陜西省西安市碑林區(qū)教育局2023學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（ ）ABCD2已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（ ）ABCD3已知拋物

2、線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（ ）ABCD4已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時，則（ ）A2BC1D5已知，則（ ）ABCD6在四面體中，為正三角形，邊長為6，則四面體的體積為（ ）ABC24D7已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（ ）ABCD8設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（ ）A且B且C且D且9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點為，若F到直線的距離為，則E的離心率為( )ABCD10若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（ ）ABCD11阿基米德（公元前287年公元前212年），偉大的

3、古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為( )ABCD12已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）已知橢圓方程為，過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，則面積的取值范圍是_14設(shè)為拋物線的焦點，為上互相不重合的三點，且、成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸交于，則的坐標(biāo)為_.15已知實數(shù)x，y滿足，則的最

4、大值為_.16已知， 是互相垂直的單位向量，若 與的夾角為60，則實數(shù)的值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，在底面的投影為，求到平面的距離.18（12分）如圖，在三棱柱中， 平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍.20（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作

5、文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821（12分）某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備，型號

6、分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設(shè)備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺，調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率，各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所

7、需總費用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品？22（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【題目詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，

8、所以.故選：D【答案點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2、D【答案解析】設(shè)，作為一個基底，表示向量，然后再用數(shù)量積公式求解.【題目詳解】設(shè)，所以，所以.故選：D【答案點睛】本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【題目詳解】由拋物線焦點在軸上，準(zhǔn)線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故選D.

9、【答案點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.4、D【答案解析】說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值【題目詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，又，故選：D【答案點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)5、D【答案解析】分別解出集合然后求并集.【題目詳解】解：， 故選：D【答案點睛】考查集合的并集運算，基礎(chǔ)題.6、A【答案解析】推導(dǎo)出，分別取的中點,連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解

10、： 在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，分別取的中點，連結(jié)，則，且，平面，平面，四面體的體積為：.故答案為：.【答案點睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.7、D【答案解析】當(dāng)時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】當(dāng)時，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點.，故，.根據(jù)圖像知：.故選：.【答案點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.8、B【答案解析】由且可得，故選B.9、A【答案解析】由已知可得到

11、直線的傾斜角為，有，再利用即可解決.【題目詳解】由F到直線的距離為，得直線的傾斜角為，所以，即，解得.故選：A.【答案點睛】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式，本題是一道容易題.10、B【答案解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則 求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【題目詳解】解：因為 ，由等差數(shù)列性質(zhì)，若，則得，為數(shù)列的前項和，則故選：【答案點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則 (2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用，如.11、D【答案解析】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其

12、體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【答案點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.12、B【答案解析】先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出 ，函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點，解出，再建立不等式求出的范圍，進(jìn)而求得的范圍.【題目詳解】解： 令，解得對稱軸，又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點，只需 解得故選：【答案點睛】本題考

13、查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或 的形式; (2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由題意，則，得由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，恒成立，則，點到直線的距離為，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號故面積的取值范圍是.14、或【答案解析】設(shè)出三點的坐標(biāo)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，由拋物線的定義可知：，因為、成等差數(shù)列，所

14、以有，所以，因為線段的垂直平分線與軸交于，所以，因此有，化簡整理得：或.若，由可知；，這與已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案為：或【答案點睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15、1【答案解析】直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論【題目詳解】由題意，又，即，的最大值為1故答案為：1【答案點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵16、【答案解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出的值【題目詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，1），（1，）；又夾角為60，（）（）2cos60，即，解得【答案

15、點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【答案解析】（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，利用空間平行線的傳遞性可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面，并計算出，由此可得出到平面的距離為，即可得解.【題目詳解】（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，、分別為、的中點，則，同理可得，.平面，平面，因此，平面；（2）由于在底面的投影為，平面，平面，為正三角形，且為的中點，平面，且，因此，到平面的距離為.【答案點睛】本題考查

16、線面平行的證明，同時也考查了點到平面距離的計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（1）證明見解析 （2）【答案解析】（1）證明平面即平面平面得證；（2）分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：因為平面ABC，所以 因為.所以.即 又.所以平面 因為平面.所以平面平面 （2）解：由題可得兩兩垂直，所以分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，所以 設(shè)平面的一個法向量為，由.得令，得 又平面，所以平面的一個法向量為. 所以二面角的余弦值為.【答案點睛】本題主要考查空間

17、幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）；（2）.【答案解析】（1）對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果; （2）.作出函數(shù)的圖象, 當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時，方程有三個解，由圖可得結(jié)果.【題目詳解】（1）不等式，即為.當(dāng)時，即化為，得，此時不等式的解集為，當(dāng)時，即化為，解得，此時不等式的解集為.綜上，不等式的解集為.（2）即.作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時，方程有三個解，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.【答案點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了

18、數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想20、（1），.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見解析【答案解析】（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計算公式運算即可；（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.【題目詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，因為構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，.（2）獲獎的人數(shù)為人

19、，因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).（3）由（2）可知，獲獎的概率為，的可能取值為0，1，2，分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.【答案點睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計案例和離散型隨機變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計算能力，屬于中檔題21、（1）（2）應(yīng)該購買21件易耗品【答案解析】（1）由統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求