9平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示-2018年高考數(shù)學(xué)(理)熱點(diǎn)題型和提分秘籍含解析-4973

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.認(rèn)識(shí)平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4。理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件熱點(diǎn)題型一平面向量基本定理及其應(yīng)用例1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且AD錯(cuò)誤!BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)。設(shè)錯(cuò)誤!a，錯(cuò)誤!b，試用a,b為基底表示向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!.剖析：錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!ba錯(cuò)誤!b錯(cuò)誤!ba，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!b錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!ba。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!b錯(cuò)誤!a錯(cuò)誤!b?！咎岱置伢拧坑闷矫嫦蛄炕径ɡ斫鉀Q問題的一般思路(1）合理地選用基底是解題必

2、定具備的意識(shí)和能力.用基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再經(jīng)過向量的運(yùn)算來解決。2)要注意運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)、定理來解題。熱點(diǎn)題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精例2、【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上。若AP=AB+AD，則+的最大值為A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下圖,成立平面直角坐標(biāo)系設(shè)A0,1,B0,0,D2,1,Px,y【變式研究】已知A(2，4)，B(3，1），C(3，4）,設(shè)錯(cuò)誤!a，錯(cuò)誤!b，錯(cuò)誤!c，且錯(cuò)誤!3c，錯(cuò)誤!2b。(1)求3ab3c;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)求知

3、足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；（3)求M，N的坐標(biāo)及向量錯(cuò)誤!的坐標(biāo)。剖析：由已知得a（5,5），b(6，3），c(1，8)。1）3ab3c3（5,5)(6，3)3(1,8)(1563,15324）(6，42).2)mbnc(6mn，3m8n）（5，5），錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!剖析:由已知得a（5，5)，b(6，3），c（1,8)。（1）3ab3c3（5，5）（6，3)3(1，8）(1563，15324）（6，42)。2)mbnc（6mn,3m8n)（5，5），錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!【提分秘笈】向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧向量的坐標(biāo)運(yùn)算主假如利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法例進(jìn)行的.若已知有向線段兩頭點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量

4、的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法例的正確使用。【貫串交融】1已知平面向量a（1，1），b(1，1)，則向量a錯(cuò)誤!b()2A(2，1）B（2，1)C(1，0）D(1,2）剖析:錯(cuò)誤!a錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!b錯(cuò)誤!，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故錯(cuò)誤!a錯(cuò)誤!b(1，2)。答案：D熱點(diǎn)題型三平面向量共線的坐標(biāo)表示例3【2017課標(biāo)II，理12】已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA(PBPC)的最小是（)A。2B。3C。2D。1【答案】B43【剖析】如圖，以BC為x軸,BC的垂直均分線DA為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)成立平面直角坐標(biāo)系，則A0,3,B1,0,C1,0，設(shè)Px

5、,y，所以PAx,3y，PB1x,y,PC1x,y，所以PBPC2x,2y，PAPBPC2x22y3y2x22(y3)233,222當(dāng)P0,2時(shí)，所求的最小值為3，應(yīng)選B3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2），b（1，2）,c（4，1)?；卮鹨韵聠栴}：(1）若(akc)（2ba）,求實(shí)數(shù)k;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2)設(shè)d(x，y）知足（dc)(ab）且|dc1，求d。剖析：（1）akc(3，2）k(4，1）（34k，2k），2ba（2,4）（3，2)(5，2），34k5錯(cuò)誤!。68k105k.k錯(cuò)誤!?！咎岱置伢拧?依照向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值利用向量共線轉(zhuǎn)變?yōu)楹瑓?shù)的方程,解方程可求參數(shù).

6、2利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槿欠匠?再利用三角恒等變學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精換求解。【貫串交融】已知梯形ABCD，其中ABCD,且DC2AB，三個(gè)極點(diǎn)A(1，2),B（2，1），C(4,2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_。1?！?017課標(biāo)3,理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=AB+AD，則+的最大值為A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下圖，成立平面直角坐標(biāo)系學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精設(shè)A0,1,B0,0,D2,1,Px,y依照等面積公式可得圓的半徑是2，即圓的方程是x2y24525APx,y1,AB

7、0,1,AD2,0，若知足APABAD即x2，x,1y，所以xy1,設(shè)zxy1，即y1222xz0，點(diǎn)Px,y在圓x224上，所以圓心到直線的距y1y2252z2z3，所以z的最大值是3，即離dr，即15，解得114的最大值是3，應(yīng)選A。【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量基本定理2?！?017課標(biāo)II,理12】已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA(PBPC)的最小是()A。2B。3C。423D.1【答案】B學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算;函數(shù)的最值3【.2017課標(biāo)1,理13】已知向量a，b的夾角為60，a|=2，b|=1，則|a+2b=?！敬?/p>

8、案】23【剖析】利用以以以下圖形，能夠判斷出a2b的模長是以2為邊長的菱形對(duì)角線的長度,|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60412所以|a2b|1223。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【考點(diǎn)】平面向量的運(yùn)算.1.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足DA=DB=DC，DB=DBDC=DCDA=2,動(dòng)點(diǎn)P,M知足APDA=1，PM=MC，則2的最大值是（)BM4349376337233（A）4（B）4(C）4（D）4【答案】B【剖析】甴已知易得ADCADBBDC120,DADBDC2.以D為原點(diǎn),直線DA為x軸成立平面直角坐標(biāo)系,以以下圖,則A2,0,B1,3,

9、C1,3.設(shè)Px,y,由已知AP1，得x2y21，2又PMMC,Mx1,y3,BMx1,y33,222222y332x+12y2BM4，它表示圓x21上的點(diǎn)x，y與點(diǎn)1212249,應(yīng)選321,33的距離的平方的BM3314，max44B。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【2015高考福建，理9】已知ABAC,AB1,ACt,若P點(diǎn)是ABCt所在平面內(nèi)一點(diǎn)AB4AC，則PBPC的最大值等于,且APACAB(）A13B15C19D21【答案】Ay【剖析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，成立平面直角坐標(biāo)系,以以下圖，則B(1C,0)，C(0,t)，tAP（1，0)+4(0,1)=(1,4)，即P（1，4),所以PB=（

10、11，-4)，PC=（A1，t-4)，所以PBPCt114t1617(14t)，因?yàn)閠t1214，所以PBPC的最大值等4t4tttPBx于13，當(dāng)1t4t,即t12時(shí)取等號(hào)【2015高考湖北，理11】已知向量OAAB，|OA|3，則OA?OB?！敬鸢浮?學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】因?yàn)镺AAB，|OA|3，所以O(shè)A?OBOA?(OAAB)|OA|2OA?OB|OA|2329。1（2014重慶卷)已知向量a(k，3)，b（1，4），c(2，1)，且(2a3b）c，則實(shí)數(shù)k（）A錯(cuò)誤!B0C3D。錯(cuò)誤!【答案】C【剖析】2a3b2(k，3）3（1，4)(2k3，6），又(2a3b）c，(2

11、k3)2(6）0，解得k3.2（2014福建卷）在以下向量組中，能夠把向量a（3，2）表示出來的是(）Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1（1，2)，e2(5，2）Ce1(3，5）,e2（6，10)e1(2,3)，e2（2，3)【答案】B【剖析】由向量共線定理，選項(xiàng)A，C，D中的向量組是共線向量，不能夠作為基底;而選項(xiàng)B中的向量組不共線，能夠作為基底，應(yīng)選B。3(2014山東卷)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n），函數(shù)f(x)ab,且yf(x）的圖像過點(diǎn)錯(cuò)誤!和點(diǎn)錯(cuò)誤!.（1)求m，n的值;學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）將yf（x)的圖像向左平移（0）個(gè)單位后獲取函數(shù)yg(

12、x)的圖像，若yg(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3)的距離的最小值為1，求yg（x)的單一遞加區(qū)間2）由（1)知f(x)3sin2xcos2x2sin錯(cuò)誤!.由題意知,g(x)f（x）2sin錯(cuò)誤!。設(shè)yg（x)的圖像上切合題意的最高點(diǎn)為（x0,2)由題意知，x錯(cuò)誤!11，所以x00，即到點(diǎn)（0,3）的距離為1的最高點(diǎn)為（0，2)將其代入yg(x)得,sin錯(cuò)誤!1。因?yàn)?，所以錯(cuò)誤!.所以，g(x)2sin錯(cuò)誤!2cos2x。由2k2x2k，kZ得k錯(cuò)誤!xk，kZ,所以函數(shù)yg(x）的單一遞加區(qū)間為錯(cuò)誤!，kZ.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4（2014陜西卷）設(shè)0錯(cuò)誤!，向量a(sin2,c

13、os),b(cos，1)，若ab，則tan_【答案】錯(cuò)誤!【剖析】因?yàn)橄蛄縜b，所以sin2coscos0，又cos0,所以2sincos,故tan錯(cuò)誤!。5(2014陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A（1，1），B(2，3),C（3,2）,點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的地區(qū)(含界線）上1）若錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0,求|錯(cuò)誤!；2）設(shè)錯(cuò)誤!m錯(cuò)誤!n錯(cuò)誤!（m,nR），用x，y表示mn，并求mn的最大值【剖析】（1）方法一：錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0，又錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（1x,1y）（2x,3y）（3x,2y）(63x，63y)，錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!（2，2），故錯(cuò)誤!|2錯(cuò)誤!.方法二：

14、錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!0，則(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!)（錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）0，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!）(2，2)，錯(cuò)誤!|2錯(cuò)誤!。2)錯(cuò)誤!m錯(cuò)誤!n錯(cuò)誤!，(x，y）（m2n，2mn)，錯(cuò)誤!學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精兩式相減得，mnyx,令yxt，由圖知,當(dāng)直線yxt過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t獲取最大值1,故mn的最大值為1。1.已知向量a=（2,4)，b=(1，1），則2a-b=（)A。(5，7)B。(5，9）C.（3，7）D。(3，9）【剖析】選A。2a-b=2(2，4)-（-1，1)=（5,7)。2.在ABC中,已知A（2，1）,B(0，2），BC=(1,2)，則向量AC=()

15、A.（0，0）B。(2，2)C。(-1，-1）D.（-3,-3)【剖析】選C。因?yàn)锳(2，1），B(0，2),所以AB=(2，1).又因?yàn)锽C=（1,-2）,所以AC=AB+BC=（-2，1)+(1，-2）=(-1，1).3。若向量a=（2，1)，b=(2，3)，則以下向量中與向量2a+b學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精共線的是()A。（5，2)B。（4，10)C。(10，4）D.1，2)【剖析】選B。因?yàn)橄蛄縜=（2，1），b=(-2，3）,所以2a+b=(2，5）.又(4,10)=2(2，5)=2(2a+b)，所以B項(xiàng)與2a+b共線。4。已知a=（1，1）,b=(1,2)，c=(5，-1)，則c

16、可用a與b表示為(）A。a+bB.2a+3bC.3a2bD。2a-3b【剖析】選C。因?yàn)閍=（1，1)，b=（-1,2)，c=（5,-1),所以a+b=（0，3）c，2a+3b=2(1，1）+3(1,2)=（-1，8)c，3a-2b=3(1，1）-2(1,2）=(5，1）=c，2a3b=2(1,1)-3(1，2）=（5，4）c.應(yīng)選C.5。在ABC中，點(diǎn)P在BC上,且BP=2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，）若PA=(4，3）,PQ=(1，5),則BC=（A.(2,7)B。（6，21）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精C.（2，-7)D.(6，21）【剖析】選B。由條件知，PC=2PQ-PA=2(1，5）-（

17、4，3)=(-2，7)，因?yàn)锽P=2PC=(-4，14),所以BC=BP+PC=(-6，21）.6。在ABC中，已知a，b,c分別為A，B,C所對(duì)的邊，S為ABC的面積，若向量p=(4，a2+b2c2），q=(1，S)知足pq，則C=()A.4B。3C。2D。347.在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延伸線上，且BC=3CD，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合)，若AO=xAB+（1x）AC,則x的取值范圍是（）A。(0，1B。(0，12)3)C。(-21，0)D.(-31，0)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【剖析】選D.如圖.依題意，設(shè)BO=，其中13，BC4則有+=+=ABAOABBOBC=+（AB

18、）=(1)+。ABACABAC31，0)，即又AO=xAB+(1x)AC，且AB，AC不共線,于是有x=1(-x的取值范圍是(-13，0).8。設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a=e1+2e2，b=e1+e2，若e1+e2=xa+yb,則x+2y=（)A。13B。13C。1D。0【剖析】選D。因?yàn)閑1+e2=xa+yb.a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=x(e1+2e2)+y(-e1+e2)=(xy）e1+（2x+y)e2.由平面向量基本定理,得x-y=1，2x+y=1，x=2，3所以1y=-3.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故x+2y=32+2(-31)=0.9。已知A（7，1)、B(1,4）,直線y=21ax與線段AB交于C，且AC=2CB，則實(shí)數(shù)a等于?！酒饰觥吭O(shè)C（x，y），則AC=(x7，y-1),CB=(1-x，4y).因?yàn)锳C=2CB，所以x-7=2(1-x)，解得x=3，所以C（3，3）.y-1=2(4-y)