概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 編寫人：授課時(shí)間課時(shí)數(shù)授課方式理論課授課單元第三章：多維隨機(jī)變量及其分布要求與目的通過教學(xué)使學(xué)生了解二維隨機(jī)變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性。掌握二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。重點(diǎn)與難點(diǎn)(1) 重點(diǎn)是二維隨機(jī)變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性(2) 難點(diǎn)是二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要內(nèi)容一、基本概念聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)、邊緣分布函數(shù)二、離散型二維隨機(jī)變量離散型二維隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量連續(xù)型二維隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨(dú)立性四、二

2、維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布教學(xué)方法講授式 講練結(jié)合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)余長安編，武漢大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳傳生編，高等教育出版社思考題 第三章：多維隨機(jī)變量及其分布一、基本概念1聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（）是二維離散型隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布函數(shù)。2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)（1）單調(diào)性關(guān)于x(y)單調(diào)不減；（2）,；(3) 關(guān)于x(y)右連續(xù)；(4)3邊緣分布函數(shù)設(shè)（）是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則，二維隨機(jī)變量（）的邊緣分布函數(shù)。二、離散型二維隨機(jī)變量1. 離散型二維隨機(jī)變量的分布律設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它

3、們一切可能取的值為令 稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布. 二維聯(lián)合分布的三個(gè)性質(zhì)： 2. 離散型二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 3. 離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合概率分布=中對(duì)固定的關(guān)于求和而得到 4. 離散型二維隨機(jī)變量的條件對(duì)于固定的若，稱為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率. 同樣定義為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率. 條件概率符合概率的性質(zhì) 5. 離散型二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布列與邊緣分布為：， 定理1：離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)于任意的都有 例1 從1，2，3，4種任取一個(gè)記為，在從1種任取一個(gè)記為，(1)求二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律

4、 XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二維隨機(jī)變量（）的邊緣分布律。 (3)求的條件下，X的概率分布(4) 隨機(jī)變量獨(dú)立嗎？ 不獨(dú)立。例2 ，且，求隨機(jī)變量（）的聯(lián)合分布律及。X Y 0 101 0.3 0.2 0.1 0.40.50.5 0.4 0.6例3 已知X,Y獨(dú)立，完成下表： X Y 1 2 312 例4 已知（X,Y）的分布律為： X Y 0 112 0.4 a b 0.1已知獨(dú)立，求a,b三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量1定義與性質(zhì)如果聯(lián)是一個(gè)合分布函數(shù)，若存在函數(shù)，使對(duì)任意的，有 成立，則稱是一個(gè)連續(xù)型的聯(lián)合

5、分布函數(shù)，并且稱其中的是的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為密度.如果二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)是連續(xù)型分布函數(shù)，就稱是二維的連續(xù)型隨機(jī)變量.密度函數(shù)的性質(zhì)：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，任一二元密度函數(shù)必具有下述性質(zhì)：反過來，任意一個(gè)具有上述兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)，必定可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù).此外，密度函數(shù)還具有性質(zhì)：（3）若在點(diǎn)連續(xù)，是相應(yīng)的分布函數(shù)，則有 （4）若是平面上的某一區(qū)域，則 2連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布若（）聯(lián)合分布函數(shù)已知，那么，它的兩個(gè)分量X與Y的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)求得，概率密度 3. 連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布 若（）概率密度為，邊緣概率密度，稱 為在的條件下，隨

6、機(jī)變量的條件概率密度.類似地，稱 為在的條件下，隨機(jī)變量的條件概率密度.設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為，如果對(duì)任意的都 則稱是獨(dú)立的4.隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為，如果對(duì)任意的都 則稱是獨(dú)立的定理2：如果是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與也都是連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的Y密度函數(shù)分別為，這時(shí)容易驗(yàn)證X與Y獨(dú)立的充要條件為： 幾乎處處成立。說明：(1)或點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。 (2)X與Y獨(dú)立,則點(diǎn)點(diǎn)成立不一定點(diǎn)點(diǎn)成立。 (3)在個(gè)別點(diǎn)，則X與Y可能還獨(dú)立；在一點(diǎn)，則X與Y一定不獨(dú)立。例1：已知隨機(jī)變兩（X,Y）的概率密度為(1)求A (2)求分布函數(shù) 當(dāng)時(shí)， 其他， （3）求 (4) 求邊緣概率密

7、度 (5) 求條件概率密度 當(dāng)時(shí)，不存在； 當(dāng)時(shí)，(6) 求 (7)獨(dú)立嗎？點(diǎn)點(diǎn)成立，則X與Y獨(dú)立。例2：已知隨機(jī)變量（X,Y）時(shí)區(qū)域D上的分布，D由圍成，問X,Y是否獨(dú)立？解： 同理： 所以X,Y不否獨(dú)立。例3：甲乙兩人到達(dá)同一地點(diǎn)的時(shí)間X,Y服從7,8上的均勻分布，X,Y獨(dú)立，求X，Y的差不超過小時(shí)的概率。 X,Y獨(dú)立例4若二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 （ ）則稱服從二維正態(tài)分布，記作 。說明：（1）二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，； （2）二維隨機(jī)變量的邊緣分布都是是一維正態(tài)分布，則不一定服從二維正態(tài)分布；（3）是相關(guān)系數(shù)，獨(dú)立的充分必要條件是； （4），且獨(dú)立，則 四、二維隨

8、機(jī)變量函數(shù)的分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1已知二維隨機(jī)變量的分布為X Y121 1/41/621/31/4求：(1) (2) (3) 解：(1) (2) (3) 2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知（）聯(lián)合概率密度，求的概率密度。這類問題主要通過分布函數(shù)法求解。具體過程如下：(1)劃出的區(qū)域D；(2)作等值線(3)平行移動(dòng)等值線，尋找等值線與D相交的關(guān)鍵點(diǎn)。(4)當(dāng)時(shí)，=0,當(dāng)時(shí)，=1,當(dāng)時(shí) (5) 例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度解：令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， =; 3) 當(dāng)時(shí)，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：例3X,Y獨(dú)立且都服從0,1上的均勻分布，求的概率密度。 解： X,Y獨(dú)立，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， =;當(dāng)時(shí)， 例4練習(xí)冊(cè) 10