有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法

1、第七章 有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法第一節(jié) 概 述 地層劃分與對(duì)比是煤田地質(zhì)勘探的主要任務(wù)之一。在地質(zhì)工作中，通常是尋找地層的不整合或假整合界線，或者利用古生物化石、巖石礦物等地質(zhì)特征對(duì)地層進(jìn)行劃分與對(duì)比。這種劃分方法比較直觀，適用于較大地層單元的劃分與對(duì)比。當(dāng)?shù)刭|(zhì)特征間的差異性不顯著時(shí)，運(yùn)用上述直觀、定性的方法來(lái)解決較小地層單元的進(jìn)一步劃分就有一定的困難。因此，近年來(lái)開(kāi)始利用有序地質(zhì)量，即運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，并借于電子計(jì)算機(jī)定量地劃分地層，提出了“有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法”。 地質(zhì)數(shù)據(jù)中有有相當(dāng)多是有有序的。這些些按一定順序序排列的地質(zhì)質(zhì)變量，叫做做有序地質(zhì)量量。例如，沿沿地層露頭剖剖面采集的巖巖石標(biāo)本；鉆鉆

2、孔取出的巖巖芯樣品；與與這些巖石、樣樣品有關(guān)的巖巖性、物理化化學(xué)和古生物物數(shù)據(jù)；以及及地球物理測(cè)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)等。它它們都是有序序地質(zhì)量。這這類數(shù)據(jù)的特特點(diǎn)是樣品的的前后次序不不能變更。所所以，一些不不考慮樣品排排列順序的數(shù)數(shù)學(xué)處理方法法，對(duì)此不適適用。有序地地質(zhì)量最優(yōu)分分割法，就是是對(duì)一批有序序數(shù)據(jù)（地質(zhì)質(zhì)體）進(jìn)行分分段的統(tǒng)計(jì)方方法。 設(shè)有個(gè)按順序序排列的樣品品，每個(gè)樣品品測(cè)得個(gè)變量量，這批數(shù)據(jù)據(jù)可用數(shù)據(jù)矩矩陣的形式表表示為其中，表示第個(gè)個(gè)樣品第個(gè)變變量的取值。 若對(duì)對(duì)以上個(gè)有序序樣品進(jìn)行分分割（分段），可可能有 種劃分方法，每每一種分法稱稱為一種分割割。在所有這這些分割中，存存在這樣一種種分割，

3、它使使得各段（組組）內(nèi)部樣品品之間的差異異性最小（即即樣品數(shù)據(jù)的的組內(nèi)離差平平方和最?。?，而而使段（組）之之間的差異性性最大（即樣樣品數(shù)據(jù)的組組間離差平方方和最大）。這這種對(duì)個(gè)樣品品分段并使組組內(nèi)離差平方方和最小的分分割方法，稱稱為最優(yōu)分割割法。 樣樣品變量總離離差平方和的的分解式為 （771）式中，為總離差差平方和；為為組內(nèi)離差平平方和；為組組間離差平方方和。由式（71）可可知，如果個(gè)個(gè)樣品分為段段，每段的樣樣品個(gè)數(shù)為，若若每個(gè)樣品只只取一個(gè)變量量，則 （72） （773）因此，尋求最優(yōu)優(yōu)分割，就是是用計(jì)算的分分法找出使組組內(nèi)離差平方方和（）最小小的那些分割割點(diǎn)。這與判判別分析中費(fèi)費(fèi)歇準(zhǔn)則相

4、似似，所以有序序地質(zhì)量最優(yōu)優(yōu)分割法，有有人又稱為“F-分割法”或“有序樣品的的聚類分析”。第二節(jié) 單元有有序數(shù)據(jù)的最最優(yōu)分割若有個(gè)有序樣品品，每個(gè)樣品品只取一個(gè)變變量，則有個(gè)個(gè)有序數(shù)據(jù)序序列，為 現(xiàn)在試圖將這個(gè)個(gè)樣品按順序序分割為段，使使段（組）內(nèi)內(nèi)離平差和盡盡可能小，而而組間離差平平方和盡可能能大。為此，用用表示從第個(gè)樣樣品數(shù)據(jù)開(kāi)始始至第個(gè)樣品品數(shù)據(jù)為止的的某段樣品，其其中 該段樣品變量的的離差平方和和為 （7-4） 式中 由于能夠反映樣樣品段內(nèi)樣品品間差異的情情況，愈小，表表示段內(nèi)各樣樣品之間差異異性愈??；反反之，愈大，表表示段內(nèi)各樣樣品之間差異異性愈大。因因此，又把稱稱為段的直徑徑。若個(gè)

5、樣品分為段段： ，為最優(yōu)段分分割。其各段段離差平方和和（段直徑）分分別為：，。根據(jù)最優(yōu)優(yōu)分割的原則則，其組內(nèi)離離差平方和必必須滿足 （7-5）或 （7-66）在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往往事先不知知道個(gè)有序樣樣品客觀上究究竟能劃分為為幾段。因此此，必須從最最優(yōu)分成二段段、三段、段進(jìn)行分析析。一、最優(yōu)二段分分割若把個(gè)有序樣品品分為兩段，則則有如下種不不同的分法，即即 在上述種分法中中，究竟哪一一種方法最優(yōu)優(yōu)？只須計(jì)算算出每一種分分割的組內(nèi)離離差平方和，并并從其中找出出組內(nèi)離差平平方和最小的的那一種分割割，就是所求求的最優(yōu)二段段分割。在個(gè)有序樣品中中，對(duì)任意一一個(gè)都可以確確定一個(gè)二段段分割，即。若若把對(duì)個(gè)樣

6、品品在第個(gè)樣品品處進(jìn)行的二二段分割的組組內(nèi)離差平方方和記為 （7-7）式中，表示被分分割的樣品數(shù)數(shù)；表示把個(gè)樣品品分為二段；表示以第個(gè)樣樣品為分割點(diǎn)點(diǎn)。上述種分割的組組內(nèi)離差平方方和分別為 在中，當(dāng)時(shí)，則則 假設(shè)當(dāng)時(shí)，達(dá)到到最小，即 則最優(yōu)二段分割割為，其中為最優(yōu)優(yōu)二段分割點(diǎn)點(diǎn)。二、最優(yōu)三段分分割若把個(gè)有序樣品品分為三段，其其中必有兩個(gè)個(gè)分割點(diǎn)。假假設(shè)第和第個(gè)樣品為為分割點(diǎn)，則則三段分割為為 若把三段分割的的組內(nèi)離差平平方和記為：，其中為兩個(gè)個(gè)分割點(diǎn)，則則 顯然，如果有為為最優(yōu)三段分分割，則必為為最優(yōu)二段分分割，否則必必存在另一個(gè)個(gè)最優(yōu)二段分分割，使 這與為最優(yōu)三段段分割相矛盾盾。因此，如如果

7、對(duì)個(gè)有序序數(shù)據(jù)進(jìn)行最最優(yōu)三段分割割，必須對(duì)任任意一個(gè)，即即前個(gè)數(shù)據(jù)先先求出其最優(yōu)優(yōu)二段分割，為為 若 則前個(gè)樣品的最最優(yōu)二段分割割與構(gòu)成一個(gè)個(gè)三段分割。最最后，找出一一個(gè)適當(dāng)?shù)?，如如，使?則為個(gè)樣品的最最優(yōu)三段分割割，其中和為最優(yōu)三段段分割點(diǎn)。三、最優(yōu)段分割割 若對(duì)個(gè)有序樣品品數(shù)據(jù)進(jìn)行最最優(yōu)段分割，可可先找出個(gè)樣樣品的最優(yōu)段段最優(yōu)分割，即即 從而得與構(gòu)成段段分割，但不不一定是最優(yōu)優(yōu)段分割?？蛇x擇一個(gè)個(gè)適當(dāng)?shù)模缛鐣r(shí)，使得可得最優(yōu)段分割割為，其中為最優(yōu)優(yōu)段分割點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)指出，分割割的段數(shù)一直直可做到所要要求的段數(shù)為止；或者可以預(yù)預(yù)先給定一個(gè)個(gè)小正數(shù)，使段分割的的組內(nèi)離差平平方和后為止。這樣得得出

8、的就是最后的分割割的段數(shù)。由由圖所示，組組內(nèi)離差平方和是是隨分段段數(shù)數(shù)的增加而單單調(diào)地減少。所以當(dāng)時(shí)時(shí)，組內(nèi)離差差平方和。因此，可根據(jù)據(jù)組內(nèi)離差平方和隨段數(shù)數(shù)增加而下降降到比較穩(wěn)定定的時(shí)候（即即圖中曲線平緩時(shí)時(shí)）再確定分分段段數(shù)。 第三節(jié) 多元有有序數(shù)據(jù)的最最優(yōu)分割為了分層，有時(shí)時(shí)需要匯集樣樣品更多的信信息，采用多多個(gè)變量指標(biāo)標(biāo)。例如，采采集個(gè)有序樣品，每每個(gè)樣品測(cè)得得個(gè)變量，原原始數(shù)據(jù)可構(gòu)構(gòu)成一個(gè)階矩矩陣，為 在多變量情況下下，人們自然然會(huì)聯(lián)想到是是否能將單元元有序數(shù)據(jù)最最優(yōu)分割原理理引申到多元元數(shù)據(jù)中來(lái)，以以此對(duì)個(gè)有序序樣品進(jìn)行分分割，一般最最簡(jiǎn)單有效的的辦法就是把把一段樣品多多個(gè)變量合并

9、并為一個(gè)變量量來(lái)處理，統(tǒng)統(tǒng)一定義“段直徑”。但是，為為了使不同變變量間具有共共同的數(shù)據(jù)基基礎(chǔ)，事先要要對(duì)各個(gè)變量量進(jìn)行數(shù)據(jù)規(guī)規(guī)范化處理，如如使數(shù)據(jù)作正正規(guī)化變換。原原始數(shù)據(jù)矩陣陣中元素記為為：，則正規(guī)規(guī)化數(shù)據(jù)為 （77-8）得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩矩陣 根據(jù)正規(guī)化數(shù)據(jù)據(jù)，將樣品段段的段直徑定定義為 （7-9）式中 （7-100）若個(gè)有序樣品分分為段，每段段內(nèi)有個(gè)樣品品，則多元有有序數(shù)據(jù)最優(yōu)優(yōu)分割的原理理與單元有序序數(shù)據(jù)最優(yōu)分分割一樣，使使組內(nèi)離差平平方和 (7-11)應(yīng)當(dāng)指出，樣品品的段直徑除除了用式（77-9）定義義外，還可用用其他方法定定義。如用樣樣品數(shù)據(jù)絕對(duì)對(duì)值距離來(lái)定定義，即 ( 77-12)也

10、可用其他度量量空間的距離離來(lái)定義。第四節(jié) 最優(yōu)優(yōu)分割法的計(jì)計(jì)算步驟數(shù)據(jù)正規(guī)化 設(shè)原始數(shù)據(jù)陣為為 將中的元素變換換為 得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩矩陣 計(jì)算段直徑矩陣陣 其中 因?yàn)?故必須計(jì)算個(gè)，得得 計(jì)算全部分割的的組內(nèi)離差平平方和（或段段直徑和）及及各種分段的的最優(yōu)分割最優(yōu)二段分割 由矩陣對(duì)對(duì)每一個(gè)計(jì)算算相應(yīng)的組內(nèi)內(nèi)離差平方和和，為 找出最小值，確確定相應(yīng)的最最優(yōu)二段分割割點(diǎn)，即 分割點(diǎn)為。從而而得到個(gè)樣品品的最優(yōu)二段段分割為，其中為最優(yōu)二二段分割點(diǎn)。 2） 最優(yōu)三段分分割 根據(jù)據(jù)矩陣及最優(yōu)優(yōu)二段分割結(jié)結(jié)果，對(duì)每一一個(gè)計(jì)算相應(yīng)的三段段分割的組內(nèi)內(nèi)離差平方和和，為 然后求出最小值值，并確定相相應(yīng)的最優(yōu)三三段

11、分割點(diǎn)，為為 從而得到個(gè)樣品品的最優(yōu)三段段分割為，其中，為最優(yōu)優(yōu)三段分割點(diǎn)點(diǎn)。3）最優(yōu)段分割割 根據(jù)矩矩陣及最優(yōu)段分割割計(jì)算結(jié)果，對(duì)對(duì)于每一個(gè)分分別計(jì)算相應(yīng)應(yīng)的段分割的的組內(nèi)離差平平方和，為 找出最小值，并并確定相應(yīng)的的最優(yōu)段分割割點(diǎn)，即 從而得到個(gè)樣品品的最優(yōu)段分割割為，其中，為最最優(yōu)段分割點(diǎn)點(diǎn)。繪制曲線在曲線上，選擇擇曲線拐點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)的值（取取整）作為最最終分段數(shù)。例71 某煤礦所采采煤層的煤質(zhì)質(zhì)牌號(hào)為主焦焦煤，在煤巷巷中見(jiàn)一火成成巖墻侵入煤煤層，致使煤煤質(zhì)發(fā)生變化化，為弄清楚楚煤質(zhì)變化情情況，從火成成巖附近每隔隔m依次取一一煤樣，獲得得個(gè)有序煤樣樣的鏡煤最大大反射率數(shù)據(jù)據(jù)為 試進(jìn)行最優(yōu)分割

12、割。此樣本最可能分分割法共有種種，今要在這這種分割中找找出一種最優(yōu)優(yōu)的分割（類類內(nèi)差別小，類類間差別大）。其其作法如下：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行行正規(guī)化變換換后得正規(guī)化化數(shù)據(jù)，為 計(jì)算段直徑矩陣陣,即 最優(yōu)二段分割。由由對(duì)于時(shí)，計(jì)算算 當(dāng)時(shí)，則 其中 當(dāng)時(shí)，則 其中 當(dāng)時(shí)，則則 其中 當(dāng)時(shí)，則 其中 當(dāng)時(shí)，則則 從而得到個(gè)樣品品的最優(yōu)二段段分割為。其其中，為分割割點(diǎn)。最優(yōu)三段分割。即即對(duì)于時(shí)，計(jì)計(jì)算 當(dāng)時(shí)，則 其中 分割點(diǎn)為： 。當(dāng)時(shí)，則 其中 其分割點(diǎn)為： 。當(dāng)時(shí)，則 其中 其分割點(diǎn)為： 。 從而而得到個(gè)樣品品的最優(yōu)三段段分割為：。最優(yōu)四段分割。 即對(duì)于時(shí)，計(jì)計(jì)算 當(dāng)時(shí)，則 其中 其分割點(diǎn)為：。 當(dāng)時(shí)，則則 其中 則分割點(diǎn)為：。 當(dāng)時(shí)，則則 即 則分割點(diǎn)為：。故得最優(yōu)四段分分割為：。最優(yōu)五段分割。 即對(duì)于時(shí)時(shí)，計(jì)算 當(dāng)時(shí)，則 其中 故其分割點(diǎn)為：。從而得到到個(gè)樣品的五五段最優(yōu)分割割為：。 當(dāng)時(shí)，則則 其中 則其分割點(diǎn)為：。由組內(nèi)離差平方方和與分段段段數(shù)的關(guān)系圖圖