導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教師

1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識梳理1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f(x)0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f(x)0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f(x)0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f(x)的零點(diǎn)；第3步，用f(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性常用結(jié)論1若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x(a，b)時，f(x)0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x(a，b)時，f

2、(x)0恒成立上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x(a，b)時，f(x)0有解題型一確定函數(shù)的單調(diào)性例1 （1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）ABCD【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，解不等式即可.【詳解】，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：D.（2）下列圖像中，可以作為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像的是（）ABCD【答案】AC【分析】為二次函數(shù)，根據(jù)參數(shù)確定可能的圖像即可【詳解】由題意得，則的圖像開口向上當(dāng)時，為偶函數(shù)，其圖像可以為A中的圖像當(dāng)時，不是偶函數(shù)，其圖像不關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，的圖像可以為C中的圖像故選：AC訓(xùn)練鞏固1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)【答案】(1)答案見詳解；(2)答案見詳解.

3、【分析】本題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可.（1）易得函數(shù)的定義域為，令，解得，（舍去），當(dāng)x變化時，的變化情況如下表所示：x0函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）易得函數(shù)的定義域為，令，解得或，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表所示：x00函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，2.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）ABCD【答案】C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，函數(shù)是增函數(shù)，時，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)

4、用例2 （1），的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】C【分析】由題可知，只需比較，的大小，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題可知，所以只需比較，的大小設(shè)，因為，所以，記，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，故.故選：C（2）定義在R上的函數(shù)滿足，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）ABCD【答案】C【分析】設(shè)，結(jié)合題設(shè)條件，利用導(dǎo)數(shù)求得在定義域上單調(diào)遞增，把不等式，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)，可得因為，所以，所以，所以在定義域上單調(diào)遞增，又因為，即，又由，所以，所以，所以不等式的解集為.故選：C訓(xùn)練鞏固3.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）ABCD

5、【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域?qū)⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】解：由題意可知，函數(shù)的定義域為.因為恒成立，所以在上單調(diào)遞減.則由可得，解得，即原不等式的解集為.故選：B.4.已知，則（）ABCD【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而即可比較大小.【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，因為，所以當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，題型三含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例3 （1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則_【答案】【解析】求出，由和3是的根可得【詳解】由題意，所以的兩根為和3，所以，所以，故答案為：（2）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求的單

6、調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍【答案】（1）的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）；（3）【分析】（1）由解析式確定，令、求x的范圍，即可知單調(diào)區(qū)間；（2）由在內(nèi)單調(diào)遞增，則在上恒成立，令，即，進(jìn)而求參數(shù)范圍；（3）由存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在有解，可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，且定義域為，即，若，得；若，得，的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）由題意知：在內(nèi)恒成立，則恒成立，令，則即可，而在內(nèi)的最小值為（3）依題意，在區(qū)間內(nèi)有解，即在區(qū)間內(nèi)有解，而對稱軸為且開口向上，必有，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)

7、增，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，求參數(shù)值；（3）由在定義域內(nèi)存在減區(qū)間，即在定義域內(nèi)有解，求參數(shù)值；訓(xùn)練鞏固5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】【分析】先求得的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】，令，解得或，令，解得.故在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增.又在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則只需，解得.故實數(shù)m的取值范圍為.6.設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間【答案】答案見解析【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，分成和兩種情況討論.【詳解】的定義域為，若，則，所以在上單調(diào)遞增若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在

8、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增課后練習(xí)1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）ABCD【答案】B【分析】先求定義域，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，解不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，令，得，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：B2函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷【詳解】由題意，知的解集即的單調(diào)遞減區(qū)間，故的解集為故選：A3已知在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）ABCD【答案】B【分析】求導(dǎo)，利用單調(diào)性得到在上恒成立，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由可得，由題意得，即在上恒成立，而，故故選：B4若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取

9、值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于或等于0，即可求解.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以.故選:B.5“”是“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意求出的范圍，利用充要條件的判斷方法，判斷即可【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在上恒成立，所以，顯然，則有函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，可以為0，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”的充分而不必要條件故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查必要條件

10、、充分條件和充要條件的定義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題6已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（）ABCD【答案】A【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，將所求不等式變形為，解之即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，故函數(shù)為奇函數(shù)，且不恒為零，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，則，所以，解得.故選：A.7若都有成立，則a的最大值為（）AB1CeD2e【答案】B【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，又由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而即可得的最大值.【詳解】解：原不等式可轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，則單調(diào)遞減.由于都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以a的最大值為1.故選：B.8已知定義在上的函

11、數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）ABCD【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可得，即可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,因為,故,因此可得在上單調(diào)遞減，由于，故，故選：A9已知函數(shù)是在R上連續(xù)的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為當(dāng)x0時，且，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為_【答案】1【分析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根, 設(shè)，對求導(dǎo)，結(jié)合題意知為上的增函數(shù)，由，即可得出答案.【詳解】，則函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根設(shè)，由題意得，因為的定義域為R，所以為R上連續(xù)的奇函數(shù)易得，由題知，當(dāng)x0時，則，即函數(shù)為上的增函數(shù)，又因為為R上連續(xù)的奇函數(shù)，所以為R上的增函數(shù)由，得，則方程只有一個根，故函數(shù)只有1個零點(diǎn)故答案為：1.10設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）分，討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合條件即得.（1）由題可得，由，可得，若，則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，即時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是.1