GARCH模型與應用簡介

1、PAGE PAGE 49GARCH模型型與應用簡介介 (2006, 5)前言.22GARCH模型型.7模型的參數(shù)估計計16模型檢驗274. 模型的應應用322實例.422某些新進展.46參考文獻.500. 前言 (隨機序列的的條件均值與與條件方差簡簡介)考察嚴平穩(wěn)隨機機序列ytt, 且Eyt. 記其均均值Eyt=,協(xié)方差函數(shù)k=E(ytt-)(yt+k-). 其條條件期望(或或條件均值): E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,), (0.1)依條件期望的性性質(zhì)有E(yt-1,yt-2,)=EEE(ytyt-1,yt-2,)= EEyt =. (0.2)記誤差(或殘差差): et

2、 yt -(yt-1,yt-2,). (0.3)由(0.1)(0.2)式式必有: Eet=Eytt-E(yt-1,yt-2,) =Eyt-Eyt=0, (0-均均值性) (00.4)及Eet2=Eyt -(yt-1,yt-2,)2 =E(yt-)-(yt-1,yt-2,)-2 (中心化) =E(yyt-)2+E(yt-1,yt-2,)-2-2E(yt-)(yt-1,yt-2,)- =0+Var(yt-1,yt-2,)-2EE(yyt-)(yt-1,yt-2,)-yt-1,yt-2,( 根據(jù) Exx=EExyt-1,yt-2, ) =0+Var(yt-1,yt-2,)-2E(yyt-1,yt-2

3、,)-E(yt-)yt-1,yt-2,( 再用 Ex( yt-11,yt-2,)yt-1,yt-2,=( yt-11,yt-2,) Exxyt-1,yt-2,;并取x= (yyt-), ( yt-11,yt-2,)=(yt-1,yt-2,)-;由(0.1)(0.2)可可得 )=0+Var(yt-1,yt-2,)-2EE(yt-1,yt-2,)-2 =0-Var(yt-1,yt-2,). (00.5)即有: 0=Var(yyt)=Varr(yt-1,yt-2,)+Vaar(et). (00.6)此式表明, yyt的方差(=0)可表示為為: 回歸函函數(shù)的方差(Var(yt-1,yt-2,), 與與

4、殘差的方差差(Var(et)之和. 下邊邊討論et的條件均值與條件方差.為了符號簡便, 以下記FFt-1=yyt-1,yt-2,.首先考慮et的的條件均值: E(etFt-1)=Eyt-( yt-11,yt-2,) Ft-1=E(yt FFt-1)- E( yt-11,yt-2,) Ft-1= ( yt-1,yt-2,)- ( yt-11,yt-2,)=0. (0.77)再看條件方差:Var(etFFt-1)=EEet- E(eetFt-1)2 Ft-1 = Eeet2 Ft-1 (用(00.7)式) S2(yt-1,yt-2,). (0.8)此處S2(ytt-1,yt-2,)為條件方差差函數(shù)

5、. 注注意, ett的條件均值值是零, 條條件方差是非非負的函數(shù)SS2(yt-1,yt-2,), 它不不一定是常數(shù)數(shù)! 依(00.3)式, 平穩(wěn)隨機機序列ytt總有如下下表達式:yt = ( yt-1,yt-2,)+et, (0.9) 其中(yt-11,yt-2,)被稱為自回回歸函數(shù), 不一定是線線性的. et可稱為新新息序列, 與線性模型型的新息序列列不同, 除除非yt是正態(tài)序序列. 順便便指出, 滿滿足(0.44)式的eet為鞅差序列列, 因為對對它的求和是是離散的鞅序序列. 由于于yt是嚴平穩(wěn)穩(wěn)隨機序列, 且Eyt0. (1.2)換句話說, 考考慮如下的(0.9)模模型yt=et, (1

6、.3) 它的標準化的模模型(0.112)為 yt=SS(yt-11,yt-2,)t. (11.4)請注意, 這一一模型幾乎含含蓋了所有的的條件異方差差模型. 我我們不可能泛泛泛地討論它它. 再請回回看對鞅差序序列et的限制的的歷程, 以以下我們要講講的恰好是:“et=S(yyt-1, yyt-2, )t，但t為i.i.dd. N(00,2)序列,而且S(yt-1, yt-22, )為有限限參模型, (11982).再新的內(nèi)容, 我們也將提提到. 至此此, 大家完完全明白我們們將要討論什什么樣的序列列.為說明該序列的的某些特征, 先看一看看序列et的自協(xié)方方差函數(shù)序列列: e(kk)=Eet+k

7、et= EEE(et+ketet+k-11,et+k-2,) = EeetE(et+ket+k-11,et+k-2,) = Eeet0=0, k1.可見, 平穩(wěn)鞅鞅差序列也是是白噪聲. 根據(jù)自協(xié)方方差序列做平平穩(wěn)序列的建建模和譜分析析時, 除了了判斷(yt-1,yt-2,)=0外, 幾乎無話話可說. 換換句話說, 相關(guān)性分析析和譜分析不不能對(1.4)式的序序列作出更深深刻的分析. 為了進一一步獲得它的的深入的結(jié)構(gòu)構(gòu)特征, 必必須引入新的的概念和新的的方法.ARCH(p)模型. (ARCH Autoregresssive Condittionall Heterosscedassticitty)

8、在金融界, 大大量的數(shù)據(jù)序序列呈現(xiàn)不可可預報性, 相當于前面的(0.9)或(0.112)式中的的(yt-1,yt-2, )=0, 于是有興興趣研究(11.4)模型型. Enggle(19982)首先先提出并使用用了如下的有有限參數(shù)模型型: yt=S(yt-1, yt-22, )t ht1/2 t, (1.5) htt=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, (1.66)00, ii0, i=1,22,p.其中t為ii.i.d.的序列, tN(0, 1), 且且t與yt-11, yt-22, 獨立, 為了簡化記記號, 記hht=S2(yt-1, yyt-2, ). 此模型被稱為自自回歸條

9、件異異方差模型, 簡記ARRCH(p),其中p表表示模型的階階數(shù). 很明顯, 此模模型只是普遍遍適用的(11.4)式模模型的子類, 因為, 在ARCHH模型中對模模型(1.44)添加了很很多的人為限限制. 為了增進對ARRCH模型的的了解, 我我們將作幾點點明, 以代代替嚴格的推推理論述.其一, 限定t為i.ii.d.序列列! 這是很很強的限制, 這是由于于現(xiàn)有理論的的基楚所限. 其二, 限定條條件方差有(1.6)式式的簡單形式式, 即ht=S2(yyt-1, yyt-2, )=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是為了統(tǒng)計分析析方便. 其三, 限定tt服從正態(tài)分分布, 是為為了求極

10、大似似然估計方便便. 限制 tN(0, 1), 而而不用 tN(0, 2), 是因因為t滿足標準準化的模型(0.11)式.其四, 限制 00, i0, i=1,22,p, 是是為了保證條條件方差函數(shù)數(shù)ht=S2(yt-1, yyt-2, )0. 限制 000, 而而不是00, 這是是為了保證模模型(1.55)(1.66)有平穩(wěn)解解, 否則, 當0=0時它沒沒有平穩(wěn)解! 這可從以以下簡單例子子看出. 考考查如下ARRCH(1) 模型:ht=1 ytt-12,將它代入(1.5)式得yt=ht1/2 t=(1 yt-12)1/2 t,將它兩邊平方得得 yt2=1yt-12t2,將它兩邊取對數(shù)數(shù)得lo

11、g(yt22)=logg(1)+logg(yt-112)+logg(t2), (1.7)記xt=logg(yt2), c=log(11), t=log(t2)(仍為ii.i.d.序列), 上式為xt = c+ xt-11+ t,這不是熟知的一一元AR(11)模型嗎? 而且不滿滿足平穩(wěn)性條條件! 所以以, 沒有平平穩(wěn)解. 從從而模型(11.5)也沒沒有平穩(wěn)解.其五, 為使AARCH模型型有平穩(wěn)解, 對系數(shù)ii(i=1,2,p)還要加限制. 較早的限制制(也是較強強)是 1+2+pp0, i0, i=1,22,p.易見, (1.5)式與(1.5)式是等等價的. 其七, ARRCH模型有有不同的變形

12、形形式. 仿仿(1.7)式的做法, 即將(11.5)式兩兩邊平方, 再將(1.6)式代入入其中可得yt2=httt2=(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)t2 =(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)(1+t2-1) =0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+(t2-1)(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2) =00+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+ ht(t2-1) =00+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+ wt , (1.9)對序列yt22而言, 此式很像線線性AR(pp)模型, 其中wt=ht(t2-1)是一一個平穩(wěn)的鞅鞅差序列,

13、 因為Ewt|ytt-1,yt-2, =Eht(tt2-1)|yyt-1,yt-2, = Ehttt2|yt-1,yt-2, -Ehht|yt-1,yt-2, = htEtt2|yt-1,yt-2, -Ehht|yt-1,yt-2, (依(1.6)= ht - ht =0. (1.100)用(1.9)式式和線性ARR(p)模型型的求解方法法, 可得yt2的平穩(wěn)解解. 但是, 從原理上上說, 得到到了yt2的解, 還不能說就就得到了原序序列yt的解. 好在當我們們只關(guān)心ytt的條件方差差時, 有了了yt2的解也足足夠用了. (1.9)式的變形方方式是嚴格的的, 可放心心地使用它. 所謂使用用它,

14、 就是是將原數(shù)據(jù)平平方后得到 y12 , y22 , , yT2, 對它們們建立AR(p)模型, 便得到參參數(shù)0,1,p的一種估計計.如果對yt2=htt2兩邊取對數(shù)數(shù)可得 log(yyt2)=logg(ht)+logg(t2) =logg(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)+logg(t2)記x(t)=llog(ytt2), c=Elog(t2), t=log(t2)-c, 于是上式可可寫成x(t)=c+log(00+1ex(t-11)+2ex(t-22)+p ex(t-p)+ t. 于是又得到ARRCH模型的的另一種變形形. 此式是是關(guān)于序列x(t)的非線性自自回歸模型, 注意

15、, 上式中的序序列t是i.ii.d.的. 此外, ARCH模模型還有別的的表示方法, 不再一一一介紹了.其八, 根據(jù)數(shù)數(shù)據(jù)y1,y2,yT, 要作自自回歸條件異異方差模型的的統(tǒng)計分析, 包含兩項項內(nèi)容, 首首先是用假設設檢驗方法, 判別這些些數(shù)據(jù)是否有有條件異方差差條件性, 即, S(yt-1, yyt-2, )=常數(shù)數(shù)? 如果是是否定回答, 第二項內(nèi)內(nèi)容就是對AARCH模型型未知參數(shù)的的估計. 在在第2節(jié)中, 我們將介介紹參數(shù)的估估計方法, 在第3節(jié)中中, 介紹檢檢驗方法.1.3. GAARCH(GGeneraalizedd ARCHH) 模型:在Engle(1982)提出ARCCH模型后,

16、 受到應用用者的關(guān)注, 特別是金金融界. 稍稍后幾年, 也被時間序序列分析理論論研究所重視視. 從前面面對新息序列列et限制條件件的放寬過程程可見, 提提出ARCHH模型, 無無疑是對時間間序列分析理理論和應用研研究有開拓性性的意義. 在對ARCCH模型的理理論研究和應應用中, 人人們自然會發(fā)發(fā)問: 在(1.6)式式中, yt的條件方差差S2(yt-11, yt-22, ) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, 只依賴于p個歷歷史值, 能能否考慮依賴賴全部歷史值值的情況? Bolleerslevv(19866)給出了回回答, 他提提出了如下的的更廣的模型型, 即GAARCH模型

17、型:yt=S(ytt-1, yyt-2, )t ht1/2 t, (1.11)ht=0+1yyt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q, (11.12)00, i00, i=1,2,p; j0, j=1,2,q. (1.13)其中t為ii.i.d.的N(0,1)分布布, 且t與 yt-1, yt-22, 獨立.對此GARCHH模型作如下下說明:其一, 利用(1.12)式反復迭代代可得知, ht= S2(yt-1, yyt-2, )確實依依賴序列的全全部歷史值, 但是, ht僅依賴有限限個參數(shù).其二, 在19997年諾貝貝爾經(jīng)濟學獎獎, 被兩位位研究期權(quán)定定價理論的BBlac

18、k-Scholles方程的的學者獲得. 從理論上上人們發(fā)現(xiàn), Blacck-Schholes方方程的解是連連續(xù)時間變化化的隨機過程程, 對它進進行等間隔離離散化采樣, 所得到的的序列, 恰恰好滿足GAARCH模型型. 于是, GARCCH模型更被被認可, 而而且, 金融融界特別偏愛愛GARCHH模型.其三, 如前所所述, (11.13)式式的條件 000, 仍仍不能放寬為為00. 而且, (1.113)式中的的條件 i0, i=1,2,p, 還還應附加一個個限制: 11+2+ p0, 否否則如果全部部 i=0 (ii=1,2,p)將導導致(1.112)式的hht為常數(shù)(仍仍用迭代法可可證明).

19、 這一點未在在文獻中指出出, 一個潛潛在原因是: 應用者默默認p 1, 且p0. 其四, 與對對ARCH模模型的說明中中的其五很類類似, 為使使GARCHH模型有平穩(wěn)穩(wěn)解, 對系系數(shù)i(i=1,2,p)和j0, j=1,2,q. 還還要加限制. 較早的限限制(也是較較強)是 1+p+11+ q pp時k=0; 當當kq時kk=0, wwt=ht(t2 1). 如如前所述wwt是平穩(wěn)鞅鞅差序列, 所以, 以以上表達式說說明, hht是由wwt驅(qū)動的平平穩(wěn)ARMAA序列. 以以上模型不僅僅表達了GAARCH模型型的結(jié)構(gòu)特性性, 而且, 依此可借借助于平穩(wěn)AARMA序列列建模方法, 得到GAARCH

20、模型型參數(shù)的一種種簡單的估計計方法. 關(guān)關(guān)于GARCCH模型的參參數(shù)估計 和和檢驗方法, 分別在第第2節(jié)和第33節(jié)中介紹.2. GARCCH模型的參參數(shù)估計2.1. 概述述在實際應用中, 人們擁有有序列觀測值值y1,y2,yn , 如果果要為它們建建立GARCCH模型, 將面對著下下列問題: 為什么要建建立GARCCH模型? 用多少階數(shù)數(shù)的模型? 怎樣獲得模模型的參數(shù)值值? 回答了了這些問題, 就解決了了為GARCCH模型建模模的問題. 前兩個問題題將在下一節(jié)節(jié)中討論, 這一節(jié)只討討論模型的參參數(shù)估計問題題, 換言之之, 討論在在模型階數(shù)已已知時, 如如何根據(jù)觀測測值y1,y2,yn, 估計計

21、出GARCCH(或者AARCH) 模型的參數(shù)數(shù). 在統(tǒng)計計學中有多種種方法可以用用來解決這一一問題, 這這里只介紹兩兩種估計方法法. 一種是是比較簡單的的方法, 另另一種是熟知知的極大似然然估計方法. 前一種估估計可能不如如后者精細, 但是它可可作為用迭代代法求取后者者時的初始值值. 另外, 對ARCCH和GARRCH模型而而言, 它們們的參數(shù)估計計方法的難易易程度有明顯顯差異, 所所以, 我們們將分別予以以介紹.2.2. ARRCH模型的的參數(shù)估計2.2.1. 最小二乘法法估計最小二乘法是非非常熟悉的方方法，此方法法是基于最小小二乘原理。我我們先指出在在此可以使用用此原理的依依據(jù)， 為此此不

22、妨以ARRCH（1）模模型為例說明明之。依(1.9)式知， 滿滿足ARCHH(1)模型的的序列 yyt必滿足以以下模型yt 2=0+1yt-12+ wt , (2.1)其中wt是是鞅差序列，而而且wt= ht(t2-1), 于是有E wt| yt-12=E ht(t2-1) | yt-112 = hht E(t2-1) | yt-112 = hht Et2 | yt-12- ht = hht Et2 - hht = hht - ht=0. (a.s.) (2.2)利用此式可得知知， Eyt 2-a0-a1yt-122= E 0+1yt-12+ wt -a0-a1yt-122 = E(0- a0

23、)+(1- a1)yt-12+ wt 2= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +22 E(0- a0)+(1- a1)yt-12wt= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +22EE(0- a0)+(1- a1)yt-12wt| yt-12= E(0- a0)+(1- a1)yt-122 + Ewwt 2 +2EEE(0- a0)+(1- a1)yt-12Ewt| yt-12=E(0- a0)+(1- a1)yt-122+Ewt 2 (by(2.2)= E(0-a0)+(1-a1)yt-122 + Ehht(t2-1)2= E(0-a0

24、)+(1-a1)yt-122 + Eht2E(t2-1)2 Eht2E(t2-1)2=c. (依平穩(wěn)性)易見，上式中的的=號成立，當當且僅當(0-a0)=(1-a1)=0. 此事實表表明，minE(yyt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=Eyt2-0-1yt-122. (2.3)此式表明，用所所有可能的系系數(shù)擬合(22.1)模型型時，只有以以其真系數(shù)擬擬合，才使擬擬合參差的方方差最小！在實際應用時，我我們沒有(22.1)式中中的確切的概概率分布，但但是，我們有有序列 yyt 2的觀測數(shù)數(shù)據(jù)y1,y2,yn , 根據(jù)據(jù)統(tǒng)計學的基基楚性原理大數(shù)定定律，(2.3)式的最最小化特征，用用樣本

25、平均代代替之， 隨隨著樣本個數(shù)數(shù)的增加將近近似成立。換換言之，求解解以下最小化化問題之解， 即min(n-1)-1t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=(n-1)-1t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2, 顯然, 此問題題等價于如下下的最小化問問題mint=22n(yt2-a0-a1yt-12)2: a0,a1=t=2n(yyt2-a0*-a1*yt-12)2. (2.4)以其解(a0*,a1*)作為真參參數(shù)(0,1)的估計，稱稱它們?yōu)樽钚⌒《斯烙嫛＿@這就是使用最最小二乘原理理的依據(jù)。以上論述不難推推廣到一般的的ARCH(p) 模型型，除了符號號的繁瑣外，并并無

26、本質(zhì)差異異。這里只強強調(diào)一點：對對ARCH(1)使用最最小二乘原理理時，殘差項項wt與yt-1相互獨獨立且Ewtt=0是常見見的條件，至至少也要滿足足條件E wt| yt-112=0(a.s.)。這這一點對一般般情況也適用用?，F(xiàn)在介紹ARCCH(p)模型參參數(shù)最小二乘乘估計方法。首首先重新寫出出(1.9)式y(tǒng)t2=0+11yt-12+2yt-22+pyt-p2+ wt , t=p+1,pp+2,n. (2.5)在此特別強調(diào)足足標t 的取值范范圍，只是為為了模型中的的yt-p都落在在我們的數(shù)據(jù)據(jù)序列中。依依前所述，未未知參數(shù)=(0，1，22, , p)的最小二乘估計計*，就是如下下的最小值問問題

27、的解，即即mint=22n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2: a0,a1,ap=t=2n(yyt 2-a0*-a1*yt-12-ap*yt-p2)2, (2.6)取最小二乘估計計*= (a0*,a1*, ap*) 。欲給出(a0*,a1*, ap*)的表達方式式，既可用分分析方法，又又可用代數(shù)方方法?，F(xiàn)在使使用后一方法法,為此將(2.5)式式改寫成Y=X+W， (2.7)其中Y=(yp+112,yp+22,yn2), W=(wp+12,wp+22,wn2),X=.當以a=(a00,a1,a2,ap) 為自由參數(shù)數(shù)向量時, 于是有t=p+1n(yt 2-a0

28、-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2=|Y-Xaa|2= (Y-XXa)t (Y-XXa) = YtY - YYtXa - atXtY +atXtXa =(XtXa-XtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY) + YtY(XtY)t (XtX)-1(XtY)YtY(XXtY)t(XtX)-1(XtY),其中用到了以下下的矩陣性質(zhì)質(zhì) (XtXa-XXtY)t (XtX)-1(XtXa-XtY)0.由前一式可知, (2.66)式的最小小值解必滿足足XtXa-XtY=0. 現(xiàn)現(xiàn)在求解XtXa-XtY=0, 即XtXa=XtY, 其解為a*=(XtXX)-1XtY. (2.8)注

29、意, 上式右右邊的矩陣XX和向量Y, 都是由已已知數(shù)據(jù)量組組成的, 計計算(XtX)-1和(XtX)-1XtY, 有許多多軟件可供使使用. 當然然,也可以自自行編程序計計算之. 自回歸模型(11.9)的系系數(shù)的最小二二乘估計, 被(2.88)式明顯的的表達出, 而且便于計計算. 這一一優(yōu)越性是自自回歸模型所所特有的, 因此, 自自回歸模型在在時間序列分分析中問世最最早. 類似似地, Enngel(11982)最最先引入的條條件異方差模模型, 又是是自回歸型的的條件異方差差模型ARCH模模型, 也是是基于這一便便于使用的優(yōu)優(yōu)點. 稍后后幾年才由BBollerrslev(1986)提出更一般般的G

30、ARCCH模型.在時間序列分析析中, 自回回歸模型系數(shù)數(shù)的最小二乘乘估計, 有有很多優(yōu)良性性質(zhì), 這已已經(jīng)被研究得得很完美了. 但是, 將它用于AARCH模型型系數(shù)估計, 這些優(yōu)良性性質(zhì)不一定具具有了. 在此, 我我們僅指它的的優(yōu)缺點. 其優(yōu)點是: 易理解, 易計算; 缺點是: 欠精細, 缺少某些些優(yōu)良性質(zhì). 欠精細是是相對極大似似然估計而言言的, 詳見見后文. 缺缺少某些優(yōu)良良性質(zhì), 是是指在使用最最小二乘估計計方法時, 還需要條件件E(yt2)20,a110,ap0; (yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)0=t=2n(yyt 2-a0+-a1+yt-12-a

31、p+yt-p2)2, (2.9)取估計*= (a0+, a1+, ap+) 。這里敘述述此方法的目目的有三點可可言, 其一一, 這是最最有效的保證證估計的分量量都是非負的的;其二,有有多種方法可可獲得ARCCH模型系數(shù)數(shù)的估計;其其三,除了最最小二乘估計計,都不易計計算, 比如如(2.9)式的求解問問題, 就是是典型的優(yōu)化化求解問題, 其計算的的復雜性可想想而知.2.2.2. 極大似然估估計對于序列y1,y2,yn , 如果果它們的聯(lián)合合分布的形式式已知, 其其中只有有限限個參數(shù)未知知, 那么, 尋求合適適的參數(shù)值, 使得其分分布在這些觀觀測值y1,y2,yn處達到最大大值, 稱其其為極大概率

32、率估計方法. 其合理性性是不言而喻喻的. 相對對其它方法, 可算是精精細些. 當當然, 其前前提是聯(lián)合分分布的形式已已知的. 進進而言之, 如果已知聯(lián)聯(lián)合分布密度度函數(shù)時, 使用上述的的極大概率估估計方法, 應改為尋求求合適的參數(shù)數(shù)值, 使得得其分布密度度函數(shù)在這些些觀測值y11,y2,yn處達到最大大值, 稱其其為極大概率率密度估計方方法. 此情情況有更廣的的應用背景, ARCHH模型數(shù)估計計就屬于此情情況. 再進進一步, 如如果已知聯(lián)合合分布密度函函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)數(shù)形式, 改改為尋求合適適的參數(shù)值, 使得其分分布密度函數(shù)數(shù)的對數(shù)函數(shù)數(shù)(此函數(shù)被被稱為似然函函數(shù)), 在在這些觀測值值y1,y2,

33、yn處達到極大大值, 稱其其為極大似然然估計方法. 用極大化化似然函數(shù)代代替分布密度度函數(shù), 只只是討論和應應用時有方便便之處, 并并無本質(zhì)區(qū)別別. 極大化化似然方法是是統(tǒng)計學中熟熟知的, 重重要的方法.依上所述, 使使用極大似然然估計方法, 有兩個關(guān)關(guān)鍵步驟: 一是, 找找出y1,y2,yn的聯(lián)合分布布密度函數(shù), 它僅依賴賴有限個未知知參數(shù), 由此易得其其似然函數(shù); 二是, 尋找使似然然函數(shù)達到極極大值的參數(shù)數(shù), 即參數(shù)數(shù)的極大似然然估計. 一一般說來, 第一步僅是是細心的推理理, 第二步步是精心的計計算, 而且且常常要使用用近似的迭代代算法. 以以下介紹ARRCH模型參參數(shù)的極大似似然估計

34、, 就要對此兩兩步作具體敘敘述.第一步: 根據(jù)據(jù)ARCH模模型的假定, 再使用條條件概率密度度的公式可得得知, y11,y2,yn的聯(lián)合分布布密度函數(shù)f(y1,y22,yn)= f(Y), Y=(y11,y2,yn),有以下表達式 f(Y)=f(y11,y2,yn)=f(yn|yy1,y2,yn-1)f(y1,y2,yn-1) (依條件密密度公式)= (2hn)-1/2exxp- yyn2/2hn f(yy1,y2,yn-1) (依(1.5)式和ttN(0, 1), 且且n與yn-11, yn-22, 獨立)=(0+1ynn-12+pyn-p2)-1/2exp-ynn2/2(0+1yn-12+

35、pyn-p2) f(y1,y2,yn-1) (依(1.6)式)=t=p+1nn(0+1yt-12+pyt-p2)-1/2exxp-ytt2/2(0+1yt-12+pyt-p2)f(y1,y22,yp)(2)-(n-pp)/2. (依反復復遞推) (2.110)記其對數(shù)函數(shù)為為L()=logg f(y11,y2,yn) =-(1/22) t=pp+1nlog(0+1yt-12+pyt-p2)+ yt2/(0+1yt-12+pyt-p2) +logff(y1,y2,yp)+logg(2)-(n-pp)/2. (2.111)忽略上式中的常常數(shù)項和常數(shù)數(shù)因子-(11/2), 再記 ll()= t=pp

36、+1n lt()-log f(y1,y2,yp), (22.12)其中l(wèi)t()=llog(0+1yt-12+pyt-p2)+ yt2/(0+1yt-12+pyt-p2).顯然, l()與L()只相差差常數(shù)加項, 所以, 求解L()的最大大值解, 等等價于求解II()的最小小值解. 以以后我們總是是考慮后者. 在上述諸諸式中, ff(y1,y2,yp)是y1,y2,yp的聯(lián)合分布布密度函數(shù), 為了使用用極大似然估估計方法, 也應當將它它表達成依賴賴于y1,y2,yp和0,1,p的明確形式式. 這不是是一件容易的的事情! 僅以p=11為例, 即即可說明其難難點所在. 此時只須求求出y0和y1所滿足

37、的共共同的分布密密度數(shù), 并并使得它們滿滿足關(guān)系式 y1=(0+1y02)1/21, tN(0, 1), 且且t與y0獨立.此問題看似簡單單, 但是很很難解答. 舉此例的目目的, 還在在于提請注意意, 當tN(0, 1)時, 由它驅(qū)動生生成的平穩(wěn)AAR序列也是是正態(tài)分布的的, 但是, 由它驅(qū)動動生成的平穩(wěn)穩(wěn)ARCH序序列不是正態(tài)態(tài)分布的. 因為, 在在AR模型中中, t以加項形式式出現(xiàn), 在在ARCH模模型中, tt以乘積因子子形式出現(xiàn)(見(1.55)式). 然而, 在在(2.100)式中, 人們?nèi)菀渍`誤以為f(yy1,y2,yn)是正態(tài)分分布的連乘積積形式, 所所以它是多元元正態(tài)密度. 其實

38、, 因子f(yy1,y2,yp)不是正態(tài)態(tài)的密度函數(shù)數(shù)(這一點容容易被忽視), 所以 f(y1,y2,yn)也不是正正態(tài)的.第二步: 尋求求極大似然估估計, 就是是尋求使(22.11)式式中L()取最大大值的, 等等價于尋求使使(2.122)式中l(wèi)()取最小值值的. 很明明顯, 此極極大似然估計計沒有如同(2.8)式式的顯示表達達式, 于是是只能尋找近近似的數(shù)值解解法. 由于于l()有很好好的解性質(zhì), 求(2.12)式中中l(wèi)()的最小小值, 可求求 l()/=0的解解. 即使如如此, 也還很難求解. 進一步還還要使用其它它近似手段, 即將未知知項log f(yy1,y2,yp)從(2.12)式

39、中忽略掉掉, 尋求 t=p+1nn lt()/=0 (2.133)的解, 其中l(wèi)t()/=llog(0+1yt-12+pyt-p2)/ +yt2/(0+1yt-12+pyt-p2)/. (2.14)請注意, ltt()/是向量, 所以(22.13)式式是(p+11)元代數(shù)方方程組, 利利用(2.114)式很容容易求得lt()/的表達式式, 而且 lt()/有很簡單單的形式, 但是, 它它是非線性的的, 所以(2.13)式是(p+1)元非線線性代數(shù)方程程組. 求(2.13)式的數(shù)值解解法, 是計計算數(shù)學中的的簡單問題, 即可使用用已有的軟件件, 亦可自自行編程計算算, 這里從從略.2.3. GA

40、ARCH模型型的參數(shù)估計計2.3.1. 極大似然估估計在這一小節(jié), 先介紹極大大似然估計, 因為這與與前面聯(lián)系緊緊密. 如前前所述, GGARCH模模型的參數(shù)估估計, 要比比ARCH模模型復雜. 其復雜性表表現(xiàn)在: GGARCH模模型的參數(shù)估估計不僅沒有有顯示的表達達式, 而且且, 其似然然函數(shù)也沒有有顯示的表達達式, 只有有迭代計算公公式. 這一一特點, 對對求解極大似似然估計的算算法, 不帶帶來實質(zhì)困難難, 但是在在敘述它時, 會繁瑣些些. 現(xiàn)在敘述GARRCH模型似似然函數(shù). 仿照(2.10)式可可得f(Y)=f(y1,y2,yn) =f(yyn|yn-1,.,yn-pp; hn, hn

41、-qq+1)f(yn-1,.,yn-pp; hn, hn-q+11) = (22hn)-1/2exxp- yyn2/2hn f(yyn-1,.,yn-pp; hn, hn-qq+1) =t=11n(2ht)-1/2exxp-ytt2/2ht f(yy0,.,yy-p+1; h1, h-q+2). (2.15)仿照(2.122)式又有I()= t=p+1n lt()+log f(y0,.,yy-p+1; h1, h-q+2), (2.16)其中l(wèi)t()=loog ht + yt2/ht , =(00,1,p;1,q).再仿照(2.113)式和(2.14)式, 在求求解GARCCH模型參數(shù)數(shù)的極大

42、似然然估計時, 近似為求解解如下的方程程組之解, 即 t=p+1nn lt()/=0 (2.177)的解, 其中l(wèi)t()/=llog ht/ +(yt2/ht )/ = hht-1(ht/)(1- yt2/ht). (2.188)在以上各式中, 雖然都是是明確的表達達式, 但是是, (ht/)尚未被表表達出來, 實際上無法法用顯式表達達它. 幸運運的是, 它它有遞推關(guān)系系式可利用. 在設計求求解方程(22.17)式式時, 有遞遞推關(guān)系式也也足夠了. 記zt=(1,yyt-12, yt-222, yt-pp2; ht-11, ht-22, ht-qq),于是可得出(hht/)的遞推關(guān)關(guān)系式如下h

43、t/=zt+k=1qk(ht-k/). (22.19)雖然有(2.119)式可用用, 但是, 此迭代公公式的初始值值 h1/, h0/, , h-q+2/仍然未有明顯表表達式. 在在實際應用時時, 常用零零值作為它們們的近似值使使用, 于是是可求得近似似的極大似然然估計值. 當然, 求求解過程又常常用迭代算法法, 這里從從略.2.3.2. 最小二乘估估計對GARCH模模型參數(shù)使用用最小二乘估估計方法, 也同樣遇到到像極大似然然估計類似的的麻煩. 在在此, 我們們推薦使用平平穩(wěn)的ARMMA模型參數(shù)數(shù)的矩估計方方法. 細節(jié)節(jié)可參看有關(guān)關(guān)著作. 盡盡管如此, 當q值較大大時, 其算算法也不比極極大似

44、然估計計更方便. 所以, 最最多使用的仍仍是極大似然然估計方法.模型檢驗根據(jù)觀測數(shù)據(jù)yy1,y2,yn , 判斷斷所要擬合的的模型是否適適用, 稱為為模型檢驗. 在為數(shù)據(jù)據(jù)y1,y2,yn建立模型時時, 一般都都應當進行模模型檢驗. 對于GARRCH模型也也不例外. 所謂模型檢檢驗, 有在在建立模型前前進行的, 有在之后進進行的. 對對于GARCCH模型來說說, 在為數(shù)數(shù)據(jù)y1,y2,yn建立GARRCH模型前前, 首先應應當判斷有沒沒有必要. 如前言所說說到, 平穩(wěn)穩(wěn)序列的條件件方差S(yyt,yt-1,)可能是常常數(shù)值, 此此時就不必建建立GARCCH模型. 于是判斷條條件方差S(yt,y

45、t-1,)是否為常常數(shù), 就應應當在建模前前完成. 即即使經(jīng)判斷后后, 條件方方差不是常數(shù)數(shù), 它也未未必滿足GAARCH模型型. 然而目目前GARCCH模型是比比較熟知的條條件異方差模模型, 所以以常用它來近近似擬合觀測測數(shù)據(jù). 那那么, 在建建模后還應當當對所得到的的模型進行檢檢驗, 以判判斷其是否可可接受. 在在建模前和后后所進行的模模型檢驗, 其方法不一一定相同. 建模后使用用的模型檢驗驗方法, 還還可作為確定定GARCHH模型階數(shù)的的輔助手段. 以下分別別介紹.3.1. 條件件異方差性檢檢驗 在這一一小節(jié)里, 我們?nèi)钥紤]慮yt為鞅差序序列的情況, 也就是(0.12)式中的( yt-1

46、, yyt-2,)=0的情情況, 即yt= S(yyt-1,yt-2,)t, (3.1)其中t為標標準化的鞅差差序列, 即即E(t |ytt-1,yt-2,)=0, E(t2|yt-1,yt-2,)=1. 考查(3.1)式兩邊平方方的模型yt2= S22(yt-1,yt-2,)t2, 當S(yt-11,yt-2,)為常數(shù)時時, 不妨記記為, 即 Eyyt2|yt-1,yt-2,= S2(yt-1,yt-2,)= 2. (3.2)此時(3.1)式可寫成yt2=2t22. (3.3)于是又有 yt2-2=2(t2-1). (3.4)此時我們還發(fā)現(xiàn)現(xiàn)E(yt2-2)|yt-11,yt-2,= Eyt

47、2|yt-1,yt-2,-2=2-2=0,這說明yt22-2也是鞅差差序列. 還還容易看出, 如果yyt是任意一一個鞅差序列列, 且Eyyt2=2, yt2-2未必是鞅鞅差序列. 但是從上式式不難看到, 當且僅當當(3.2)式成立時, yt2-2才是鞅差差序列. 此此事實是進行行條件異方差差性檢驗的理理論依據(jù). 以下介紹具具體檢驗方法法.計算 n2=(1/nn)t=1nyt2.計算n=(1/n) t=1n(yt-1, , yt-mm),2=(1/n) t=1n(yt-1, , yt-mm)-n2,其中是m元標準準正態(tài)分布的的密度函數(shù), mnn適當選定, 而且y00, y-1, , y-m+1以

48、零代替替.計算 nn=(1/nnn22)t=1n(yt2-n2)(yt-1, , yt-mm)2.計算n=(cn/nn2)t=1n(yt2-n2)I(yt-1s1,yt-msm)2(s1, , sm)ds1dsm,其中cn=O(n1/2), 最后計算 n= n+n.根據(jù)理論證明得得知, 隨著著n, * 當S2(yyt-1,yt-2,)=2時, n12, * 當S2(yt-1,yt-2,)常數(shù)時, n.這就提供了檢驗驗的依據(jù), 即當給出置置信水平, 由2分布表可查查出邊界值使使得P(12)=, 于是是 * 當 n 時, 接接受S2(yt-1,yt-2,)=2的假定; * 當 n 時, 拒絕絕S2

49、(yt-1,yt-2,)=2的假定.最后還需指出, 此方法是是近年提出的的, 還處在在研究之中, 比如, 前述中的mm和cn的選擇問題題就有待研究究.3.2. ARRCH模型檢檢驗在此小節(jié)中, 我們只介紹紹ARCH模模型(1.55)(1.66)式檢驗方方法. 此檢檢驗是指對已已知其模型, 針對觀測測數(shù)據(jù)y1,y2, yn, 判斷它它們是否適合合此模型. 為此引入對對立假設H0: 模型(1.5)(1.6)成成立, H1: 模型(1.5)(1.6)不不成立.以下只介紹一種種簡單的方法法, 即考查查序列p+12=ypp+12/hp+1, p+22=yp+22/hp+2, , n2=yn2/hn ,其

50、中ht=0+1yyt-12+2yt-22+pyt-p2, t=p+1,n.由于模型是已知知的, 所以以利用觀測數(shù)數(shù)據(jù)y1,y2, yn可計算上述述序列值. 根據(jù)ARCCH模型的假假定, tt是一元標標準正態(tài)N(0,1)的的白噪聲序列列, 于是上上述的序列 12,22,n2也是獨立同同分布的序列列. 特別考考查中心化的的序列 (p+12-1), (p+22-1) , , (n2-1),它們也是獨立同同分布的, 而且, 當當kj時, E(k2-1)(j2-1)=00. 這就為為檢驗提供了了依據(jù). 比比較簡單的檢檢驗方法是相相關(guān)系數(shù)檢驗驗方法. 具具體做法如下下. 計算k*=(1/nn-p) tt=

51、1n-kk(t2-1)(t+k2-1), k*=k*/00*, kk=0,1,2,K,QK=nt=11K(k*)2.請注意, 當kk0時, 如如果H0假定成立, 則有 k=E(t2-1)(t+k2-1)=00, k=k/0=0.易見, k*和和k*分別為k和k的樣本估計計值, 當HH0假定成立時時, 隨著n時時, k*和k* 0.從理論上已被證證明, 隨著著n, * 當H0成立立時, QK K2, * 當H1成立時, QKK .這就提供了檢驗驗的依據(jù), 即當給出置置信水平, 由2分布表可查查出邊界值QQ使得P(K2Q)=, 于是是 * 當 QKK0, ii0, i=1,22,p.其中t為ii.

52、i.d.的序列, tN(0, 1), 且且t與et-11, et-22, 獨立.在下文中, 我我們將敘述如如何為聯(lián)合模模型(4.11)-(4.3)(4.4), 以以及聯(lián)合模型型(4.2)-(4.33)(4.44)建模. 前者稱為:線性回歸ARCCH模型, 后者稱為:自回歸ARCHH模型, 并并簡記為ARRARRCH模型.為以上聯(lián)合模型型建模時, 一種簡便的的方法是兩步步法. 對聯(lián)聯(lián)合模型(44.1)-(4.3)(4.4)式式而言, 在在已獲得觀測測數(shù)據(jù)(yt, xtt1, xt2, , xtss), tt=1,2,n,為了對(4.11)-(4.3)(4.4)式建模模, 分兩步步完成:第一步,

53、按照照線性回歸分分析方法, 給出回歸系系數(shù)估計 a0*, a1*, , as* , (常常用最小二乘乘估計)再給出擬合殘差差序列et*= ytt-(a0*+a1*xt1+a2*xt2+as*xts), tt=1,2,n.第二步, 將序序列e1*,e2*,en*看做觀測測e1 ,e2 ,en的近似值. 按照前面面為y1 ,y2 , , yn建立ARCCH模型的方方法, 用于于對e1 ,e2 ,en的分析, 并獲得模型型(4.3)(4.4)式的估計. 必要時, 還可作模模型檢驗.以上就是為(44.1)-(4.3)(4.4)式式建模的兩步步法.當然, 我們也也可以使用熟熟知的極大似似然估計方法法為(

54、4.11)-(4.3)(4.4)式建模模. 但是, 其復雜程程度和計算難難度明顯高于于上述方法. 只有當模模型階數(shù)不太太高時才會使使用. 按照照前面敘述的的極大似然方方法的要領, 除了繁瑣瑣外并無實質(zhì)質(zhì)性困難.但但是, 無法法再利用前述述的GARCCH模型建模模方法.對于聯(lián)合模型(4.2)-(4.3)(4.4)式而言, 在已獲得觀觀測數(shù)據(jù)y11, y2, , yn, 為(44.2)-(4.3)(4.4)式式建模也分兩兩步完成:第一步, 按照照線性自回歸歸分析, 給給出自回歸系系數(shù)估計 a0*, a1*, , as* , (常常用最小二乘乘估計)再給出擬合殘差差序列et*= ytt-(a0*+a

55、1*yt-1+as*yt-s), tt=s+1,s+2,n.第二步, 將序序列es+11*,es+22*,en*看做觀測測es+1, ees+1,en的近似值. 按照前面面為y1,y2, , yn建立ARCCH模型的方方法, 用于于對es+11 ,es+22 ,en的分析, 并獲得模型型(4.3)(4.4)式的估計. 需要時, 還可作模模型檢驗.以上就是為(44.2)-(4.3)(4.4)式式建模的兩步步法.當然, 對于(4.2)-(4.3)(4.4)式建模也可可使用極大似似然估計方法法, 其情況況與(4.11)-(4.3)(4.4)式類似似.最后, 按照類類似的推廣方方法, 也可可以討論(自

56、自)回歸與GGARCH模模型的聯(lián)合模模型. 除了了增加復雜性性以外, 并并無本質(zhì)困難難, 這里不不再介紹了.4.2. 在區(qū)區(qū)間預報中的的應用在自回歸分析中中, 預報是是重要的應用用之一. 除除了數(shù)值預報報外, 有時時還需要給出出預報值的區(qū)區(qū)間, 稱為為區(qū)間預報. 在經(jīng)典自自回歸分析中中, 其預報報值與預報步步數(shù)和歷史數(shù)數(shù)據(jù)有關(guān), 但是, 其其預報區(qū)間只只與預報步數(shù)數(shù)有關(guān), 和和歷史數(shù)據(jù)無無關(guān). 其根根原在于, 未考慮序列列的條件異方方差性. 近近年來, 由由于條件異方方差模型的問問世, 比如如GARCHH模型, 對對區(qū)間預報提提供了改進的的方法. 現(xiàn)現(xiàn)在就介紹用用GARCHH模型給出更更合理的

57、區(qū)間間預報方法.先回顧一下經(jīng)典典的區(qū)間預報報方法. 不不妨只考查一一步預報. 以平穩(wěn)ARR(s)序列列yt為例, 它滿足如下下模型:yt=a1ytt-1+a2yt-2+asyt-s+et, (4.5)其中 et 為i.ii.d.序列列, 且ettN(0,2), et與 yt-1, yt-2,獨立. 其一步預報報值為 ynn+1|n= a1yn+a2yn-1+asyn-s+1, (4.6)其預報誤差及其其方差分別為為yn+1-ynn+1|n=a1yn+a2yn-1+asyn-s+1+en+1-(a1yn+a2yn-1+asyn-s+1)=en+11, (4.7) E(yn+1-yn+1|n)2=

58、Een+112=2. (4.88)而且, 其預報報誤差的條件件方差也是22, 因為 E(yn+11-yn+1|n)2| yn, yn-1,=E en+12| yn, yn-1,= Een+112=2. (4.99)而且, 在給定定yn, yn-1,的條件下, 預報誤差差en+1的條件件分布為N(0, 2), 它與與yn, yn-1,的取值無關(guān)關(guān)! 在統(tǒng)計計學中, 有有了en+11的分布就獲獲得了完全的的統(tǒng)計信息. 因此, 給定的置信信度1-, 取使得 P(|en+11|)=P(|en+11/|/)=1-, (4.110)其中en+1/N(0,1), 于于是由正態(tài)分分布表可查得得/=c之值, 進

59、而又可得得=c之值. 易見, 越越小也越小. 最后得到到對一步后的的未來值ynn+1的區(qū)間間預報為: (a1yn+a2yn-1+asyn-s+1-c, a1yn+a22yn-1+asyn-s+1+c), (44.11)而且yn+1落落入此區(qū)間的的概率為1-.在以上的回顧中中, 使用對對序列 eet 為i.i.d.的的假定. 如如果 ett 滿足(4.3)(4.4)式式的ARCHH模型, 上上述的區(qū)間預預報將有無變變換呢? 其其實很簡單, 只需注意意將“在給定yn, yn-1,的條件下, en+11服從N(00, 2)分布”改為“在給定yn, yn-1,的條件下, en+11服從N(00, hn

60、+1)分布”,并注意 hnn+1=0+1en2+2en-12+pen-p+12,其中et=yt-(a1yt-1+a2yt-2+asyt-s), t= n-p+11, n-p+2,n這表明在給定yyn, yn-1,的條件下, hn+11被yn, yn-1,yn-p+11給出, 它它是可計算的的, 但是不不一定恒為22值. 以hhn+1代替2, 重復前前面尋求區(qū)間間預報的步驟驟, 即對給給定的置信度度1-, 取取使得 P(|enn+1/ht1/2|1)的迭迭代計算公式式, 其中迭迭代的初始值值hn-j+1|n=hhn-j+11, j=11,p, 它它們可用(11.6)式迭迭代計算, 它們都是被被已