新教材人教A版選擇性必修第一冊-3.2.2-第1課時-雙曲線的簡單幾何性質(zhì)-學案

1、 PAGE PAGE 63.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)素養(yǎng)目標定方向 課程標準學法解讀1了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱軸、頂點、實軸長和虛軸長等)2了解雙曲線的漸近線，能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決簡單的相關(guān)問題1依據(jù)雙曲線的方程、圖形研究雙曲線的幾何性質(zhì)(數(shù)學抽象)2依據(jù)幾何條件求出雙曲線的標準方程，并利用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題(數(shù)學運算)3能綜合利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題(數(shù)學運算、邏輯推理)必備知識探新知 知識點1 雙曲線的性質(zhì)標準方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2

2、)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍_xa或xa_ya或ya_對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線_yeq f(b,a)x_yeq f(a,b)x_離心率e_eq f(c,a)_，e(1，)，其中ceq r(a2b2)a，b，c間的關(guān)系c2_a2b2_(ca0，cb0)思考：雙曲線的離心率有什么作用？提示：雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小知識點2 等軸雙曲線實軸和虛軸_等長_的雙曲線，它的漸近線方程是_yx_，離心率為eq r(2)關(guān)鍵能力攻重難 題型探究題型一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)典例1求雙曲線9y24x236的頂

3、點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程分析將雙曲線方程化為標準方程，先求出參數(shù)a，b，c的值，再寫出各個結(jié)果解析雙曲線的方程化為標準形式為eq f(x2,9)eq f(y2,4)1a29，b24，a3，b2，ceq r(13)又雙曲線的焦點在x軸上，頂點坐標為(3,0)，(3,0)，焦點坐標為(eq r(13)，0)，(eq r(13)，0)，實軸長2a6，虛軸長2b離心率eeq f(c,a)eq f(r(13),3)，漸近線方程為yeq f(2,3)x規(guī)律方法求雙曲線的幾何性質(zhì)的基本思路1已知雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)時，若不是標準方程，則應(yīng)先化為標準方程，確定方程中a，b的對

4、應(yīng)值，利用c2a2b2得到c值，然后確定雙曲線的焦點位置，從而寫出它的幾何性質(zhì)2求雙曲線的漸近線方程時要特別注意焦點在x軸上還是在y軸上，以免寫錯【對點訓練】(1)雙曲線2x2y28的實軸長是(D)A2B2eq r(2)C4D4eq r(2)(2)雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,9)1的漸近線方程是(C)Ayeq f(2,3)xByeq f(4,9)xCyeq f(3,2)xDyeq f(9,4)x解析(1)雙曲線方程可變形為eq f(y2,8)eq f(x2,4)1，所以a28，a2eq r(2)，故實軸長2a4eq r(2)(2)因為a24，b29，焦點在x軸上，所以漸近線方程為

5、yeq f(b,a)xeq f(3,2)x題型二根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標準方程典例2求滿足下列條件的雙曲線的方程：(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，實軸長與虛軸長之比為23，且經(jīng)過點P(eq r(6)，2)；(2)已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為eq f(5,3)，且經(jīng)過點M(3,2eq r(3)；(3)若雙曲線的漸近線方程為2x3y0，且兩頂點間的距離是6分析對于(1)和(2)，可直接設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件求出參數(shù)a，b的值，即得方程；對于(3)，焦點位置不確定，應(yīng)分類討論解析(1)設(shè)雙曲線方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)雙曲線過點P(eq r(6)，2)

6、，eq f(4,a2)eq f(6,b2)1由題意得eq blcrc (avs4alco1(f(a,b)f(2,3)，,f(4,a2)f(6,b2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2f(4,3)，,b23.)故所求雙曲線方程為eq f(3y2,4)eq f(x2,3)1(2)設(shè)所求雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eeq f(5,3)，e2eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)1eq f(b2,a2)eq f(25,9)，eq f(b,a)eq f(4,3)由題意得eq blcrc (avs4alco1(f(b,a)f(4,3

7、)，,f(9,a2)f(12,b2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2f(9,4)，,b24.)所求的雙曲線方程為eq f(4x2,9)eq f(y2,4)1(3)設(shè)雙曲線方程為4x29y2(0)，即eq f(x2,f(,4)eq f(y2,f(,9)1(0)，由題意得a3當0時，eq f(,4)9，36，雙曲線方程為eq f(x2,9)eq f(y2,4)1；當0時，eq f(,9)9，81，雙曲線方程為eq f(y2,9)eq f(4x2,81)1故所求雙曲線方程為eq f(x2,9)eq f(y2,4)1或eq f(y2,9)eq f(4x2,81)1規(guī)律方法由雙曲線

8、的性質(zhì)求雙曲線的標準方程(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧漸近線為axby0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y2(0)【對點訓練】求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為eq f(5,3)；(2)過點(2,0)，與雙曲線eq f(y2,64)eq f(x2,16)1離心率相等解析(1)設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，由題意知2b8，eeq f(c,a)eq f(5,3)，從而b4，ceq f(5,

9、3)a，代入c2a2b2，得a29，故雙曲線的標準方程為eq f(x2,9)eq f(y2,16)1(2)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設(shè)其方程為eq f(x2,64)eq f(y2,16)(0)，將點(2,0)的坐標代入方程得eq f(1,16)，故所求雙曲線的標準方程為eq f(x2,4)y21；當所求雙曲線焦點在y軸上時，可設(shè)其方程為eq f(y2,64)eq f(x2,16)(0)，將點(2,0)的坐標代入方程得eq f(1,4)0(舍去)綜上可知，所求雙曲線的標準方程為eq f(x2,4)y21題型三求雙曲線的離心率典例3已知圓C：x2y210y210與雙曲線eq f(x2,a2)

10、eq f(y2,b2)1(a0，b0)的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是(C)Aeq r(2)Beq f(5,3)Ceq f(5,2)Deq r(5)解析由雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，可得其一條漸近線的方程為yeq f(b,a)x，即bxay0，又由圓C：x2y210y210，可得圓心為C(0,5)，半徑r2，則圓心到直線的距離為deq f(|5a|,r(b2a2)eq f(5a,c)，則eq f(5a,c)2，可得eeq f(c,a)eq f(5,2)規(guī)律方法1求雙曲線的離心率，常常利用已知條件列出關(guān)于a、b、c的等式，利用a2b2c2消去b化為關(guān)于a

11、、c的齊次式，再利用eeq f(c,a)化為e的方程求解2學習雙曲線中應(yīng)注意的幾個問題：(1)雙曲線是兩支曲線，而橢圓是一條封閉的曲線；(2)雙曲線只有兩個頂點，離心率e1；(3)等軸雙曲線是一種比較特殊的雙曲線，其離心率為eq r(2)，實軸長與虛軸長相等，兩條漸近線互相垂直；(4)注意雙曲線中a、b、c、e的等量關(guān)系與橢圓中a、b、c、e的不同【對點訓練】(2019全國卷文，10)雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130，則C的離心率為(D)A2sin 40B2cos 40Ceq f(1,sin 50)Deq f(1,cos 50)解析由題意可得eq f(b,a)tan 130，所以e eq r(1f(b2,a2)eq r(1tan2130) eq r(1f(sin 2130,cos2130)eq f(1,|cos 130|)eq f(1,cos 50)故選D易錯警示典例4雙曲線的漸近線方程為yeq f(3,4)x，則離心率為(C)Aeq f(5,4)Beq f(r(5),2)Ceq f(5,3)或eq f(5,4)Deq f(r(5),2)或eq f(r(15),3)錯解由雙曲線的漸近線方程為yeq f(3,4)x，得eq f(b,a)eq f(3,4)，所以eeq f(c,a)eq r(