51空間直角坐標(biāo)變換課件

1、空間直角坐標(biāo)變換與點變換（Rectangular coordinate transformation in space and point transformation） 一切事物都在不停地運動和變化著,因此,了解圖形在運動與變化中的情況是很重要的.在日常生活和生產(chǎn)實踐中,經(jīng)常遇到物體改變位置和形狀的現(xiàn)象.開門、搬凳子就是改變物體的位置.陽光通過長方形窗格射到地上,其影像是平行四邊形.彈性體在外力作用下的主要表現(xiàn)是變形.在本章中,主要討論圖形變位和變形這兩種比較簡單的情況.在變形的討論中,坐標(biāo)法也是基本的方法,首先是如何用數(shù)量關(guān)系來表示變形;其次是區(qū)別圖形的性質(zhì),有哪些在變形中是不變的,有哪些

2、是要改變的.空間直角坐標(biāo)變換與點變換（Rectangular coor5.1 空間直角坐標(biāo)變換 (Rectangular coordinate transformation in space) 在用坐標(biāo)法討論變形的時候,首要的問題常常是選取一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來化簡問題,并且常常需要把一個坐標(biāo)系中的結(jié)果轉(zhuǎn)化到另一個坐標(biāo)系中去.要解決這個問題,最基本的是求出同一個點在兩個不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換式. 設(shè)在空間給出了兩個右手直角坐標(biāo)系O-xyz與O-xyz, i,j,k和i,j,k是兩組坐標(biāo)基向量,它們是空間中的兩組標(biāo)準正交基.前一個稱為舊坐標(biāo)系,后一個坐標(biāo)系稱為新坐標(biāo)系.它們之間的位置關(guān)系完全可以由

3、新坐標(biāo)系的原點在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo),以及新坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量在舊坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)所決定. 下面先討論直角坐標(biāo)系的移軸和轉(zhuǎn)軸(也稱為平移和旋轉(zhuǎn)),然后通過移軸和轉(zhuǎn)軸給出直角坐標(biāo)變換的一般公式.5.1 空間直角坐標(biāo)變換 (Rectangular co5.1.1 移軸變換 (Axis transformation) 設(shè)坐標(biāo)系O-xyz與O -xy z的原點O與O不同, O在舊坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),但是坐標(biāo)向量相同i = i, j = j, k = k,(圖5-1)這時新坐標(biāo)系可以看成由O-xyz平移到使O與O 重合而得來,這種情況下的坐標(biāo)變換稱為移軸. 5.1.1 移軸變換 (Axis tr

4、ansformat現(xiàn)在推導(dǎo)移軸變換公式.設(shè)P為空間任意一點,它在O-xyz與O -xy z下的坐標(biāo)分別是(x,y,z)與(x, y, z),現(xiàn)在推導(dǎo)移軸變換公式.設(shè)P為空間任意一點,它在O-xyz與O利用向量相等則對應(yīng)坐標(biāo)相等這就是空間直角坐標(biāo)系的移軸公式. 從(5.1-1)解出(x, y, z)，就得到移軸的逆變換公式 利用向量相等則對應(yīng)坐標(biāo)相等例1 利用移軸化簡曲面方程 從而判別該方程代表的曲面.解 利用配方,將方程左邊變?yōu)?= 化簡,得 作移軸即將坐標(biāo)原點移到點O(2,-1,0),曲面方程為 可見它是橢球面.例1 利用移軸化簡曲面方程 5.1.2 轉(zhuǎn)軸變換 (Rotation trans

5、formation) 設(shè)兩個右手坐標(biāo)系O-xyz與O -x y z的原點相同,但坐標(biāo)向量i,j,k與i,j,k不同,這時新坐標(biāo)系可以看成由舊坐標(biāo)系繞原點旋轉(zhuǎn),使得i,j,k分別與i,j,k重合得到的,這種情況下的坐標(biāo)變換稱為轉(zhuǎn)軸.5.1.2 轉(zhuǎn)軸變換 (Rotation transfo下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸變換公式.具有相同原點的兩坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系完全由新、舊坐標(biāo)軸之間的夾角來決定,列表如下：表5-1 新、舊坐標(biāo)系之間的夾角x軸(i)y軸(j)z軸(k)x 軸(i) 111y 軸(j) 222z 軸(k) 333下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸變換公式.具有相同原點的兩坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系完 由于i,j,k都是單位向量

6、,其坐標(biāo)為它的3個方向余弦.故從表5-1可知 設(shè)空間任意一點P,它的舊坐標(biāo)為(x,y,z),在新坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為(x, y, z),那么有由于O= O,由上面兩式得: 由于i,j,k都是單位向量,其坐標(biāo)為它的3將i,j,k代入得于是有這就是空間直角坐標(biāo)變換的轉(zhuǎn)軸公式.轉(zhuǎn)軸的逆變換公式為：將i,j,k代入得于是有例2 試求空間直角坐標(biāo)系O-xyz繞z軸旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)變換公式. 解 設(shè)新的坐標(biāo)向量為i,j,k,顯然k= k.另外繞z軸旋轉(zhuǎn)時,應(yīng)符合右手螺旋準則,有 i= i cos +j sin = (cos, sin, 0), j= -i sin +j cos = (- sin, cos, 0)

7、.于是坐標(biāo)變換公式(注意行變列)為上式的前兩式實際上是在xy平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)公式. 例2 試求空間直角坐標(biāo)系O-xyz繞z軸旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)變換公5.1.3 正交條件(Orthogonal condition) 轉(zhuǎn)軸變換公式(5.1-3)與其逆變換公式(5.1-4)都是齊次線性變換,它們的一次項系數(shù)不是獨立的,這是因為,i,j,k與i,j,k是兩組相互垂直的單位向量,它們的坐標(biāo)要滿足一定的條件，由于5.1.3 正交條件(Orthogonal conditi所以變換公式(5.1-3)與逆變換公式( 5.1-5)的一次項系數(shù)分別滿足下列條件： 所以變換公式(5.1-3)與逆變換公式( 5.1-5)的一次

8、又因為(i,j,k )=(i,j,k)=1,可得轉(zhuǎn)軸變換(5.1-3)與(5.1-4)的系數(shù)行列式又因為(i,j,k )=(i,j,k)=1,可得轉(zhuǎn)軸變條件(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7)稱為直角坐標(biāo)變換的正交條件.根據(jù)代數(shù)學(xué)知識可知，轉(zhuǎn)軸變換及其逆變換的系數(shù)矩陣是正交矩陣，而且AA-1=AAT=E.條件(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7)稱為直角坐例3 證明在空間任意的轉(zhuǎn)軸(5.1-3)下,多項式 x2+y2+z2 變?yōu)?x2+y2+z2.證明 將(5.1-3)代入 x2+y2+z2 ,整理得 根據(jù)正交條件(5.1-6) 得 x2+y2+z2.例3 證明在空間任意的轉(zhuǎn)

9、軸(5.1-3)下,多項式 x2+5.1.4一般坐標(biāo)變換公式 (General coordinate transformation) 在空間給出了由坐標(biāo)系O-xyz決定的舊坐標(biāo)系由O-xyz決定的新坐標(biāo)系,且O在舊坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(x0,y0,z0).兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸之間的夾角由表格5-1決定,在一般情況下,由舊坐標(biāo)系變換到新坐標(biāo)系分兩步來完成,可以先移軸使原點O與坐標(biāo)系的原點O重合,變成輔助坐標(biāo)系O-xyz,然后再由輔助坐標(biāo)系經(jīng)轉(zhuǎn)軸變到新坐標(biāo)系.5.1.4一般坐標(biāo)變換公式 (General coordi 設(shè)P點為空間任意一點,它在舊坐標(biāo)系、新坐標(biāo)系與輔助坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(x,y,z) ,

10、(x, y, z)與(x, y, z),根據(jù)(5.1-1)與(5.1-3)有 設(shè)P點為空間任意一點,它在舊坐標(biāo)系、新坐標(biāo)系與輔助將轉(zhuǎn)軸公式代入移軸公式,得空間直角坐標(biāo)變換的一般公式為一般坐標(biāo)變換公式也可以通過先轉(zhuǎn)軸后移軸得到,其結(jié)果仍然是(5.1-8).一般坐標(biāo)變換公式(5.1-8)的系數(shù)行列式不為零,因此從(5.1-8)解出x, y, z ,得到用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)的變換公式,也就是(5.1-8)的逆變換公式：將轉(zhuǎn)軸公式代入移軸公式,得空間直角坐標(biāo)變換的一般公式為 一般坐標(biāo)變換(5.1-8)與其逆變換(5.1-9)的的右端分別是x, y, z 與x,y,z的一次(即線性的)多項式,它們的一次項

11、系數(shù)分別滿足正交條件,系數(shù)行列式值都等于1. 一般坐標(biāo)變換(5.1-8)與其逆變換(5有時,也將一般坐標(biāo)變換公式(5.1.8)寫成下面的形式其中一次項系數(shù)滿足正交條件.有時,也將一般坐標(biāo)變換公式(5.1.8)寫成下面的形式其中一例4 將坐標(biāo)系繞方向(1, 1, 1)右旋/3,原點不動,求坐標(biāo)變換公式.解 原點不動,故 x0=y0=z0=0, 坐標(biāo)變換是轉(zhuǎn)軸變換.設(shè)所求的坐標(biāo)變換公式為設(shè)旋轉(zhuǎn)后 i (cos 1, cos1, cos1), j (cos 2, cos2, cos2), k (cos 3, cos2, cos3). 例4 將坐標(biāo)系繞方向(1, 1, 1)右旋/3,原點不動 先求 i

12、 的三個坐標(biāo)(cos 1, cos1, cos1).它的坐標(biāo)是它的方向余弦,因此先求 i 與三個坐標(biāo)軸的夾角的余弦. 當(dāng)原點不動,坐標(biāo)系繞方向(1, 1, 1)右旋/3時(應(yīng)符合右手螺旋準則), i 和三個坐標(biāo)軸的關(guān)系如下： 1)與i, j夾角相等,即cos 1= cos1,而且是銳角; 2) i 與k在平面上的投影成角,夾角為鈍角,而且單位向量i 與k 在方向(1, 1, 1)上的投影相等,等于1/3,由三角形余弦公式,有 12+ 12+2 cos1=(12-1/3)=2/3,于是,得 cos1= - 1/3. 先求 i 的三個坐標(biāo)(cos 1, c再由 cos 12 + cos12 + c

13、os12=1，得 cos 1= cos1= 2/3.即 (cos 1, cos1, cos1)=(2/3, 2/3, - 1/3).類似 (cos 2, cos2, cos2)=(- 1/3, 2/3, 2/3),( cos 3, cos3, cos3)=(2/3, - 1/3, 2/3).代入公式(注意行變列)，得所求的坐標(biāo)變換為再由 cos 12 + cos12 + 5.1.5 向量的坐標(biāo)變換 (Coordinate transformation of vector)把向量的坐標(biāo)看作終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo),立刻可以得到向量的坐標(biāo)變換公式為其中(u,v,w)和(u,v,w)分別是同一個向量

14、的新、舊兩組坐標(biāo).公式中沒有常數(shù)項,反映了向量經(jīng)過平移不變,其系數(shù)也滿足正交條件.5.1.5 向量的坐標(biāo)變換 (Coordinate tr5.1.6 以三垂直平面為新坐標(biāo)系坐標(biāo)平面的坐標(biāo)變換 Coordinate transformation of 空間一般坐標(biāo)變換公式,還可以由新坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)面來確定.設(shè)有兩兩相互垂直的三個平面 這里 . 如果取 1為yz 平面, 2為xz 平面, 平面 3為xy 平面,并設(shè)空間任意一點P(x,y,z)到平面 i(i=1,2,3)的距離為di, 5.1.6 以三垂直平面為新坐標(biāo)系坐標(biāo)平面的坐標(biāo)變換 CoP點的新坐標(biāo)為(x, y, z),那么有 去掉絕對值號得坐標(biāo)變換公式為顯然,上式符合正交條件,為了使坐標(biāo)變換為右手系變到右手系,上式中的正負號的選擇必須使它的系數(shù)行列式的值為1.P點的新坐標(biāo)為(x, y, z),