高中 高一 數(shù)學(xué) 誘導(dǎo)公式第1課時

1、課時教學(xué)設(shè)計：5.3.2誘導(dǎo)公式五、六一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容誘導(dǎo)公式五、六2.內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式中的公式五和公式六，是三角函數(shù)的主要性質(zhì)前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式一到四，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)公式五和公式六，其推導(dǎo)過程中涉及到對稱變換，充分體現(xiàn)對稱變換思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的“代數(shù)表示”，利用對稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于直線，y軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使得“數(shù)”與“形”得到緊密結(jié)合，成為一個整體誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和推證過程還體現(xiàn)了三角函數(shù)之間的內(nèi)部聯(lián)系，是定義的延伸與應(yīng)用，在本章中起著承上啟下的作用誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的

2、三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求0到90角的三角函數(shù)值誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有積極的作用本節(jié)課的重點(diǎn)是誘導(dǎo)公式的探究，即利用三角函數(shù)的定義借助單位圓，通過尋找角的終邊的對稱性與角終邊與單位圓交點(diǎn)的對稱性，發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，從而提高對數(shù)學(xué)知識之間（圓的對稱性與三角函數(shù)性質(zhì)）聯(lián)系的認(rèn)識二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）借助單位圓，推導(dǎo)出正弦、余弦第五、六組的誘導(dǎo)公式，能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證

3、明問題（2）通過公式的應(yīng)用，了解未知到已知、復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)化歸思想，以及信息加工能力、運(yùn)算推理能力、分析問題和解決問題的能力2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（2）會利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的求值與化簡三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、各象限角的三角函數(shù)值的符號和公式一到四，這些內(nèi)容是學(xué)生理解、歸納公式五和公式六的基礎(chǔ)“探究2”與“探究1”相比，采用的研究方法一樣，不同之處在于對稱軸變?yōu)橹本€，增加了推導(dǎo)的難度，體現(xiàn)在以下兩個方面：第一，終邊關(guān)于直線對稱的兩個角之間的關(guān)系角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對稱，那

4、么，這個結(jié)論需要分多種情況，窮舉證明第二，直角坐標(biāo)系中關(guān)于直線對稱的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，那么，這個結(jié)論，需要學(xué)生證明之后才能應(yīng)用由于角是任取的，根據(jù)其終邊位置分類，至少要對8種情況進(jìn)行證明，其嚴(yán)謹(jǐn)簡潔的證明需要在解析幾何中完成，簡單易證教學(xué)時，按照教科書的處理方式，針對圖5.3-5進(jìn)行論證，并結(jié)合圖形作直觀分析即可“探究3”與前面兩個探究相比，采用的研究方法一樣，對稱軸是y軸，其推導(dǎo)簡單易行，不同之處在于，教科書選擇了點(diǎn)，而不是點(diǎn)，學(xué)生可能會感到突然事實(shí)上，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更進(jìn)一步的探索，探究1和探究2中對作了一次對稱變換，對于探究3可以通過對作兩次變換解決通過對比發(fā)現(xiàn)，

5、探究3所用的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明，因此可以借助于信息技術(shù)解決以上問題，以讓學(xué)生有更多的時間用于觀察與發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)之間的關(guān)系，縮減認(rèn)識、理解誘導(dǎo)公式的時間五、教學(xué)過程設(shè)計引導(dǎo)語：在前面，我們利用圓的對稱性，研究了得到了三角函數(shù)的公式二到公式四這節(jié)課，我們將繼續(xù)研究三角函數(shù)的對稱性（一）公式五探究2：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，（1）以為終邊的角與角有什么關(guān)系？（2）與的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？你能證明嗎？（3）角與角的三角函數(shù)值

6、之間有什么關(guān)系？師生活動：給出問題后，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后教師使用信息技術(shù)進(jìn)行演示并講解（1）以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即因此，只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可（2）如果在第一象限，如圖，其關(guān)于對稱的點(diǎn)，過作軸，過作軸，則有，所以，所以，即，同理可以證明的其他情況（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得，所以，（公式五）設(shè)計意圖：“探究2”與第一課時的“探究1”一脈相承，研究方法相同，不同之處在于對稱軸變?yōu)橹本€，增加了推導(dǎo)的難度將難點(diǎn)細(xì)化為問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐個攻破，經(jīng)歷推導(dǎo)公式的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的化歸思想（二）公式六探究3：作關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，又能得到什么結(jié)論？（1）以為終邊的角與角有什么關(guān)

7、系？（2）角的終邊與角的終邊具有怎樣的關(guān)系？（3）與的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？（4）角與角的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？與角的三角函數(shù)值之間又有什么關(guān)系？師生活動：給出問題后，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后教師使用信息技術(shù)進(jìn)行演示并講解（1）以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即只要探究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可（2）旋轉(zhuǎn)角度：角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)角，就得到角的終邊軸對稱角度：角的終邊首先關(guān)于直線作對稱，再關(guān)于y軸作對稱，就得到的終邊；或者角的終邊首先關(guān)于x軸作對稱，再關(guān)于直線作對稱，也可以得到的終邊即為得到，對需作兩次對稱變換，而對只需要作一次對稱變換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，我們可以以為橋梁，探究角與角之間的

8、關(guān)系（3）通過觀察易得：，（4）由于，所以，因此，（公式六）設(shè)計意圖：“探究3”與前面兩個探究相比，采用的研究方法一樣，對稱軸是y軸，其推導(dǎo)簡單易行，這里選擇了對點(diǎn)作對稱，而不是點(diǎn)，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更進(jìn)一步的探索，探究1和探究2中對作了一次對稱變換，對于探究3可以通過對作兩次變換解決通過對比發(fā)現(xiàn)，探究3所用的方法，感受數(shù)學(xué)的簡潔美公式五、六可以概括如下：的正弦（余弦）函數(shù)值，等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號（三）公式一公式六總結(jié)公式一公式六可以總結(jié)為：的三角函數(shù)值，（1）當(dāng)為偶數(shù)時，等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；（2）當(dāng)為奇數(shù)

9、時，等于的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時原三角函數(shù)值的符號可以概括為：“奇變偶不變，符號看象限，象限怎么判，銳角看”：例如，將寫成因?yàn)?是奇數(shù)，則余弦函數(shù)符號“”變?yōu)檎液瘮?shù)符號“”，又將看作第一象限角時，是第二象限角，符號為“”，故有（四）求任意角的三角函數(shù)值的步驟求任意角的三角函數(shù)值的步驟可以完善如下圖：利用公式五或公式六，可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化公式一公式六都叫做誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式可以進(jìn)行簡單的證明、化簡和求值例1證明：（1）；（2）證明：（1）；（2）例2化簡解：原式 例3已知，且，求的值分析：聯(lián)系條件與結(jié)論，注意到，由此可利用誘導(dǎo)公式解決問題解：因?yàn)?，所以由誘

10、導(dǎo)公式五，得因?yàn)?，所以由，得所以，所以設(shè)計意圖：三道例題，分別是證明、化簡、求值在三道例題的求解過程中，進(jìn)一步鞏固和完善了教科書中的流程圖例5的分析旨在引導(dǎo)學(xué)生形成代數(shù)問題的程序化思維，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，通過例題形成解決一類問題的思維方法練用誘導(dǎo)公式求下列三角函數(shù)值（1）；（2）；（3）解：（1）；（2）；（3）練證明：（1）；（2）；（3）；（4）證明：（1；（2）方法一：；方法二：（3）；（4）練化簡：（1）；（2）；（3）解：（1）；（2）；（3）練求值：已知，且，求和的值解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，（五）課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容師生活動：引導(dǎo)學(xué)生完成本節(jié)課的梳理設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從誘導(dǎo)公式到歸納口訣，加深學(xué)生對誘導(dǎo)公式的理解，回顧求任意角的三角函數(shù)