計算方法第五講

1、 5.3 復化求積公式(1) 如果使用低階的Newton-Cotes公式，誤差將會較大；所謂復化求積法，就是(3) 最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加。為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復化求積法.一、問題(1) 首先把整個積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間（通常采用等分) ；(2) 然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式; 如果使用高階的Newton-Cotes公式，則系數(shù)復雜， 且公式的穩(wěn)定性和收斂性也不能保證。二、復化求積公式各節(jié)點為復化梯形公式復化辛普森公式復化柯特斯公式三、復化求積公式的截斷誤差我們上一節(jié)知道，三個求積公式的截斷誤差分別為單純的求積公式復化求積公式

2、在每個小區(qū)間復化梯形公式的截斷誤差由于即有復化simpson公式的截斷誤差復化cotes公式的截斷誤差比較三種復化公式的的余項例1解:=3例2解:各節(jié)點的值如下面表格各節(jié)點的值如下表 0 10.125 0.99739780.25 0.98961580.375 0.97672670.5 0.95885100.625 0.93615560.75 0.90885160.875 0.8771925 1 0.8414709分別由復化梯形、復化辛普森。復化柯特斯公式有原積分的精確值為精度最高精度次高精度最低三個公式的結(jié)果比較三種方法的工作量基本相同。收斂速度一個比一個快。實際應用時，較多地應用辛普森公式。

3、四、自動選取積分步長(1) 高階導數(shù)的估計往往是很困難的；“事后估計法”的基本思想是(2) 利用前后兩次的計算結(jié)果來判斷誤差是否滿足精度要求， 從而確定n.為了改正上述缺點，實際常采用“事后估計法”事前確定步長的問題(1) 求數(shù)值積分時，將區(qū)間逐次分半；下面以復化梯形公式為例來介紹這種步長逐次減半求積法(2) 這種估計往往是很保守的，得到的n往往偏大。將區(qū)間a,b n等分，步長 ，復化梯形公式為再將步長減半，增加新分點 ， 公式變?yōu)槿绾胃鶕?jù)Tn和T2n來確定誤差是否滿足要求？則有即如果二階導數(shù)在區(qū)間a,b上變化不大類似地可以推得例3解:2nT2n|T2n-Tn|2nT2n|T2n-Tn|10.

4、9207355 320.94605860.000073620.93979330.0190578 640.94607690.000018340.94451350.00472021280.94608150.000004680.94569090.00117742560.94608270.0000012160.94598500.00029415120.94608300.0000003 4.3 龍貝格 （Romberg）算法 一、問題復化梯形公式簡單，但計算精度較差有沒有辦法改善復化梯形公式的精度呢?由上節(jié)關于復化梯形公式的誤差公式可得此式可視作用誤差對 作一種補償，可以提高精度。對上式進行計算為了便于

5、記憶，將上式寫成梯形加速公式類似地可以推得拋物線加速公式龍貝格求積公式說明（1）根據(jù)上述公式，可以由序列 求得序列 ， ， 。（2）上述將變步長的梯形法得到的積分值加工成精度 較高的積分值的求積方法稱為龍貝格求積算法。（3）利用兩個系數(shù) 可以構(gòu)造出新的求積公式， 但當m=4時，計算結(jié)果差別不大，但增加了計算量， 故一般不用。例1解:kT2kS2kC2kR2k00.92073550.94614590.94608300.946083110.93979330.94608690.94608310.946083020.94451350.94608340.946083030.94569090.946083040.9459850這里只