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1、共軛梯度法二、共軛梯度法 共軛梯度法是針對(duì)二次函數(shù)f(x)=(1/2)xTGx+bTx+c ，x=（x1,x2,.,xn）T的無約束極小問題，考慮出一種搜索方向的合理選取方法，然后形式地推廣到一般的可微函數(shù)。 首先注意到，對(duì)于變量分離的函數(shù)f(x)=f1(x1)+f2(x2)+.+fn(xn) 則從任意一點(diǎn)x(1)出發(fā)，分別沿每個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行一維搜索，進(jìn)行一遍（共進(jìn)n次線搜索）以后，一定就能得到minf(x)的最優(yōu)解。 而對(duì)于形為上述二次函數(shù)，其中G為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，只要我們適當(dāng)選取Rn的一組p1,p2,.pn，使得pi滿足條件piTQpj=0(ij) 則易見在新的基下，f(x)就成為變量分

2、離的形式。于是，從任何一個(gè)初始點(diǎn)x(1)出發(fā)，分別沿每個(gè)pi方向作線搜索，經(jīng)過一輪后，肯定就能得到最優(yōu)解，我們把滿足上述條件的n維方向稱為是G-共軛的。定義：設(shè)G為n階實(shí)對(duì)陣正定矩陣，若n維方向x和y滿足xTGy=0則稱方向x和y是G-共軛的。共軛梯度法就是在每個(gè)迭代點(diǎn)x(k)處，以負(fù)梯度- f(x(k)和前一個(gè)搜索方向pk-1適當(dāng)組合，構(gòu)成和前面k-1個(gè)搜索方向p1,p2,.pk-1均兩兩G-共軛的搜索方向pk，故以此命名。基于上面的考慮，現(xiàn)在的問題是如何構(gòu)造出兩兩G-共軛的方向？三、算法特點(diǎn)： 1、全局收斂（下降算法）；線性收斂； 2、每步迭代只需存儲(chǔ)若干向量（適用于大規(guī)模問題）； 3、有二次終結(jié)性（對(duì)于正定二次函數(shù)，至多n次迭代可達(dá)opt.） 注：對(duì)不同的 k公式，對(duì)于正定二次

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