高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念的引入導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)速率。一般的，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時(shí)，便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù). 的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作,即例一：假設(shè)，那么= ，= ，= ， = 。二.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:2 假設(shè),那么;3 假設(shè),那么4 假設(shè),那么;5 假設(shè),那么6 假設(shè),那么7 假設(shè),那么8 假設(shè),那么2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么1f(x)g(x)f(x)g(x)；2

2、. 3. 3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和,稱那么可以表示成為的函數(shù),即為一個(gè)復(fù)合函數(shù)一、知識(shí)自測(cè)：1、幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1f(x)=C，那么f(x)=_ 2f(x)=x，那么f(x)=_ 3f(x)=，那么f(x)=_4f(x)=，那么f(x)=_ 5f(x)=，那么f(x)=_2、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：1f(x)=CC為常數(shù)，那么f(x)=_ 2f(x)=，那么f(x)=_3f(x)=sinx，那么f(x)=_ 4f(x)=cosx，那么f(x)=_5f(x)=，那么f(x)=_ 6f(x)=，那么f(x)=_ 7f(x)=，那么f(x)=_ 8f(x)=，那么f(x)=_ 3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么：的導(dǎo)

3、數(shù)存在，那么：12 3_二、典型例題例3、根據(jù)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么，求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)12；3；4；56；7解：1，。234，。56，。71、 2、 3、(1) 2 3 4 5 6四課堂練習(xí)1、根據(jù)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么，求函數(shù)f(x)=x3-2x+3的導(dǎo)數(shù)。2、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù): 一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.Ps：二階導(dǎo)數(shù)，是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將原函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)。一般的，函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)y=fx仍然是x的函數(shù)

4、，那么y=fx的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=fx的二階導(dǎo)數(shù)。幾何意義1切線斜率變化的速度2函數(shù)的凹凸性例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側(cè)2.函數(shù)的極值局部概念與導(dǎo)數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.求函數(shù)的極值的方法是:如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值;如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;假設(shè)fx=0，那么在該點(diǎn)函數(shù)不增不減，可能為極值，也可能就為一過渡點(diǎn)。4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比擬，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的是偶函數(shù)可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的

5、是奇函數(shù)III. 求導(dǎo)的常見方法：常用結(jié)論：.形如或兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.無(wú)理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對(duì)數(shù)之后可變形為，對(duì)兩邊求導(dǎo)可得.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1 fx的導(dǎo)函數(shù) 的圖象如右圖所示，那么fx的圖象只可能是 D A B C D2函數(shù)( A )xxyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3專題8：導(dǎo)數(shù)文經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式。例1. 是的導(dǎo)函數(shù)，那么的值是 。 解析：，所以 答案：3 考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例2. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的

6、切線方程是，那么 。 解析：因?yàn)?，所以，由切線過點(diǎn)，可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，所以，所以答案：3例3.曲線在點(diǎn)處的切線方程是 。解析：，點(diǎn)處切線的斜率為，所以設(shè)切線方程為，將點(diǎn)帶入切線方程可得，所以，過曲線上點(diǎn)處的切線方程為：答案： 點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查。考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用。例4.曲線C：，直線，且直線與曲線C相切于點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。解析：直線過原點(diǎn)，那么。由點(diǎn)在曲線C上，那么，。又，在處曲線C的切線斜率為，整理得：，解得：或舍，此時(shí)，。所以，直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)是。答案：直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)是 點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類問題時(shí)應(yīng)注意“

7、切點(diǎn)既在曲線上又在切線上這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不是必要條件?？键c(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性。例5.在R上是減函數(shù)，求的取值范圍。解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。對(duì)于都有時(shí)，為減函數(shù)。由可得，解得。所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，。由函數(shù)在R上的單調(diào)性，可知當(dāng)是，函數(shù)對(duì)為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上存在增區(qū)間。所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上不是單調(diào)遞減函數(shù)。綜合123可知。答案： 點(diǎn)評(píng)：此題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問題，要有求導(dǎo)意識(shí)。考點(diǎn)五：函數(shù)的極值。例6. 設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值。1求a、b的值；2假設(shè)對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍。解析：1，因?yàn)?/p>

8、函數(shù)在及取得極值，那么有，即，解得，。2由可知，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，。那么當(dāng)時(shí)，的最大值為。因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為。答案：1，；2。 點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。求可導(dǎo)函數(shù)的極值步驟：求導(dǎo)數(shù)；求的根；將的根在數(shù)軸上標(biāo)出，得出單調(diào)區(qū)間，由在各區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)的極值?？键c(diǎn)六：函數(shù)的最值。例7. 為實(shí)數(shù)，。求導(dǎo)數(shù)；2假設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值。解析：1，。2，。令，即，解得或， 那么和在區(qū)間上隨的變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)0，。所以，在區(qū)間上的最大值為，最小值為。答案：1；2最

9、大值為，最小值為。 點(diǎn)評(píng)：此題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法。求可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的最值，要先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，然后與和進(jìn)行比擬，從而得出函數(shù)的最大最小值。考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題。例8. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為。1求，的值；2求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值。解析： 1為奇函數(shù)，即，的最小值為，又直線的斜率為，因此，2。，列表如下：增函數(shù)極大減函數(shù)極小增函數(shù)所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，在上的最大值是，最小值是。答案：1，；2最大值是，最小值是。點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等根底知識(shí)，以及推理能力和運(yùn)算能力。

10、導(dǎo)數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1. 曲線的一條切線的斜率為，那么切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 A A1B2C3D42. 曲線在點(diǎn)1，1處的切線方程為 B ABCD3. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于 D A1B2C3D44. 函數(shù)的解析式可能為 A ABCD5. 函數(shù)，在時(shí)取得極值，那么= D A2B3C4D56. 函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為( D )7. 假設(shè)函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，那么函數(shù)的圖象是 A xxyoAxyoDxyoCxyoB8. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值是AABCD9. 函數(shù)的極大值為，極小值為，那么為 A A0 B1 C2D410. 三次函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，那么 A A B CD 11. 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小

11、于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 D A3B2C1D012. 函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如下圖，那么函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)A A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè)D 4個(gè)填空題13. 曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為_。14. 曲線，那么過點(diǎn)“改為在點(diǎn)的切線方程是_15. 是對(duì)函數(shù)連續(xù)進(jìn)行n次求導(dǎo)，假設(shè)，對(duì)于任意，都有=0，那么n的最少值為 。16. 某公司一年購(gòu)置某種貨物400噸，每次都購(gòu)置噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，那么噸解答題17. 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極大值7；當(dāng)時(shí)，取得極小值求這個(gè)極小值及的值18. 函數(shù)1求的單調(diào)減區(qū)

12、間；2假設(shè)在區(qū)間2，2.上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.19. 設(shè)，點(diǎn)P，0是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線。1用表示；2假設(shè)函數(shù)在1，3上單調(diào)遞減，求的取值范圍。20. 設(shè)函數(shù)，是奇函數(shù)。1求、的值。2求的單調(diào)區(qū)間與極值。21. 用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？22. 函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)1求的最大值；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，假設(shè)在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)，求函數(shù)的表達(dá)式強(qiáng)化訓(xùn)練答案：1.

13、A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A填空題13. 14. 15. 7 16. 20解答題17. 解：。據(jù)題意，1，3是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，極小值極小值為25，。18. 解：1 令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為2因?yàn)?所以因?yàn)樵?，3上，所以在1，2上單調(diào)遞增，又由于在2，1上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值.于是有，解得故 因此即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為7.19. 解：1因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過點(diǎn)，0，所以， 即.因?yàn)樗? 又因?yàn)椋邳c(diǎn)，0處有相同的切線，所以而將代入上式得 因此故，2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.由，假設(shè)；

14、假設(shè)由題意，函數(shù)在1，3上單調(diào)遞減，那么所以又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在1，3上單調(diào)遞減.所以的取值范圍為20. 解：1，。從而是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；2由知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。21. 解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為m，那么長(zhǎng)為 (m)，高為.故長(zhǎng)方體的體積為從而令，解得舍去或，因此.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在處取得極大值，并且這個(gè)極大值就是的最大值。從而最大體積，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m.答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為。22. 解：1因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值