理論力學(xué)教學(xué)材料第十一章

1、理論力學(xué)教學(xué)材料第十一章第1頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 引 言 引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn) 動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng) 力學(xué)問題 達(dá)朗伯原理（動(dòng)靜法）。 達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方 法。 達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束反力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動(dòng)應(yīng)力。第2頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四工程實(shí)際問題第3頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四11.1 慣性力OrvmOmmgFTan 是小球給繩子的反力，即是慣性力m 力

2、FT就是通常所說的向心力。小球?qū)⒔o繩子以反作用力 ,反作用力 就是小球的慣性力，通常所說的離心力。質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，它不作用于質(zhì)點(diǎn)本身而作用于施力物體上。第4頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四sFgFNFmaxzyOmAFN 約束力；F 主動(dòng)力；11.2 達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)根據(jù)牛頓定律ma F + FNF + FN ma 0Fg maF + FN Fg 0Fg 質(zhì)點(diǎn)的慣性力。 非自由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理 作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和約束力與假想施加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力，形式上組成平衡力系。一. 質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理第5頁，共51頁，2022年

3、，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四Fg maF + FN Fg0應(yīng)用達(dá)朗伯原理求解非自由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)約束力的方法達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)1、分析質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力和約束力；2、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，確定加速度；3、在質(zhì)點(diǎn)上施加與加速度方向相反的慣性力。非自由質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗貝爾原理的投影形式第6頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。試求調(diào)速器兩臂的張角。設(shè)重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長(zhǎng)均為l，桿重可以忽略不計(jì)。例 題 1第7頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 方向如圖示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理，列出兩投影方程： 當(dāng)調(diào)速器穩(wěn)

4、定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，慣性力（即離心力）F*垂直并通過主軸，其大小為解： 如把重錘C簡(jiǎn)化為一質(zhì)點(diǎn)，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出以F1值代入前兩式，可解出 由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角與主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度有關(guān)。利用這個(gè)結(jié)果可以選擇m1 ，m2 ，l等參數(shù)，使在某一轉(zhuǎn)速下，角為某一值，從而可以求得重錘C的相應(yīng)位置，帶動(dòng)調(diào)節(jié)裝置進(jìn)行調(diào)速。 第8頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四Ol 如圖所示一圓錐擺。質(zhì)量m = 0.1 kg的小球系于長(zhǎng)l = 0.3 m 的繩上，繩的一端系在固定點(diǎn)O，并與鉛直線成 =60 角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度v與繩的張力F的

5、大小。 例 題 2第9頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四取上式在自然軸上的投影式，有：解：OlntbmgFF*以小球?yàn)檠芯康馁|(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有法向加速度，在質(zhì)點(diǎn)上除作用有重力mg和繩拉力F外，再加上法向慣性力F*，如圖所示。根據(jù)達(dá)朗伯原理，這三力在形式上組成平衡力系，即解得：第10頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四二. 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFg1Fg2Fgim1mim2質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力系質(zhì)點(diǎn)系的約束力系質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用達(dá)朗伯原理，得到第11頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，

6、星期四例 題 3已知：AB桿的質(zhì)量為m ，長(zhǎng)為l，繞AC軸的角速度為。求：BC 繩的張力及A處的約束反力。ACBABxFAxFTmg解： 取AB桿為研究對(duì)象dFgFg 分析AB桿的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算慣性力FAy第12頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四ACBABxFAxFTmgdFgFgFAy第13頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四OxyFgidFTFTOR例 題 4均質(zhì)薄圓環(huán)，圓心固定。已知：m ，R， 。求：輪緣橫截面的張力。解： 取上半部分輪緣為研究對(duì)象第14頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 剛體慣性力系特點(diǎn) 剛體慣性力的分布與剛

7、體的質(zhì)量分布以及剛體上各點(diǎn)的絕對(duì)加速度有關(guān)。Fgimiai 對(duì)于平面問題(或者可以簡(jiǎn)化為平面問題)，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。 對(duì)于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間任意力系。11.3 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化第15頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 慣性力系的主矢 慣性力系的主矢等于剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。這一簡(jiǎn)化結(jié)果與運(yùn)動(dòng)形式無關(guān)。 慣性力系的主矩慣性力系的主矩與剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。aCa1a2anmm2mnm1FgnFg1Fg2FgR1、剛體作平動(dòng) 剛體平移時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為通過剛體質(zhì)心的合力。第16頁，共51頁，202

8、2年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(具有質(zhì)量對(duì)稱面)向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化OC慣性力系主矢OCmiMgO慣性力系主矩OMgO第17頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 當(dāng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于對(duì)稱平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。OCMgCOMgO向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化若將剛體慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，則可以將向轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)化的主矢向質(zhì)心平移，同時(shí)加上相應(yīng)的附加力偶 。 主矢的大小方向不變，作

9、用在質(zhì)心，即 主矩則為MgO與 的代數(shù)和，即第18頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四3、剛體作平面運(yùn)動(dòng)(具有質(zhì)量對(duì)稱面) 具有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體作平面運(yùn)動(dòng)，并且運(yùn)動(dòng)平面與質(zhì)量對(duì)稱平面互相平行。對(duì)于這種情形，先將剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)簡(jiǎn)化，得到這一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對(duì)平面慣性力系作向質(zhì)心簡(jiǎn)化。CaCMgC第19頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例 題 5已知：m , h , , l。求：A、D處約束反力。mgFNFAxFAyFgBDCA解： 取 AB 桿為研究對(duì)象BADah其中：第20頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0

10、分，星期四其中：mgFNFAxFAyFgBDCA第21頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四CDahbCmgFFg例 題 6已知：m , h ,a , b, f。求：為了安全運(yùn)送貨物，小車的 amax。解： 取 貨箱為研究對(duì)象FNd貨物不滑的條件：F f FN ， a f g貨物不翻的條件：d b/2 ， a bg/h為了安全運(yùn)送貨物，應(yīng)取兩者中的小者作為小車的amax。第22頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例 題 7 已知：質(zhì)量為m 、長(zhǎng)為l=2r的均質(zhì)桿 AB, 焊在半徑為r的圓盤上，其角速度為，角加速度為。求：A端的約束反力。OrlAB解： 取

11、AB 桿為研究對(duì)象FAxFAymgABCOMgOMA（1）分析運(yùn)動(dòng)，向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化，慣性力的主矢和主矩分別為：第23頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四FAxFAymgABCOMgOMA由達(dá)朗伯原理，有第24頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四FAxFAymgABCMAMgC（2）將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，其主矢主矩分別為：由達(dá)朗伯原理，有第25頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四練習(xí) 已知,均質(zhì)圓盤均質(zhì)桿純滾動(dòng).求:F 多大,能使桿B 端剛好離開地面?純滾動(dòng)的條件?解得得解:剛好離開地面時(shí),地面約束力為零.第26頁，共51頁，2022年，

12、5月20日，17點(diǎn)0分，星期四得 解得由第27頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四ABCMlMAC例 題 8已知：A物體與輪C的質(zhì)量求： （1）A 物體上升的加速度； （2）B 端的約束反力。均為m，BC桿的質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為l，在輪C上作用一主動(dòng)力偶M。解： （1）取 A物體與輪C為研究對(duì)象mgmgFAgMgCFCxFCy其中：第28頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四其中：MACmgmgFAgMgCFCxFCy第29頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四（2）取 BC 桿為研究對(duì)象BCFCxFCyMBFBxFBym1g第30頁，共51

13、頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例 題 9已知：兩均質(zhì)且長(zhǎng)度為l直桿自水平位置無初速地釋放。求： 兩桿的角加速度和 O、A處的約束反力。解: (1) 取系統(tǒng)為研究對(duì)象ABOMg1Mg2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12其中第31頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四BAO12CaABA2CaAaCAaA由加速度基點(diǎn)法有aC所以代入第32頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四(2) 取AB 桿為研究對(duì)象Mg2mgFgR2FAyFAxBA2第33頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 (3) 取系統(tǒng)為研究對(duì)象Mg1Mg

14、2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12第34頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四例 題 10質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)度分別為l和2l 的勻質(zhì)細(xì)桿OA 和AB 在A 點(diǎn)光滑鉸接，OA桿的A端為光滑固定鉸鏈，AB桿的B端放在光滑水平面上。初瞬時(shí)，OA桿水平，AB桿鉛直。由于初位移的微小擾動(dòng)，AB桿的B端無初速地向右滑動(dòng)，試求當(dāng)OA桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，A點(diǎn)處的約束反力。ABO解: (1) 取系統(tǒng)為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理得：第35頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFgRxFAyFAx(2) 取OA 桿為研究對(duì)象(3)

15、取AB桿為研究對(duì)象FAyMgC第36頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四ABC2OAAB21(4) 對(duì)AB 桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究B點(diǎn)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究C點(diǎn)第37頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四(2) 取OA 桿為研究對(duì)象(3) 取AB桿為研究對(duì)象FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFAyFAxFAyMgC第38頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四解得：FAxOA1FAyFAxABCFNB22mgFgRyFgRxFAyMgC第39頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四11.4 靜平衡與動(dòng)平衡的概念A(yù)

16、BmmFg1Fg1Fg2理想狀態(tài)Fg2第40頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四mmABFg1Fg2FRAFRBFg2偏心狀態(tài)Fg1 由慣性力引起的軸承約束反力FRA、FRB都不等于零，他們稱之為附加動(dòng)反力。第41頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四ABmmFRBFRA偏角狀態(tài)Fg1Fg2第42頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四ABmmFRAFRB既偏心又偏角狀態(tài)Fg2Fg1第43頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 11-4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第44頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星

17、期四解得第45頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四即:必有通過質(zhì)心的慣性主軸稱為中心慣性主軸因此,避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是:剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸.引起的軸承約束力稱動(dòng)約束力,由稱滿足的軸z為慣性主軸動(dòng)約束力為零的條件為:第46頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 結(jié)論與討論 引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn) 動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng) 力學(xué)問題 達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)。 達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方法。 達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動(dòng)應(yīng)力。第47頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 質(zhì)點(diǎn)的慣性力定義為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，并冠以負(fù)號(hào)，即 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理：質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和慣性力在形式上組成平衡力系，有 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理：在質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上都假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力，則作用于各質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)力與慣性力在形式上組成平衡力系，有Fg maF + FN Fg0Fi + FNi Fgi0 (i=1,2, n)第48頁，共51頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)0分，星期四 剛體的慣性力系簡(jiǎn)化結(jié)果1、剛體作平動(dòng) 質(zhì)體作平動(dòng)時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為一個(gè)通過質(zhì)心的合力