空間向量及空間位置關(guān)系學(xué)案-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

1、高三數(shù)學(xué)立體幾何導(dǎo)學(xué)活動(dòng)單PAGE 7空間向量及空間位置關(guān)系第6節(jié)空間向量及空間位置關(guān)系考試要求1.理解直線的方向向量及平面的法向量；2.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.知 識(shí) 梳 理1.空間向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義空間向量相等向量相反向量共線向量(或平行向量)共面向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間

2、任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0，若a，beq f(,2)，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作ab.非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，

3、b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積共線垂直模夾角5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量.6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示自主檢測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)若直線a的方向向量和平面的法向量平行，則a.()(3)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若ab0，則a，b是鈍角.()2.(老教材選修21P104練習(xí)2改編)已知

4、平面，的法向量分別為n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，則()A. B. C.，相交但不垂直 D.以上均不對(duì)3.(老教材選修21P118A組T6改編)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_.4.(2020成都七中周測(cè))已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1，1，1) B.(1，1，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3)，f(r(3),3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3)，f

5、(r(3),3)5.(2018合肥月考)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交 C.異面垂直 D.異面不垂直6.(2020西安月考)如圖所示，在四面體OABC中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq o(OE,sup6()_(用a，b，c表示).典型例題考點(diǎn)一空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用典例遷移【例1】 (經(jīng)典母題)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)

6、E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()；(2)eq o(EG,sup6()eq o(BD,sup6().【遷移1】 本例的條件不變，求證：EGAB.【遷移2】 本例的條件不變，求EG的長(zhǎng).【遷移3】 本例的條件不變，求異面直線AG和CE所成角的余弦值.【訓(xùn)練1】 如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求證：AC1BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值.考點(diǎn)二利用向量證明平行問(wèn)題【例2】 (一題多解)如圖所示，平面PAD平面AB

7、CD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB平面EFG.【訓(xùn)練2】 (一題多解)如圖，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2eq r(2)，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ3QC.證明：PQ平面BCD.考點(diǎn)三利用向量證明垂直問(wèn)題【例3】 如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.【訓(xùn)練3】 如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，

8、BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)Oeq r(3)，且FO平面ABCD.(1)求證：AE平面BCF；(2)求證：CF平面AEF.考點(diǎn)四與線、面位置關(guān)系有關(guān)的探索性問(wèn)題【例4】 如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求證：ACBF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC平面BCEF？若存在，求出eq f(BP,PE)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)堂檢測(cè)一、選擇題1.設(shè)u(2，2，t)，v(6，4，4)分別是平面，的法向量.若，則t等于()A.3 B.4 C.5 D.62.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1，1，2)，平面的一個(gè)法向量為n

9、(6，3，6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()A.P(2，3，3) B.P(2，0，1) C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)3.如圖，F(xiàn)是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn)，若D1FDE，則有()A.B1EEB B.B1E2EB C.B1Eeq f(1,2)EB D.E與B重合4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()的值為()A.a2 B.eq f(1,2)a2 C.eq f(1,4)a2 D.eq f(r(3),4)a25.如圖所示，在正方體ABCDA

10、1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MANeq f(r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)二、填空題6.已知平面內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一個(gè)法向量n(1，1，1)，則不重合的兩個(gè)平面與的位置關(guān)系是_.7.(2020西安調(diào)研)已知eq o(AB,sup6()(1，5，2)，eq o(BC,sup6()(3，1，z)，若eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(BP,sup6()(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)xy_

11、.8.下列命題：直線l的方向向量為a(1，1，2)，直線m的方向向量beq blc(rc)(avs4alco1(2，1，f(1,2)，則l與m垂直；直線l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，則l；平面，的法向量分別為n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，則；平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，則ut1.其中為真命題的是_(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上).三、解答題9.正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn).求證：MN平面A1BD.10.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面AB

12、CD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFPB于點(diǎn)F.求證：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.11.有下列命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb；若eq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6()，則P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，則eq o(MP,sup6()xeq o(MA,sup6()yeq o(MB,sup6().其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.412.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1，1，1) B.eq blc(rc)(avs4alco1