等比數(shù)列知識點并附例題及解析

1、等比數(shù)列知識點并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義：土 = q（次0）0 2 2,且n g N*）, q稱為公比an-12、通項公式：ai an o q = Inn-ma y a=A-Bn （aqai an o q = Inn-ma y a推廣： a = a qn-m o q n-m3、等比中項：（1）如果a, A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，艮即A2 = ab或A=+ab注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（2）數(shù)列是等比數(shù)列 =a 2 = a - a nnn-1 n+14、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：（1）當(dāng) q = 1 時，S = na（2）當(dāng)q。1 時，s

2、 =a，-qn）=aqn1 - q1 - q=qn = A A - Bn = A Bn A ( A, B, A, B為 1 - q 1 - q常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對任意的n，都有a = qa或n+1 = q（q為常數(shù)，a。0） o a n+1n annn為等比數(shù)列（2）等比中項：a 2 = a a （a a 。0） o a 為等比數(shù)列nn+1 n-1 n+1 n-1n（3）通項公式：a = A-Bn （A-B。0）o a 為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若土= q （q。0）（n 2,且n g N* ）或 a = qa = a 為等比數(shù)列 n-17、等比數(shù)列

3、的性質(zhì)：（2）對任何m,n g N*,在等比數(shù)列a 中，有a = a qn-m。（3）若m + n = s +1（m,n,s,t g N*），則 a -a - a -a。特別的，當(dāng) m + n = 2k 時，n m s t得 a - a = a 2注：a - a = a - a = a a n m k1 n 2 n-13 n 一 2（4）數(shù)列a ，b 為等比數(shù)列，則數(shù)列k，k -a ，ak，k -a -b ，nnannn n bnn（k為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列。（5）數(shù)列a 為等比數(shù)列，每隔k（k g N*）項取出一項（a ,a ,a,a，）仍nm m+k m+2 k m+3k為等比數(shù)列（6）

4、如果an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列（7）若a 為等比數(shù)列，則數(shù)列S，S -S，S -S ,，成等比數(shù)列nn 2n n3n 2n（8）若a 為等比數(shù)列，則數(shù)列a -a a ，a -a a ，a -a an1 2nn+1 n+22 n 2 n+1 2 n+23 n成等比數(shù)列（ a1 0，則a/為遞增數(shù)列（9）當(dāng)q 1時，a1 0，則a 為遞減數(shù)列當(dāng)0q 1時，a1 0，則a：為遞增數(shù)列當(dāng)q = 1時，該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）；當(dāng)q 1),則該數(shù)列的通項2、在數(shù)列a )中，若ai = 1 ,a =.考點二：等比中項的應(yīng)用1、已知等差數(shù)列a1、已知等差數(shù)列a

5、的公差為2na4成等比數(shù)列，則02=(A. -A. -4C. -8D. -102、若a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)y =毅2+ bx + c的圖象與x軸交點的個數(shù)為A. 0A. 0B. 13、已知數(shù)列為等比數(shù)列，a3 = 2 ,C. 2D.不確定a + a =， 求a 的通項公式.243n考點三：等比數(shù)列及其前n項和的基本運算1、若公比為2的等比數(shù)列的首項為9，末項為，則這個數(shù)列的項數(shù)是（）383A. 3B. 4C. 5D.62、已知等比數(shù)列a 中，na3 = 3，匕。=384，則該數(shù)列的通項a =.3、若an）為等比數(shù)列，且2氣=a6 - a5，則公比q =4、設(shè) ai，a，a，a成等比數(shù)列，

6、其公比為2，則2342a + a2a + a的值為（）A.111B.C.D. 14281 -5、等比 數(shù) 列a 中，公比q= 且 a +a +a =30，貝。a +a + n22410012+aioo=B. 27527D. 243考點四：等比數(shù)列及其前B. 27527D. 243n693A. 4B. 3216C. 9D. 22、如果-1，a，b，c，-9成等比數(shù)列，那么（ ）A. b = 3， ac = 9B.b = -3， ac = 9C. b = 3， ac = -9D. b = -3， ac = -93、在等比數(shù)列a 中， na = 1， a = 3，貝。aaaaaaaa 等于(2345

7、6789)1、在等比數(shù)列a 中，如果a = 6，a = 9，那么a為（ ）A. 81C. 9bio( b )C二D.-a9k a )105、在等比數(shù)列。中，a和a是二次方程x2 + kx + 5 = 0的兩個根，則aaa的n352 4 6值為（ ）A. 25B.5希C. -53D. 5寸56、若a 是等比數(shù)列，且a 0，若aa + 2a a + a a = 25，那么a+a的值等nn243 54 635于考點五：公式a = 2)1、若數(shù)列的前n項和S=a+a+,，滿足條件log S =n，那么a是（）n 12n2 nnA.公比為2的等比數(shù)列B.公比為1的等比數(shù)列2C.公差為2的等差數(shù)列D.既不

8、是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2、等比數(shù)列前n項和Sn=2n-1，則前n項的平方和為（）11A.（2n-1）2B. 土（2n-1）2C.4nTD.上（心一1）333、設(shè)等比數(shù)列aj的前n項和為Sn=3n+r，那么r的值為.一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義a +1 - a = dn + 1 = q(q 豐 0) a n遞推公式a = a + d ; a = a + mda _ -a -ma a q ；a a q通項公式a = a1 + (n - 1)da = a1 qn-1 ( a1, q 尹 0 )中項A = n k 2 n + k ( n, k e N *, n A k A 0 )G

9、= J a a k (a ka A 0) ( n, k e N *, n A k A 0 )前n項和S = 2 (a1 + a ) n(n - DS = na1 +2 dS = 2)1 - q1 - q重要性質(zhì)a + a = a + a(m,n, p,q e N*,m + n = p + q)a - a = a - a(m,n, p, q e N*,m + n = p + q)二、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：a 定義：a 1 -a = d （ d為常數(shù)），通項：a=a + (n -1)d等差中項：尤，A y成等差數(shù)列。2A = x + y前n項和:前n項和:(a + a )n1 2 =na +

10、-1)d1性質(zhì)：a是等差數(shù)列n若 m + n = p + q，貝。a + a = a + a ；仍為等差 數(shù)列k a a 仍為等差數(shù)列，S，S -S，S -S仍為等差2 n-1 2 n 2 n+1n 2 n n 3 n 2 n數(shù)列，公差為n d ；（3）若a，b是等差數(shù)列，且前n項和分別為S，T，則 =n nn n b T（4）a 為等差數(shù)列0 S = an 2 + bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，可能有最大值或最小值）（5）項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列a 有S2n=n(aS2n=n(a + a ) = n(a + a )=n(a + a 1)(a ,a 1為中間兩項)S 偶一

11、S 奇=nd，a.an+1（6）項數(shù)為奇數(shù)2n -1的等差數(shù)列a 有n ，S nS = (2n 1)a (a 為中間項)， S S = a，奇=偶n三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：f+1 = q （ q為常數(shù)，q豐0 ），通項：a = a qn-1 n等比中項：x G、y成等比數(shù)列n G2 = xy，或G = x：xyna （q = 1）前n項和：S =0, b0且ab, 在 a, b之間插入n個正數(shù)x, X2， xn,使得a, x, x2，xn, b成等比數(shù)列，求證 Jx x -x【例5】設(shè) a、b、c、d 成等比數(shù)列，求證：(bc)2+(ca)2+(d【例5】= (ad)2.【例6】求數(shù)列的

12、通項公式:【例6】求數(shù)列的通項公式:(1)an 中a =2, a+ = 3an+2(2)an 中a1=2,迎=5,且 an+23an+1+2an=(2)an 中【例7】若實數(shù)a、a、a、a都不為零，且滿足(a2 +a2)a2 2a12341242(a +a )a +a2 +a2 =0求證：a、a、a成等比數(shù)列，且公比為a .134231234【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等 比數(shù)列，求【例8】【例9】 已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d/1，且 24=64， ai0=b0：求a1與d的值；(2)b6是不是an中的項？【例10】 設(shè)a

13、是等差數(shù)列，b =(!)an，已知b +b +b =21 nn 21238bb b =1，求等差數(shù)列的通項.1 2 38【例11】三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).【例12【例12】并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù) 的和是12,求這四個數(shù).【例13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為126 ；另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加，分別得到85, 76, 84.求 這兩個數(shù)列.【例14】已知在數(shù)列an中，a1. a2、a3成等差數(shù)列，a2、a3、a4成等比數(shù)列，a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a

14、1. a3、 a5成等比數(shù)列.【例 15 】已知(bc)logmx+(ca)logmy+(ab)logmz=0.設(shè)a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y，z成等比數(shù)列.設(shè)正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列，且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù) 列等比數(shù)列例題解析【例1】 已知Sn是數(shù)列an的前n項和，Sn=pn(pER，nEN*)，那么數(shù)列anA .是等比數(shù)列當(dāng)p/0時是等比數(shù)列當(dāng)p/0, p/1時是等比數(shù)列不是等比數(shù)列分析 由Sn=pn(nEN*),有a1=S1=p,并且當(dāng)nN2時，an=Sn_Sn-1 = pn _pn-1 = (p _ )pn-1r、，p*故a2 = (p_1)

15、p,因此數(shù)列a 成等比數(shù)列o0, b0且ab, 在 a, b之間插入n個正數(shù)x, X2， xn,使得a, X, X2，xn, b成等比數(shù)列，求證 Jx x -x V證明 設(shè)這n+2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+. bqn+1 = alx x x lx x x=n：aqaq2.aqn = aq 2【例5】設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)2+(ca)2+(db)2 = (a一d)2.證法一 .a、b、c、d成等比數(shù)列a b c. b c d.b2=ac, c2=bd, ad=bc.左邊=b22bc+c2+c22ac+a2+d22bd+b2=2(b2ac)+2(c2bd)+(a22

16、bc+d2)= a22ad+d2= (ad)2=右邊證畢.證法二 a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則: b = aq, c = aq2, d=aq3左邊=(aqaq2)2+(aq2a)2+(aq3aq)2= a22a2q3+a2q6=(aaq3)2= (ad)2=右邊證畢.說明這是一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目.證法一是抓住 了求證式中右邊沒有b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的 路子.證法二則是把a、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的.證 法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍 性.【例6】求數(shù)列的通項

17、公式：an中，a1=2, an+1 = 3an+2%中，a1=2，迎=5,且 an+23an+1+2an=思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.解(1)a= 3a + 2 n a +1 = 3(a +1)n+1nn+1n.an+1是等比數(shù)列an+1=3 , 3n-1an=3n1(2)a 3a + 2a = 0 n a a = 2(a a )n+2n+1 nn+2n+1n+1 nan+1an是等比數(shù)列，即an+an=(a2aD 2n-1=3 2n-1再注意至U a2a=3，a3a?=3 21， a4a3=3 22，anan_=3 2n-2，這些等式相加，即可以得到,2n-1 1a =31 + 2 + 22 +

18、+ 2n-2 = 3=3(2 n1 1)說明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列，即化生疏為已知.(1)中發(fā)現(xiàn)an+1是等比數(shù)列，(2)中發(fā)現(xiàn)an+1an是等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn).【例7】若實數(shù)a、a、a、a都不為零，且滿足(a2 +a2)a2 2a TOC o 1-5 h z 12341242(a +a )a +a2 +a2 =0求證：a、a、a成等比數(shù)列，且公比為a .134231234證.a、a?、23、24均為不為零的實數(shù). (a2 +a2)x2 2a (a +a )x+a2 +a2 =0為實系數(shù)一元二次方程1221323等式 +a2)a2 2a (a +a )a +a2

19、+a2=0說明上述方程有實數(shù)根.1242134234.上述方程的判別式八巳。，即 TOC o 1-5 h z 2a (a +a )2 4(a2 + a2)(a2 + a2) 2131223=4(a2 a a )2 A0(a2 a a )2 W021 3又ai、a?、a3為實數(shù)(a2 a a )2 A021 3必有&2 a a =0即a2 = a a 21 321 3因而aa2、a3成等比數(shù)列乂. 2a (a + a ) a (a + a ) a 42(a2 + a2)a2 + a a a4即為等比數(shù)列a、a2、a3的公比.【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等比

20、數(shù)列，求b的值.解 設(shè) a、b、c 分別為 bd、b、b+d,由已矢口 bd+1、b、b+d 與 bd、b、b+d+2都成等比數(shù)列，有b2 =(b d+1)(b + d)b2 =(b d)(b + d+ 2)整理，得b2 = b2 d2 +b+db2 =b2 d2 + 2b 2d.*.b+d=2b2d 即 b=3d代入，得9d2=(3dd+1)(3d+d)9d2=(2d+1) - 4d解之，得d=4或d=0(舍) b=12【例9】 已知等差數(shù)列an的公差和等比數(shù)列bn的公比都是d，又知d/1，且 a4=b4， a10=b10：求a1與d的值；(2)b6是不是an中的項？思路：運用通項公式列方程

21、5 fa = b a +3d = a d3解(1)由 4 _U n七a = b a +9d = a d9、io io i iiJa (1 d3)= 3d|a (1 d9)= 9dt in d6+d3 2 = 0nd =1(舍)或d = V-212_a = d =魴2d =拓2i(2)Vb16=b1 d】5= 32b且 a =a +3d = 2對Ab414b =b d3 = 2b = 一2很411b = a =2i i.bi6=32b=32a,如果 b6 是ajJ中的第 k 項，則 32a=a +(k l)d(k l)d=33a=33d.k=34即切6是中的第34項.【例10】 設(shè)a 是等差數(shù)列

22、，b = ()an ?已知b +b +b = ? nn 21238b b b =：,求等差數(shù)列的通項.1 2 38解 設(shè)等差數(shù)列ajJ的公差為d,則an=aj + (nl)d1.b = (_)a+(n-l)dn 21 1 12(a+d) b22由bbb q,解得聽:，1 2 31b b b = 一1 2 38力整理得，2(a+d) b22由bbb q,解得聽:，1 2 31b b b = 一1 2 38力整理得，JLT解得b二,221b b =1 34,17b +b =138代入已知條件解這個方程組，得1 .、1bi=2，b3 = 8 或=8 b3=2ai= 1 d=2 或 a=3, d=2當(dāng)

23、 ai= 1 d=2 時，an=ai + (n1)d=2n3當(dāng) a=3, d=2 時，an=a+(n1)d=52n【例11】 三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等 差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).解法一按等比數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a，aq，aq2由已知：a， aq+4， aq2成等差數(shù)列即：2(aq+4)=a+aq2a， aq+4， aq2+32成等比數(shù)列即：(aq+4)2 =a (aq2+32) TOC o 1-5 h z n aq+2 = 4a2fa = 2 a =-，兩式聯(lián)立解得：分或190 = 3iq = 51050 .這二數(shù)為：2， 6， 18或

24、9， 9， -9 -解法二 按等差數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為b-d，b-4, b+d 由已知：二個數(shù)成等比數(shù)列即：(b-4)2=(b-d)(b+d)n 8b-d2 =16bd， b， b+d+32成等比數(shù)列 即 b2=(bd)(b+d+32)n 32b-d2 32d = 026b = v b = i0、兩式聯(lián)立，解得：89 或 |d = 8d、兩式聯(lián)立，解得：一皿土 21050” 二數(shù)為， 9，或2， 6， 18.解法三任意設(shè)三個未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為aia2，解法三任意設(shè)三個未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為aia2，a3由已知:a，a?，a3成等比數(shù)列得：a22ai，a2+4, ai，a2+4, a3成等差數(shù)列

25、得：2(a?+4)=ai +a3ai，a2+4, a3+32成等比數(shù)列得：(a2+4)2=a(a3 + 32)、式聯(lián)立，解得:2910、式聯(lián)立，解得:2910S a 八2 950a3 ra1=2或廣6a2 =183說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為ad，a，a+d；將三個成等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為a，aq，aq2（或a，a，aq）是一種常用技巧，可起到 q簡化計算過程的作用.【例12】 有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并 且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù).分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個數(shù)為a-d，a，a+d

26、，則第四個數(shù)由已知條件可推得：52 a方法二設(shè)后三個數(shù)為b，bq，bq2，則第一個數(shù)由已知條件推得為2bbq.方法二方法三設(shè)第一個數(shù)與第二個數(shù)分別為x, y,則第三、第四個數(shù)依次為12 方法三設(shè)第一個數(shù)與第二個數(shù)分別為x, y,則第三、第四個數(shù)依次為12 y, 16x.由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求 的四個數(shù)，解法一設(shè)前三個數(shù)為ad, a, a+d，則第四個數(shù)為* d.a依題意，有.(a + d)2ad+= 16aa+ (a+d) = 12a = 4d =4v 1所求四個數(shù)為：0, 4, 8解方程組得:a = 9d = 6、216 或 15, 9, 3, 1

27、.解法二設(shè)后三個數(shù)為:b, bq, bq2，則第一個數(shù)為:2bbq12bbq+bq2 = 16 依題意有：,I b+bq = 12解方程組得:I；七或解方程組得:I；七或I2q2=9_ 1=3所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解法三設(shè)四個數(shù)依次為x, y, 12y, 16x.依題意有x+ (12 y) = 2y依題意有y (16 x) = (12 y)2解方程組得：廣0或2=：5區(qū)=4y2=9這四個數(shù)為0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加，分別得到85, 76, 84.求這兩個數(shù)列.解設(shè)成等差數(shù)列的三個數(shù)為bd, b, b+d,由已知，bd+b+b+d=126 .b=42這三個數(shù)可寫成42d, 42, 42+d.再設(shè)另三個數(shù)