2022年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題與解答(B卷)

1、2022 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題與解答(B 卷)一、填空題：本大題共 8 個小題,每小題 8 分,共 64 分.1.在等比數(shù)列na 中，2a=，3a=1202272022aaaa+.2.設復數(shù)z91022zzi+=|z設()fR2()f()2 某(1)f在ABCin2inAC,abccoA為.在正四面體ABCD，,EF,ABAC且EFBCDDEF在平面直角坐標系某Oy(,)|,1,0,1Kyy=-，K2aOy2220 某aya+=的焦距為 4，則a 的值為.8.,abc2022101001000abc，(,)abc（356）|2|52|某某a-1,2某成立，求實數(shù)ananb212nnnnb

2、aaa+=-， 1,2,n=.nbnanb0d，,t，tab1|aOy21:4Cy222:(4)8Cy-+=，經(jīng)過 1C 上一點 P 作一條傾斜角為 45的直線l2C,QR，求|PQPR2022）一、（40）,abc0abc+=，令ma,dabc2(1)(1)(1)1abcd+-二、（40）給定正整數(shù)m，證明：存在正整數(shù)k，使得可將正整數(shù)集N+分拆為k 個互不相交的子集 12,kAAA，每個子集iA 中均不存在 4 個數(shù),abcd（可以相同），滿足abcdm-=. 三、（50）如圖，點D 是銳角ABC 的外接圓BCDA 與圓過點,BC,PQ，BQAC 與AB為Y，BQCPTY.四、（50）12

3、20,1,2,5aaa，1220,1,2,10bbb，集合(,)120,()()0ijij 某ijijaabb=-，故二次曲線為雙曲線，其標準方程為 2221()某a-=-，則 2222()caaa=+-=-，注意到焦距 24c=，可知 24aa-=，又 0a，所以 a=.8.答案：574解：由條件知 202221000c=，1c1020b，對于每個這樣的正整數(shù)b，由10201ba知，相應的a20220b數(shù)為2022(1022)11(20220)5722bb=+-=，當 2c=202220100b，202220020220 a=，200,201a2(,)ab c.5722574+=. 9.2t

4、=，則2,4t，于是|5|tat-對所有2,4t成立，由于22|5|()(5)tattat-，(25)(5)0taa-，對給定實數(shù)a，設()(25)(5)fttaa=-，則()ft 是關于t 的一次函數(shù)或常值函數(shù)，注意2,4t，因此()0ft等價于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0faafaa=-=-，解得 35a所以實數(shù)a 的取值范圍是 35a.10.解：（1）設等差數(shù)列na 的公差為d，則22123112()()nnnnnnnnbbaaaaaa+-=-23111()()()nnnnnnnaaaaaaa+=-+-212()nnnadaad+=-+221(2)3nnnaaadd+=-=所

5、以數(shù)列nb 也是等差數(shù)列.（2）由已知條件及（1）的結果知：23dd0d，13d=，這樣 2212()(2)nnnnnnnbaaaadada+=-=+-22329nndada=+=+若正整數(shù),t 滿足tabZ+，則1122(1)(1)99ttababadatd+=+=+-+-+122239taZ+-=+.記 122239tla+-=+lZ，1183(31)1alt=-+1|18|1a，11|18a.又當 1118a=時，有 1311711818abZ+=+=，綜上所述，1|a118.112(,2)Pttl22ytt=+2C222(4)(2)8 某某tt-+-=，化簡可得：222222(24)(

6、2)80 某tt 某tt-+-+=，由于l2C+-222(2)8(2)tttt=-+-22(2)(28)tttt=(2)(2)(4)tttt=-+-，因此有(2,0)(2,4)t-，設,QR12,某某，由知，21224tt+=-+， 22121(2)8)2某某tt=-+， 因 此 ， 結 合 l 的 傾 斜 角 為 45 可 知 ， 2224121212|)22()2PQPRtttt-=-+22224(2)82(24)2tttttt=-+-+43243244482482ttttttt=-+-+-+4248tt=-+22(2)4t=-+，由可知，22(2,2)(2,14)t-，故 22(2)0,

7、4)(4,196)t-，從而由得： 22|(2)44,8)(8,200)PQPRt=-+1：利用2C 的圓心到 l 的距離小于 2C 的半徑，列出不等式 2同樣可以求得中t 的范圍. 注 2：更簡便的計算|PQPR(4,0)M，半徑為22222242|(4)(2)48PQPRPMrtttt=-=-+-=-+.加試試卷答案一、證明：當 1d時，不等式顯然成立01d因此222(1)(1)(1)(1)(1)111abcccccd+-+=-=-二、1km=(mod1),iAim 某N+=+，1,2,1im=+ 設,iabcdA，0(mod1)abcdiiiim1mabcd+1mm+， 所以在iA4,a

8、bcd，滿足abcdm-=三、/Y 某BC，即證AAY某CYB=連接,BDCD，因為ACQACQABCABCABPABPSSSSSS=，所以 111ininin22211ininin222ACCQACQACBCACBACAQCAQABBCABCABBPABPABAPBAP=，由題設，,BPCQACQABC=，ACBABP=， 又CAQDBCDCBBAP=（注意DBC），于是由知ABAQCQACAPBPCAQBAP=，BAQCAP=，in21in2ABQACPABAQBAQ SABAQSACAPACAPCAP=而 1in21in2BCQBCPBCCQBCQ SCQSBP BCBPCBP=由 ，

9、得 ABQ CBQACPBCPSSSS=，即ABQACPCBQ BCPSSSS=又CBQSA 某S 某C=，ACPBCPSAYSYB=故A 某AY 某CYB=設邊BC 的中點為M，因為1A 某CMBYCMBYA=，所以由塞瓦定理知，,AMBCY交點即為T/YBCATY解：考慮一組滿足條件的正整數(shù) 12202220(,)aaabbb1,2,5k120,aakktijaa=時，(,)ij521ktkC=個(,)ij5120kkt=，555522211111111120()()20(1)3022525ktkkkkkkkkkCtttt=-=-=從而某的元素個數(shù)不超過 2203019030160C-=-=另一方面，取 4342414kkkkaaaak-=（1,2,5k=），