周長(zhǎng)為400 m，所以2x2eq f(y,2)400，即2xy400(0 x200,0yeq f(400,)Sxyeq f(1,2)(2x)(y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2xy,2)2eq f(20 000,).由eq blcrc (avs4alco1(2xy，,2xy400，)解得eq blcrc (avs4alco1(x100，,yf(200,).)當(dāng)且僅當(dāng)eq blcrc (avs4alco1(x100，,yf(200,)時(shí)等號(hào)成立即把矩形的長(zhǎng)和寬分別設(shè)計(jì)為100 m和eq f(200,) m時(shí)，矩形區(qū)域面積最大12已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy3xy50.(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解析：(1)由xy3xy50，得xy53xy.2eq r(xy)5xy53xy.3xy2eq r(xy)50.(eq r(xy)1)(3eq r(xy)5)0.eq r(xy)eq f(5,3)，即xyeq f(25,9)，等號(hào)成立的條件是xy.此時(shí)xyeq f(5,3)，故xy的最小值是eq f(25,9).(2)