二重積分的變量變換

1、二重積分的變量變換-二重積分的變量變換-在定積分的計算中, 我們得到了如下結(jié)論:在區(qū)間 上連續(xù), 當(dāng)從變到 時嚴(yán)格 單調(diào)地從a 變到 b, 且 連續(xù)可導(dǎo), 當(dāng)(即)時, 記 則 寫成4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 二重積分的變量變換公式則設(shè)利用這些記號, 公式(1)又可在定積分的計算中, 我們得到了如下結(jié)論:在區(qū)間 上連續(xù),當(dāng)(即 )時, (1)式可寫成 故當(dāng)為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時, (2)式和(3)式可 統(tǒng)一寫成如下的形式:下面要把公式(4)推廣到二重積分的場合. 為此先給 出下面的引理.4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 當(dāng)(即

2、)時, (1)式可寫成 故當(dāng)為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時引理 設(shè)變換 將 uv 平面 上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域 , 映成 xy 平面上的閉區(qū)域 D. 內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 則區(qū)域 D 的面積 (5)4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 一對一地在函數(shù) 引理 設(shè)變換 將 uv 平面 上由按段光滑封閉曲線所證 下面給出當(dāng) 在 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 時的證明. ( 注: 對具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)條件 下的一般證明, 將在本章9 中給出. ) 由于 T 是一對一變換, 且因而 T 把的 內(nèi)點變?yōu)?D 的內(nèi)點, 也變換為 D 的按段光滑邊界曲線 . 設(shè)曲線的

3、參數(shù)方程為由于按段光滑, 因此在 上至多除 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 的按段光滑邊界曲線所以去有限個第一類間斷點外, 在其他的點上都連續(xù). 證 下面給出當(dāng) 在 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 時的證明. (又因所以 的參數(shù)方程為若規(guī)定 從 變到 時, 對應(yīng)于 的正向, 林公式, 取 有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 則根據(jù)格另一方面, 在 uv 平面上 又因所以 的參數(shù)方程為若規(guī)定 從 變到 時, 對應(yīng)于 的正其中正號及負(fù)號分別由 從 變到 時, 是對應(yīng)于 的正方向或負(fù)方向所決定. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣

4、義極坐標(biāo)變換 由(6)及(7)式得到令在uv平 面上對上式應(yīng)用格林公式, 得到 其中正號及負(fù)號分別由 從 變到 時, 是對應(yīng)于 的正方向或負(fù)由于函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 因此 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 又因為 總是非負(fù)的, 而 在 上不為零且 連續(xù), 故其函數(shù)值在 上不變號, 于是 即有 所以由于函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 因此 4 二重積分的 定理21.13一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 則有4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 設(shè) 在有界閉區(qū)域 D 上可積, 變換 將 uv 平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域 一對一地映

5、成 xy 平面上 的閉區(qū)域 D, 在內(nèi)分別具有 函數(shù) 定理21.13一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式 其中則作二重積分的積分和加強條件下, 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 證 用曲線網(wǎng)把分成 n 個小區(qū)域在變換 T 作用 下, 區(qū)域 D 也相應(yīng)地被分成 n 個小區(qū)域記及 的面積為及在對 y 的 令由引理及二重積分中值定理, 有 其中則作二重積分的積分和加強條件下, 4 二重積分的這個和式是可積函數(shù) 的分割 的細(xì)度 時, 相應(yīng)分割 的細(xì)度 也趨于零. 因此得到 在 上的積分和. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 又由變換 T 的連續(xù)性

6、可知, 當(dāng) D 的 這個和式是可積函數(shù) 的分割 的細(xì)度 時, 相應(yīng)分割 的細(xì)度 例1 求其中 D是由解 為了簡化被積函數(shù), 令所圍的區(qū)域(圖21-23). 即作變換 它的函數(shù)行列式為 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例1 求其中 D是由解 為了簡化被積函數(shù), 令所圍的區(qū)域(在 T 的作用下, 區(qū)域 D 的 如圖 21-24 所示. 原象 所以 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 在 T 的作用下, 區(qū)域 D 的 如圖 21-24 所示. 例2 求拋物線和直線所圍區(qū)域 D 的面積解 D 的面積為了化簡積分區(qū)域, 作 變換 它把 xy 平

7、面上的區(qū)域 D 對應(yīng)到 uv 平面上的矩形 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例2 求拋物線和直線所圍區(qū)域 D 的面積解 D 的面積為由于 因此 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 由于 因此 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極例3 設(shè)上可積,是由曲線 所圍成的區(qū)域在第一象限中的部分. 證明: 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 證 令 則 例3 設(shè)上可積,是由曲線 所圍成的區(qū)域在因此 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 因此 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變當(dāng)積分

8、區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù) 的形式為時, (8)往往能達到簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的. 此時, 變換 T 的函數(shù)行列式為 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 二重積分的極坐標(biāo)變換 采用極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分, 或者被積函數(shù) 的形式為時,容易知道, 極坐標(biāo)變換 T 把平面上的矩形 但此對應(yīng)不是一對一的, 于平面上兩條直線段 CD 和 EF (下圖). 變換成 xy 平面上的圓域與平面上直線 相對應(yīng),4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例如 x y 平面上原點x 軸上線段 對應(yīng)圖 21-26容易知道, 極坐標(biāo)

9、變換 T 把平面上的矩形 但此對應(yīng)不是一對 定理21.14設(shè)滿足定理21.13 的條件, 且在極坐標(biāo)變換 (8)下, 平面上的有界閉域 D 與平面上區(qū)域 對應(yīng), 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 又當(dāng) 時, 因此不滿足定理21.13 的條件. 但是仍然有下面的結(jié)論. 則成立 定理21.14設(shè)滿足定理21.13 的條件, 證 若 為的扇形 后所得的區(qū)域 (圖21-26(a),設(shè) 除去中心角 則在變換 (8) 下, 對應(yīng)于又因在 上 于是由定理 21.13, 有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 因 在 D 上有界, 故可設(shè) 于是由( 圖

10、 21-26 (b) ). 與之間是一一對應(yīng)的且證 若 為的扇形 后所得的區(qū)域 (圖21-26(a),同理又有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 即得(9)式: 所以,對 (10) 式取極限同理又有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)若 D 是一般的有界閉域, 則取足夠大的 使 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 在 中函數(shù) F 至多在有限條按段光滑曲線上間斷,上定義函數(shù) 并且在 因此由前述得到 其中 為平面上矩形區(qū)域 由函數(shù) 的定義, (9) 式對一般的 D 也成立. 若 D 是一般的有界閉域, 則取足夠大的 使 4 由定理2

11、1.14 看到, 用極坐標(biāo)變換計算二重積分時, 除變量作相應(yīng)的替換外, 成下面介紹二重積分在極坐標(biāo)系下如何化為累次積分 來計算. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 換 還須把“面積微元” 由定理21.14 看到, 用極坐標(biāo)變換計算二重積分時, 除4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 1. 常用的是將 分解為 平面中的型區(qū)域. (i) 若原點 則 型區(qū)域必可表示成(圖21-27) 于是有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極于是有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 (ii) 若原點為 D 的內(nèi)

12、點(圖21-28(a), 標(biāo)方程為 則 一般可表示成 D 的邊界的極坐于是有 (iii) 若原點在 D 的邊界上 (圖21-28(b), 于是有 2. 也可將分解為平面中的 型區(qū)域(圖21-29). (1) 令4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 則為 (iii) 若原點在 D 的邊界上 (圖21-28(b),(2) 作半徑為 的圓穿過 D, 按逆時針方 向首先由邊界曲線 穿入 , 穿出. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 而后由邊界曲線 則有(2) 作半徑為 的圓穿過 D, 按逆時針方 向首先由邊例4 對積分 作極坐標(biāo)變換, 并表示為

13、不同次序的累次積分, 其中( 見圖21-30 (a) )解 經(jīng)過極坐標(biāo)變換后, 可分解為二個 型區(qū)域:4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例4 對積分 作極坐標(biāo)變換, 并表示為 不同次序的累次又可分解為四個 型區(qū)域 ( 見圖21-30 (b) ):4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 (b)又可分解為四個 型區(qū)域 ( 見圖21-30 (b) ):于是 其中 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 于是 其中 4 二重積分的變量變換 變量變換公4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 4 二重積分

14、的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極例5 計算 其中 D 為圓域: 解 由于原點為 D 的內(nèi)點, 故由 (12) 式, 有 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例5 計算 其中 D 為圓域: 解 由于原點為 例6 求球體 被圓柱面所割下部分的體積 ( 稱為維維安尼 (Viviani) 體 ). 解 由所求立體的對稱性(圖21-31), 卦限內(nèi)的部分體積, 再乘以4, 即得所求立體的體積. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 只要求出在第一 內(nèi)由和所確定的區(qū)域 D (圖21-32) . 在第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體, 其底為 xy

15、平面例6 求球體 被圓柱面所割下部分的體積 ( 稱為維維安尼而曲頂?shù)姆匠虨?后, 由 (13) 式便可求得 其中 用極坐標(biāo)變換 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 所以而曲頂?shù)姆匠虨?后, 由 (13) 式便可求得 其中 例7 計算 其中 D 為: 解 利用極坐標(biāo)變換, 由公式 (12), 容易求得 若不用極坐標(biāo)變換, 而直接在直角坐標(biāo)系下化為累次積分計算, 則會遇到無法算出 的難題. 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 例7 計算 其中 D 為: 解 利用極坐標(biāo)變換, 由當(dāng)積分區(qū)域為橢圓或橢圓的一部分時, 可考慮用如 下的廣義極坐標(biāo)變換:并計算得對廣義極坐標(biāo)變換也有與定理21.14 相應(yīng)的定理, 4 二重積分的變量變換 變量變換公式極坐標(biāo)變換 廣義極坐標(biāo)變換 二重積分的廣義極坐標(biāo)變換 這里就不再贅述了. 當(dāng)積分