矩陣的特征值和特征向量二次型

1、矩陣的特征值和特征向量二次型第1頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五實驗目的1、學會用MATLAB軟件求矩陣的特征值和特征向量2、學會用MATLAB軟件將二次型化為標準型3、通過用MATLAB軟件編程來判斷二次型的正定性第2頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五一、特征值與特征向量 第3頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第4頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 其中：D為由特征值構成的對角陣，V為由特征向量作為列向量構成的矩陣。且使 AV=VD 成立用Matlab計算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)僅計

2、算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)計算矩陣A的跡第5頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例1：求方陣的特征值、特征向量和跡解： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=eig(A) trace(A)第6頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 trace(A)ans = 12第7頁，共58頁，2022年，

3、5月20日，9點22分，星期五答：特征值為：第8頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第9頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例2：求方陣的特征值、特征向量和跡解： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) trace(A)第10頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五二、矩陣的相似對角化第11頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例3：判斷下列方陣是否可對角化。若可對角 化，求出可逆陣P，使P-1AP為對角陣。第12頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五解(1)： A=4

4、6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 3答：A可對角化，且V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1第13頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 2答：A不可對角化。解(2)：V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701D = 1 0 0 0 1 0 0 0

5、 1第14頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 下述函數(shù)可用來判斷矩陣是否可對角化，若可對角化返回1，否則返回0。第15頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五function y=trigle(A)%可對角化返回1，否則返回0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; return;ende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n); if f=g y=0; return;

6、end e(find(abs(e-d)10*eps)= ;end第16頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五function y=trigle(A)%可對角化返回1，否則返回0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; returnende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e) %若為空陣則為真第17頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %特征值d的代數(shù)重數(shù) g=n-rank(A-d*eye(n); %特征值d

7、的幾何重數(shù) if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d) A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2 trigle(A)ans = 0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1; trigle(A)ans = 1答：A不可對角化。 P D=eig(A)解(2)：第20頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五答：A可對角化，且P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774 -0.2

8、887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000第21頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五二、 二次型化標準型第22頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第23頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例5：判斷下列矩陣是否對稱A=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0;B=A;if(A=B) fprintf(A是對稱矩陣)else if(A=-B) fprintf(A是反對稱矩陣) else fpr

9、intf(A既不是對稱矩陣，也不是反對稱矩陣) endendA是對稱矩陣解：第24頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第25頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五Matlab中二次型化成標準形的命令為： P , T = schur (A)其中： A 二次型矩陣(即實對稱矩陣)； T 為 A 的特征值所構成的對角形矩陣； P 為 T 對應的正交變換的正交矩陣 ， P 的列向量為 A的特征值所對應的特征向量 P , T = eig (A)第26頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例6：求一個正交變換，將二次型解：該二次型所對應的矩陣為化成標

10、準形第27頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1; P , T = schur (A)P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 P , T = eig (A)第28頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0

11、 0 3.0000答：所作的正交變換為：二次型的標準型為：第29頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例7：求一個正交變換，將二次型解：該二次型所對應的矩陣為化成標準形第30頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1; P , T = schur (A)P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859第31頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0

12、 5.8423答：所作的正交變換為：二次型的標準型為：第32頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五三、 正定二次型的判定第33頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第34頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五1. 順序主子式判斷法 求二次型 F=XAX 的矩陣 A 的各階順序 主子式 Di (i=1,2,3.); 判斷 Di 是否大于0 . 程序：建立函數(shù)文件 shxu.m第35頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五function C,M =shxu(A)% C為A的各階順序主子式組成的向量% M為判定向量: if C(

13、i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1); C=C D; if D0 m=1; else m=0; end M=M,m; end 第36頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五2、特征值判別法 求二次型 f =XAX 的矩陣 A 的全部特征 值 （i=1,2,）； 判斷 是否大于 0 .程序：建立函數(shù)文件 tezh.m第37頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 function T , M = tezh (A) n=

14、size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=M,m; end第38頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例8 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩陣第39頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法一 順序主子式 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1第40頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法二 特征值

15、法 T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A)答：此二次型是正定的。 第41頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例9 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩陣第42頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法一 順序主子式 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 9 1134 6174 M = 1 1 1 第43頁，共58頁

16、，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法二 特征值法 T = 0.6576 65.0894 144.2530M = 1 1 1 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A); 答：此二次型是正定的。 第44頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五例10 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩陣第45頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法一 順序主子式 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; C,M = shxu (A)答：此二次型不是正定的。 C = 10 4 -3588M = 1

17、 1 0第46頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法二 特征值法T = -17.4209 10.1708 20.2501M = 0 1 1 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A)答：此二次型不是正定的。 第47頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五第48頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五function C,M =shxuf(A)% C為A的各階順序主子式組成的向量% M為判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0 m=1; elseif D0 m=

18、-1； else m=0; end M=M,m; end 第49頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五 function T , M = tezhf (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; elseif T(i) A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; C,M = shxuf (A)答：此二次型是負定的。 C = -1 2 -6 24M = -1 1 -1 1第53頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五方法二 特征值法T = -22.1991 -7.4945 -2.2421 -0.0643M = -1 -1 -1 -1 A = -1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6 -19 ; T , M = tezhf (A)答：此二次型是負定的。 第54頁，共58頁，2022年，5月20日，9點22分，星期五1、已知矩陣(1) 求矩陣A的特征值;(2) 求矩陣A的特征值對應的全部特征向量. 習題第55頁，共58頁，2