2022年廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022 高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng) 105請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符作答選擇題，必須用 2B答案作答非選擇題，必須用 05 毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效 52B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知非零向量a ，b 滿足|，則“ a 2ab 是“ab”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件D既不充分也不必要條件解:已知i 4（）(1 i)2ABC2D某網(wǎng)店2019 年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019 年這一年的

2、收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A月收入的極差為60B7月份的利潤最大C這12 個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D這一年的總利潤超過400萬元x2 y20,b0)FF，一條漸近線方程為lybx且與l 垂直的直線分a2b212a1P,Q，滿足OP1OF 1OQ，則該雙曲線的離心率為（）212A 10B3C 5D2設(shè)全集U RA 0 xBxAB（）A2,B2,C,2D 為實(shí)現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新2015 （ 脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為70% 2015 年開始，全面實(shí)施”政策后，扶貧效果明顯提高， 2019 （參加該項(xiàng)目戶數(shù)占 2019 年貧困戶總數(shù)的比及該項(xiàng)目的脫貧見下表：實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠

3、就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比40%40%10%10%脫貧率95%95%90%90%那么2019年的年脫貧率是實(shí)精準(zhǔn)扶貧政策前的年均脫貧率的（）A倍B倍C48倍D7 倍2835355若復(fù)數(shù)z 滿足zi1i（i為虛數(shù)單位，則其共軛復(fù)數(shù)z 的虛部為（）ABiC1D12x x,x0,fx) x2 1,x，則f (f (1)（）A2B3C4D5a log23,b log47,c0.74，則實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為（）Aa b cBc a bCb a cDcba設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列， a a a 6， 6.則這個(gè)數(shù)列的前7 項(xiàng)和等于（）n1357A12B21C24D361f(xe|x|sin2x的部分圖象大致是（）

4、8ABCD已知復(fù)數(shù)z 滿足z ii，(i 為虛數(shù)單位則z ()A 2B 3C2D3二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。已知兩圓相交于兩點(diǎn)Aa,3,B若兩圓圓心都在直線xyb0上則ab的值是.在三棱錐ABCD中，已知BC CD BD 2AB 2AD=6 ，且平面ABD 平面BCD ，則三棱錐ABCD外接球的表面積為.若方程axx0,a1有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.拋物線y4x2的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。2217（12分）已知矩陣M 的一個(gè)特征值為，求另一個(gè)特征值及其對應(yīng)的一個(gè)特征向218（12分）在

5、a2，ab2，bc2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求 ABC 的面積 的值（或最大值已知 ABC 的內(nèi)角A，B ，C 所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S 滿足關(guān)系式： 4S b2 c2 a2 ，且，求 ABC 的面積的值（或最大值19（12分）已知點(diǎn)M(1,0), N(1,0)，若點(diǎn)P(x, y)滿足|PM |PN 4.（）求點(diǎn) P 的軌跡方程；（）過點(diǎn)Q(3,0) 的直線l與（）中曲線相交于B 兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 求AOB 面積的最大值及此時(shí)線l 的方程.20（12分與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表，得到了散點(diǎn)圖（如下圖.xyw10i1

6、x x210ii1w w210ii1x x y y ii10i1w wy y ii1.4720.60.782.350.8119.316.2w 1ix2i，w 1 10 w .10ii1y abxy c類型？（不必說明理由）d y x 的回歸方程x2yx的回歸方程；若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t x 成正比，那么，利用第問求得的回歸方程知x 為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)v11,u , v2,u , v ,33,u , vn，其回歸直線v 的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分n uiv， v u，別為i n u2ii121（12分）設(shè)等比數(shù)列a 的前n項(xiàng)和為S ，若a 2S1(nN)nnn

7、1n（）求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式；nan和an1之間插入n 個(gè)實(shí)數(shù)，使得這 n 2 個(gè)數(shù)依次組成公差為dn1 的前n 項(xiàng)和為T ，dnnTn 2 .22（10分）如圖，平面四邊形ABCD為直角梯形，AD/BC，ADC 90 ，AB AD 2BC 2，ABD繞著AD 翻折到PAD.M 為PC上一點(diǎn)，且PM MC，當(dāng)平面DMB時(shí)，求實(shí)數(shù) 的值；當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角大小為30時(shí)，求PC與平面ABCD所成角的正弦.參考答案125601、C【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系| a 2b 2a b | a b 0 a b ，可得選項(xiàng).【詳解】|a|=|2ab| a2 =2ab a2

8、4a b 4b2=4a2 4a b b2 ，|ab|0，等價(jià)于ab 0 a b， 故選：C.【點(diǎn)睛】2、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】44 2i .(1i)22ii2故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題. 3、D【解析】直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為90 30 60A 正確；1 12 20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7 月份的利潤最高，故選項(xiàng)B 正確； 380 3030C D 錯(cuò)誤.D .【點(diǎn)睛】4、A【解析】P x , ,Q x ,PQ b c，聯(lián)立方程得到y(tǒng) y122ab3

9、，y y1 2a2b4，1122ab2 a2cb2 a2c2根據(jù)向量關(guān)系化簡到b2 9a2 ，得到離心率.【詳解】P x y ,Qx ，直線 PQ 的方程為 x b y c .11x b22ay a聯(lián)立 整理得b4 a4y2 2ab3cy a2b4 0， x2 y21,a2b2則 y y1 2ab3 ,y y12a2b4.b2 a211b2 a2c2因?yàn)镺P OF OQP為線段22121 2 y ，1y y 294a2b6b2 a2c24b212y y122b2 a2c2a2b4b2 a2，整理得b2 9a2 ，10故該雙曲線的離心率e .10A .【點(diǎn)睛】5、C【解析】A 0 x B x A

10、 B 6、B【解析】設(shè)貧困戶總數(shù)為a，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率P2400 9502100 900，進(jìn)而可求.0000【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為a P 2 40 009500a 210 00a 90 00 94 0 ，094 0所以7000 47 .35472019 精準(zhǔn)扶貧35 倍.故選：B【點(diǎn)睛】7、D【解析】由已知等式求出 z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得 z ，即可得 z的虛部.【詳解】1iii由 zi1i，z i1iz=-1+i 1D【點(diǎn)睛】8、A【解析】根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】2x x,x0,因?yàn)?f (x) x2 1,x 0,A .【點(diǎn)睛】f f (1) f (2) 22 2 2

11、.9、A【解析】將a 化成以4為底的對數(shù)，即可判斷a,b的大小關(guān)系；由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出b,c與1 的大小系，從而可判斷三者的大小關(guān).【詳解】依題意，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a log 3 log 9 b log 7 .244又因?yàn)閏 0.74故選:A.【點(diǎn)睛】 0.70 1 log 4 log 7 b ，故a b c .44兩個(gè)對數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相 1,0比較大小.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a ，由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.3【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列， a a a 6，n135所以3a3 6 ，即a3 2，又a 6，7a a所以d 73 1，a 2d 0

12、，7313故S77(a a 172 21故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，性質(zhì)，等差數(shù)列的和，屬于中檔題. 11、C【解析】判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】f x f x， 函數(shù)是奇函數(shù)，排除 D ，x0, f x0 x, 時(shí)， f x 0 ，排除 ，2B2 2 x0,sin2x1e1 1 xx 0,1當(dāng)2 時(shí)，8,e 2 8 8 x 0, f x0,1A ，22C C.【點(diǎn)睛】.12、A【解析】z ii1iz 2，故選 A.24520131【解析】ABxyb0ABx y b 0 .【詳解】Aa,3BAB M a 12 ，2a12b0,2a 1b

13、 2 a b 1.故答案為： 1.【點(diǎn)睛】 3 1 1，ABa114【解析】3取 BD 的中點(diǎn) F ，設(shè)等邊三角形 BCD的中心為O ，連接 AF，CF，OA .根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得3BO CO DO 2 CF 2333，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得 AF BD ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得 AF 平面BCD ，AFOF，由勾股定理求得OA23，可得O為三棱錐A BCD外接球的球心，根據(jù)球體的表面積式可求得此外接球的表面.【詳解】BCDBDF BCD的中心為O，3BC 6 BO CO DO 2 CF 233，OF ，3由已知可得ABD 是以 BD 為斜邊的等腰直角三角形， AF BD ,333又

14、由已知可得平面 ABD 平面 BCD， AF 平面 BCD， AF OF ，33OF2 OF2 AF22，所以O(shè)AOBOC OD2，O 為三棱錐 A BCD 外接球的球心，外接球半3徑R OC 2，3三棱錐ABCD外接球的表面積為4(23) 2 48.故答案為： 48【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.e15、1 a e1e【解析】ax xx0 xlnalnx0lnalnx .x令 f x lnx x 0f x 1 lnx .xx2當(dāng) x 0,e時(shí)， f x 0 ；當(dāng) x e, 時(shí)， f x 0 .f

15、 x在（0，e）上遞增，在（e， ）上遞減.故0lna e1ee，即1 a e1 .ee16、【解析】111y 4x2 x2考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)y,p ，即焦點(diǎn)F 到準(zhǔn)線l 的距離為 .488三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17、另一個(gè)特征值為1 ，對應(yīng)的一個(gè)特征向量1【解析】根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為，可得a 1，再回代到方程f 0即可解出另一個(gè)特征值為 1，最后利用求2特征向量的一般步驟，可求出其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】M 的特征多項(xiàng)式為：f 122 a 1 a 4 ，3f 0的一個(gè)根，1a40a122M 2 f 0 即1 4 0 2 2 3 0 ，可

16、得另一個(gè)特征值為： 2 1，y設(shè) 1對應(yīng)的一個(gè)特征向量為： y2則由 M ，得2x 2y 0 x y ，22x2y 0 x 1y 1，M 另一個(gè)特征值為1，對應(yīng)的一個(gè)特征向量 1【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項(xiàng)式的計(jì)算形式，屬于基礎(chǔ)題. 18、見解析【解析】1b2 c2 a2若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得4S4bcsinAb2 c2 a2 ，化簡得到sinA2tan A 1，又 A 180A 45 ， cos A ，則a2b2 c2 a2 cosA4422b2 c2 2bc 4又 2bc 4 b2 c2 2bc ， bc 4 222S 1bcsinA 1422)22

17、222，當(dāng)且僅當(dāng)b c 2 1 ，2時(shí)等號成立2故 ABC的面積的最大值為21，此時(shí)b c 4221b2 c2 422若選擇 b 2結(jié)合三角形的面積公式得4S 4bcsin A b2 c2 a2 化簡得到sin A 2 cos A ，tan A 1，又 A 180A 45 ，則AB，此時(shí) ABC為等腰直角三角形，S 1222.21若選擇，b c 2，則結(jié)合三角形的面積公式，得4S 4bcsin Ab2 c2 a2 ，化簡得到12sin A b2 c2 a2 cosAtanA1，又A180A45S 122sin4523223x2y219（）1（）AOB面積的最大值為，此時(shí)直線l 的方程為 x y

18、.3643336【解析】根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；設(shè)出直線方程后，采用1|AB|d（dAB 的距離）.2【詳解】（）由定義法可得，P 點(diǎn)的軌跡為橢圓且a4，c1.x2y2因此橢圓的方程為1 .43（）設(shè)直線l 的方程為 x ty x2y23與橢圓3 1 A(x y ，4311B(x ,y )，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x 可得2 4)y2 6 30，22即 y y162 ，y y1 23.3t 2 4( y ( y y )2 4 y y121 2AOB 13| OQ | | y y( 6( 62 4)2 43 2 323323|322 2 462 1222 42 13t2 13t2 1令u，則

19、u1，上式可化為u2363u 3，3u6當(dāng)且僅當(dāng)u3，即t 633因此 AOB 面積的最大值為3時(shí)等號成立，63，此時(shí)直線l的方程為x y.633【點(diǎn)睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：M(c,0), N(c,0)P(xy滿足|PM |PN |2a2aP的軌跡是橢圓；M(c,0), N(c,0) P(x, y滿足|PM |PN |2a且2aP 的軌跡是雙曲線.20（1）y c 【解析】d （）y 5 20 ）x 2時(shí)，煤氣用量最小.x2x2y cd更適合；x2yw yx的回歸方程；.【詳解】y cy c dwd 更適宜作燒水時(shí)間 y 關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù) x 的回歸方程類型；x21

20、0i1w wy y ii16.2 20 ，10 wii1w0.81 y 20.6 20 0.78 5，所以所求回歸直線方程為： y 5 20 ；x2根據(jù)題意，設(shè)t kxk 0，則煤氣用量 S yt 205kx20k 2 20k ，5kx 20k5kx 20kxx2 x當(dāng)且僅當(dāng)5kx 20k時(shí)，等號成立，x即 x 2 時(shí)，煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.21（）ann1 （）詳見解析.【解析】（）a 2S1a 2S2)，兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出n1nnn1（）由題設(shè)可得a【詳解】n1a (n1)dn，可得d

21、1n1n 1aan1 n 1 2 ，利用錯(cuò)位相減法即可得出解（）因?yàn)閍2S 1，故a2S1(n2)，兩式相減可得，n1nnn1aa 2(S S)2a(n2)，故a3a(n 2)，n1nnn1nn1n因?yàn)閍na2 3a1a2 2a11，所以1 2a11，a 1，所以a1 3n1 ；（）由題設(shè)可得an1 a (n 1)dn，所以d1n1n 1aan1n12 3n1 ，所以T134，n 12 3n1n2 n 12 3n1n2 3n11 13 n 1 ，3n32322 11n 1，3n23n1223n121223)n23n1 2 33n11所以Tn1123 15 2n 5 15 2 ，得證.883n18【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題3 1022（）2）.3 1020【解析】ACBDN ，連接MN，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出PA/MN 例定理可求得 的值；AD中點(diǎn)O，連接OP、OB，過點(diǎn)P作l/AD，則l/BC，作PHOBH，連接CH，推導(dǎo)出OPl，OBl ，可得出BPO為平面PA