高中數學教學與信息技術整合的探索

1、PAGE PAGE 20高中數學教學與信息技術整合的探索記數學教學“整合”實驗二例浙大附中 陳金康 姚綺一、問題的提出出隨著社會資源信信息化進程的的推進，中學學的數學教學學呈現(xiàn)了一個個新的領域數學教學學與信息技術術的整合。學生是學習的主主體，在數學學學習中，有有算式，算理理的運算與推推理，有對事事物的數量、形形狀、運動狀狀態(tài)的分析；還有用數學學概念進行的的“數”“形”的轉化。學生在學習中思思維狀態(tài)要對對很多事物進進行歸納、探探究、驗證。學生在學習中需需要與教師交交流，學生之之間也需要交交流，甚至有有學生之間的的解題比賽。這些操作、思考考與交流中若若與信息技術術整合起來，可可較大地提高高教學的效

2、果果。那么，數學教學學與信息技術術整合需要哪哪些準備呢？整合的教學理念念是什么。整合的教學條件件是什么。二、整合的教學學理念學生是學習的主主體，教師的的主導作用是是構建教學的的情境。讓學學生在一定的的條件下去思思考，操作與與交流。從而而提升學生的的數學素養(yǎng)，科科學素養(yǎng)。就就是說，讓學學生在一種積積極主動的狀狀態(tài)下學習，通通過有目的的的，自覺的數數學思維與操操作學習數學學，成為整合合課的關鍵。而而這種整合主主要依靠教師師的教學整合合設計和教學學過程的調控控，使學生發(fā)發(fā)現(xiàn)數學的內內在規(guī)律，形形成內在聯(lián)系系。達到對數數學本質的理理解和應用。這這就是整合的的全過程。信息技術為創(chuàng)設設這種情境提提供了可能

3、。信息技術為“多多元聯(lián)系表示示”提供了較為為有力的工具具。信息技術為復雜雜、重復的運運算、制圖，提提供了簡潔、快快速的工具?！岸嘣?lián)系表示示“就是使用多多種方法來表表示同一數學學的概念，其其中不同的表表示方法有不不同的側重。在直線與圓位位置關系這這一堂公開課課中：直線與圓相交兩個個公共點直線與圓相切一個個公共點直線與圓相離無公公共點距離d，圓半徑徑r當d=rr時，直線與與圓相切當dr時，直直線與圓相離離直線的平行移動動方程程系數的不同同賦值。在線性規(guī)劃的的應用問題這這堂公開課中中：二元一次不等式式組平面區(qū)域直線方程的斜率率，截距直線的的傾斜角、直直線與y軸的的交點目標函數直線不等式的變化不等等

4、式系數的不不同賦值。學生通過對這些些數學概念內內涵的不同側側重面的理解解與表達，了了解了同一個個數學概念有有“數”與“形”兩種不同的的意義。它可可以幫助學生生把握數學概概念、法則在在不同情況下下的特征。擴擴大了他們思思考的空間，從從而大大地增增強了他們對對事物特征的的理解與把握握。信息技術還為“數學實驗”提供了廣闊闊的天地。在在直線與圓圓位置關系中中，學生可以以用在圓周上上取任意一點點，驗證圓周周上點與直線線的距離d與與圓半徑r的的關系，使學學生掌握“事物是運動動著的”這一重要的的哲學思想。在在線性規(guī)劃劃的應用問題題中同樣學學生可對目標標函數的系數數賦不同的值值來反復探究究哪一條表示示目標函數

5、的的直線能使我我們找到最值值。這種“驗證”與與“探究”使學生慢慢慢提升科學求求證的素養(yǎng)。信信息技術的運運用比只靠紙紙與筆的反復復運算作圖不不知提高了多多少倍的效率率。使“驗證”與“探究”在中學教學學成為一種可可能。信息技術還為師師生、生生交交流提供了一一個舞臺。這這兩堂課教師師可以通過監(jiān)監(jiān)控隨時了解解每位學生操操作的過程，也也為學生之間間互相交流提提供了條件。教教師可以隨時時打開某位學學生操作的顯顯示屏供大家家評價。讓學學生之間互相相借鑒，取長長補短，也能能欣賞與品嘗嘗別人與自己己的學習成果果。信息技術還能使使學習環(huán)境變變得豐富多彩彩。在這兩堂堂課中，很多多學生在“顯示直線”、“顯示平面區(qū)區(qū)域

6、”中采用了自自己喜歡的不不同色彩，使使顯示屏中的的圖線漂亮且且引人注目，大大大提高了學學習的效果。在整合過程中，學學生的數學思思維得到了充充分展示。在在直線與圓圓位置關系這這堂課中，圓圓周上不同點點的驗證，直直線的反復移移動，讓學生生自己總結出出一般的結論論。然后又用用這一般的結結論去解決類類似的其他問問題。歸納、驗驗證一般結論演繹解決具體問問題。這樣的的思維軌跡比比傳統(tǒng)的套用用公式與結論論豐富得多，深深刻得多。這這樣的思維軌軌跡若能不斷斷地演習，能能在提高學生生的科學素養(yǎng)養(yǎng)方面起到極極大的作用。三、整合的教學學條件當然，硬件是一一個必要的條條件，這幾年年教育投入的的加大為學校校在電腦等設設備

7、的配置上上提供了保障障。還有更可可喜的是社會會，特別是家家庭大都配置置了電腦，很很多學生的計計算機操作是是校外學會與與提高的。學學校開設的信信息技術課更更是讓每一位位學生得到了了平等的教育育。但從目前的情況況來看，要把把數學教學與與信息技術整整合起來，對對師資提出了了更高的要求求；教師不僅僅要能熟練地地操作電腦，還還要能很合理理地把數學概概念、法則在在信息技術中中構建多元聯(lián)聯(lián)系的表示，充充分發(fā)揮信息息技術的這個個有力的工具具。譬如，直直線與圓位置置關系與線線性規(guī)劃的應應用問題這這兩堂課中所所使用的幾何何畫板與線性性規(guī)劃模塊要要靠幾位教師師自己去開發(fā)發(fā)肯定是不行行的。最好能能有專門的人人員從事這

8、類類問題的制作作。任何一種教學不不能缺少的是是評價機制。目目前階段我校校的實驗也僅僅僅是初創(chuàng)階階段，只局限限于一些感性性的評價。我我們想在繼續(xù)續(xù)進行整合實實驗的基礎上上深入研究整整合教學的評評價體系。總之，整合教學學的條件是：1、硬件的的配置；2、數數學教學多元元聯(lián)系的構建建與設計；33、基礎軟件件的開發(fā)；44、評價體系系的建立。目前還存在的問問題，教師建建議信息技術術課程也必須須進行配套的的改革。譬如如，一些數學學及其他學科科常用的一些些基本模塊的的使用，如幾幾何畫板等的的使用應該在在信息技術課課程中實施教教學。實際上上整合教學應應該是中學教教學中的系統(tǒng)統(tǒng)工程。還有在整合教學學中師生的情情感

9、交流往往往會顯得比較較缺乏，整合合教學中有機機機對話，人人機對話；缺缺少人與人之之間的情感交交流會使得課課堂缺乏生氣氣和活力。這這也是我們下下階段在實驗驗中有待研究究的一個主要要問題。數學教學與信息息技術的整合合畢竟是大勢勢所趨，不管管困難有多大大，只要有心心去研究肯定定會給中學數數學教學帶來來革命性的變變化。附兩課例：數學教學與信息息技術整合課課例一用幾何畫板板輔助進行直直線與圓位置置關系的教學學一、教學目標：掌握直線與圓的的三種位置關關系及其判定定方法。掌握利用數形結結合解決與直直線、圓有關關問題的思想想方法。會利用“幾何畫畫板”形象地展示示問題，加深深對問題的理理解并探尋解解題的思路。會

10、使用“幾何畫畫板”求解一些簡簡單的數形結結合問題。培養(yǎng)學生觀察、探探究、動手能能力以及發(fā)散散性思維和創(chuàng)創(chuàng)造性思維。二、教學重點、難難點：1、教學重點：如何求解“圓上到直線線距離為a(a0)的的點的個數”問題。解決方法： = 1 * GB3 利用“幾何畫畫板”求解（讓學學生有一個感感性的認識）：作出圓和直直線的圖形，在在圓上取一點點，度量出點點到直線的距距離，然后讓讓點在圓上移移動，觀察滿滿足條件的點點的個數。 = 2 * GB3 利用“幾何畫畫板”探尋解題思思路，通過“幾何畫板”的演示，啟啟發(fā)和引導學學生將問題逐逐漸轉化：點到直線的距離離兩平行直線線間距離圓上一點P到直直線l的距離離的最值問題

11、題過P點的直直線與圓相切切的問題圓上到直線距離離為a(a0)的點的的個數到直線的距距離為a的兩兩條平行線與與圓的交點個個數通過具體問題的的分析、講解解，由學生歸歸納出一般結結論，最后用用于指導具體體問題的操作作。在該問題的解決決過程中，采采用“幾何畫板”求解和常規(guī)規(guī)方法求解相相結合，同時時培養(yǎng)學生的的探索精神、動動手能力和學學生的基本技技能以及解題題能力。教學難點：學生能熟練使用用“幾何畫板”，對于一些些簡單的問題題會設計過程程、尋找思路路并解得答案案。解決方法：事先通過培訓使使學生掌握一一些基本的操操作方法，了了解“幾何畫板”所能解決的的問題。在課課堂上通過例例題的講解和和示范，使學學生對如

12、何將將一個數學問問題中的條件件在“幾何畫板”中呈現(xiàn)出來來，對問題答答案的求解又又可以通過“幾何畫板”中的什么操操作來完成這這整一個過程程有一個清晰晰的認識；然然后在老師的的指導下讓學學生對類似問問題的求解進進行操練并且且不斷深化，使使學生基本掌掌握使用“幾何畫板”求解一些簡簡單的數形結結合問題的方方法和過程。三、教學過程1、直線與圓的的位置關系按直線與圓的交交點個數分：相交（兩個個公共點）、相相切（一個公公共點）、相相離（無公共共點）判別方法（根據據圓心到直線線的距離d與半徑r之間的大小小關系）：相交（dr）2、直線與圓位位置關系的應應用（數形結結合問題）例1、分析 借借助“幾何畫板”，在圓上

13、取取一點P，度度量出它到直直線的距離，通通過動態(tài)演示示，對所求點點的位置給學學生一個直觀觀印象。將點到直線的距距離轉化為兩兩條平行線（過過P點作已知知直線的平行行線）間的距距離，而當兩兩條平行線間間距離最大時時，過P點的的直線與圓剛剛好相切，此此時距離為rr+d（其中中d為圓心到到直線的距離離）。進一步步將結論推廣廣：直線截圓圓所得的劣弧弧上的點到直直線的距離的的最大值為rr-d（該結結論由學生自自己得出）。例1的結論為后后續(xù)應用作了了鋪墊。例2、的點的個個數。分析 利利用“幾何畫板”求解：作出出圓和直線的的圖形，在圓圓上取一點，度度量出點到直直線的距離，然然后讓點在圓圓上動，觀察察滿足條件的

14、的點的個數。另解：到直線的的距離為1/2的點的軌軌跡是兩條平平行線，這兩兩條平行線與與圓的交點就就是滿足條件件的點。（該該結論為利用用常規(guī)方法解解此類型問題題提供了思路路。）鞏固練習（在老老師的指導下下，讓學生自自己利用“幾何畫板”對類似問題題的求解進行行操練，增強強動手能力）： （該練練習由學生作作圖、求解，然然后讓一位同同學演示結果果）將上述問題一般般化，提出：已知圓C與直線線l，討論圓上上到直線距離離為a(a0)的點的的個數。為降低難度，先先考慮問題：已知圓C與與直線l相交交（設直線不不過圓心），圓圓半徑為r，圓心C到直線l的距離為d(d0)，討討論圓上到直直線距離為aa(a0)的點的個

15、數數。CxyOAB考慮到到直線的的距離為a的的點的軌跡是是兩條平行線線，因此這兩兩條平行線與與圓的交點個個數即滿足條條件的點的個個數。制作動動畫，讓兩條條平行線從與與直線l重合合的位置向兩兩側平移，通通過該動畫讓讓學生觀察這這兩條平行線線與圓的交點點個數與a、rr以及d的關關系，最后由CxyOAB當0ar-d時，4個（每段弧弧上各兩個）；當a=r-d時時，3個(其中1個是點B，另兩個點點在優(yōu)弧上)；當r-dar+d時時，0個。通過這一結論的的得出可以有有效地培養(yǎng)學學生的觀察、探探究和歸納總總結的能力。這這一結論又為為我們提供了了利用常規(guī)方方法解決該類類問題的一種種具體操作模模式和求解方方法。作

16、為該方法的一一個具體應用用，再看下面面一個練習： 略略解 滿足足條件的點有有4個。對該問題的討論論我們最先由由一個具體例例子引出，然然后歸納出一一般結論，最最后用于指導導具體問題的的操作，是一一個從歸納到到演繹的過程程。同時該問題又可可以進一步深深化和推廣：當圓與直線線l相切或相離離時，討論圓圓上到直線距距離為a的點的個數數。（此問題題留給學生課課后思考）四、教學特點：該課是對信息技技術與數學課課堂教學相結結合的嘗試，著著重培養(yǎng)學生生利用“幾何畫板”解決數學問問題的能力，并并且兼顧常規(guī)規(guī)的基本技能能的培養(yǎng)。整個教學過程師師生共同完成成，體現(xiàn)學生生自主學習，同同時學會探究究問題，貫徹徹啟發(fā)式教學

17、學，體現(xiàn)以學學生為主體的的教學原則。信息技術與數學學教學整合課課例二用線性規(guī)劃劃作圖模板學學習線性規(guī)劃劃的應用問題題教學目標：掌握用二元一次次不等式表示示平面區(qū)域。學會用線性規(guī)劃劃作圖模板做做簡單的線性性規(guī)劃式題和和簡單的實際際應用問題。了解生活中的線線性規(guī)劃。理解線性規(guī)劃中中“數”和“形”結合的思想想。培養(yǎng)學生探究、動動手的能力和和創(chuàng)造性思維維。教學重點、難點點：教學重點：二元元一次不等式式表示平面區(qū)區(qū)域。解決方法： 1）通過過老師在教師師機上演示用用線性規(guī)劃作作圖模板作圖圖，使得學生生對用二元一一次不等式表表示平面區(qū)域域有個感性的的認識。（同同時，通過老老師演示教學學生如何使用用此作圖工具

18、具） 2）讓學學生利用線性性規(guī)劃作圖模模板自己動手手在電腦上作作圖，進一步步增強對此的的理解。教學難點：把實實際問題轉化化成線性規(guī)劃劃問題，并給給出解答。解決方法：老師先做一個應應用問題給學學生，指出解解決線性規(guī)劃劃應用問題的的一般步驟：根據題意列列表設出變量量，找出目標標函數列出滿足足題意的線性性約束條件（二二元一次不等等式組）用線性規(guī)劃劃作圖模板作作出可行域，得得到目標函數數值。學生自己在教師師題庫中找題題應用。教學準備：線性規(guī)劃作圖模模板，線性規(guī)規(guī)劃教師題庫庫（網上共享享），網絡教教室。教學流程：學習目標朝花花夕拾簡單式題應用問題實踐一刻數學生活作業(yè)教學過程： 1、提出學習目目標：線性規(guī)

19、規(guī)劃簡單式題題應用；線性規(guī)劃實際應應用問題；生活中的線性規(guī)規(guī)劃。2、朝花夕拾：直線劃分平平面區(qū)域： 使學生明明白：二元一一次不等式組組平面區(qū)域域 直線方程的的斜率、截距距直線的傾傾斜角、直線線與y軸的交點 目標函數直直線 不等式的變變化不等式系系數的不同賦賦值 3、 簡單式式題： 實踐一刻：（學學生利用多媒媒體師生互動動平臺和線性性規(guī)劃模板實實踐） 4、應用問題：例：某基金會準準備進行兩種種組合投資，穩(wěn)穩(wěn)健型組合投投資每份是由由金融投資770萬元，房房地產投資990萬元，電電腦投資755萬元組成。進進取型組合投投資每份是由由金融投資440萬元，房房地產投資990萬元，電電腦投資1550萬元組成

20、成。已知每份份穩(wěn)健型組合合投資每年獲獲利25萬元，每每份進取型投投資每年獲利利30萬元，若若可用資金中中，金融資金金不超過2990萬元，房房地產資金不不超過4500萬元，電腦腦資金不超過過600萬元，那那么這兩種組組合投資各投投入多少份，能能使一年獲利利總額最多？分析：先根據題題意列表再設變量，確確定目標函數數用線性規(guī)規(guī)劃作圖模板板作出線性約約束條件表示示下的可行域域用平移直直線的方法找找到目標函數數的最優(yōu)解。再次實踐： 練習：北京華欣公公司計劃在今今年內同時出出售“夜鶯牌多功功能”電子琴和“OK智能型”洗衣機，由由于兩種產品品的市場需求求量非常大，有有多少就能銷銷售多少，因因此該公司要要根據

21、實際情情況（如資金金、勞動力）確確定產品的月月供應量，以以使得總利潤潤達到最大。已已知對這兩種種產品有直接接限制的因素素是資金和勞勞動力，通過過調查，得到到關于兩種產產品有關數據據如下表： 8 6 單位利潤 110 10 110 10 5勞動力(工資） 300 20 30 成本月資金供應量（百元）資金（百元）洗衣機單位產品 所需 電子琴 資金 試問：怎樣確定兩兩種貨的供應應量，才能使使總利潤最大大，最大利潤潤是多少？以上實踐一刻中中實踐具體安安排：分組選題：進入入教師題庫，分分組選題，組組長定題。組內實踐：每位位同學分別實實踐，組長快快速完成后檢檢查組員答題題情況，并確確定同學進行行展示。交流結果：每組組選一位同學學通過互動平平臺用自己的的計算機展示示過程和結果果，其它同學學核對和質疑疑。 5、數學學生活： 遲到所引引起的焦慮可可以規(guī)劃嗎？遲到的經驗似乎乎已成為不少少都市人生活活的一部分。但但對于一個有有責任感的赴赴約者，遲到到始終會引起起焦慮不安的的感覺。利用用線形規(guī)劃（linear programming）把這種焦慮更具體地描繪出來，或許有助改善遲到的情況。 假若AA君和B君互訂以下下的商務約會會協(xié)議：