相似三角形模型分析大全(精)

1、.第一部分 相似三角形知識要點(diǎn)大全知識點(diǎn)1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形解讀：1兩個(gè)圖形相似,其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到2全等形可以看成是一種特殊的相似,即不僅形狀相同,大小也相同3判斷兩個(gè)圖形是否相似,就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同,與其他因素?zé)o關(guān)例1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?大小不一定相同例2下列各組圖形：兩個(gè)平行四邊形；兩個(gè)圓；兩個(gè)矩形；有一個(gè)內(nèi)角80的兩個(gè)等腰三角形；兩個(gè)正五邊形；有一個(gè)內(nèi)角是100的兩個(gè)等腰三角形

2、,其中一定是相似圖形的是_解析：根據(jù)相似圖形的定義知,相似圖形的形狀相同,但大小不一定相同,而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形,而圓、正多邊形、頂角為100的等腰三角形的形狀不唯一,它們都相似答案：知識點(diǎn)2比例線段對于四條線段a,b,c,d ,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,即或a:b=c:d那么這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段解讀：1四條線段a,b,c,d成比例,記作或a:b=c:d,不能寫成其他形式,即比例線段有順序性2在比例式或a:b=c:d中,比例的項(xiàng)為a,b,c,d,其中a,d為比例外項(xiàng),b,c為比例內(nèi)項(xiàng),d是第四比例項(xiàng)3如果比例內(nèi)項(xiàng)是相

3、同的線段,即或a:b=b:c,那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致,但有時(shí)為了計(jì)算方便,a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位,c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以,因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等例3已知線段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求與長度的比,與的單位不同,先統(tǒng)一單位,再求比例4已知a,b,c,d成比例,且a=6cm,b=3dm,d=dm,求c的長度分析：由a,b,c,d成比例,寫出比例式a:b=c:d,再把所給各線段a,b,d統(tǒng)一單位后代入求c知識點(diǎn)3相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等解讀：1正確理解相似多邊形的定義,明確對應(yīng)關(guān)系2明確

4、相似多邊形的對應(yīng)來自于書寫,且要明確相似比具有順序性例5若四邊形ABCD的四邊長分別是4,6,8,10,與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長為30,則四邊形A1B1C1D分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似,且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比,即為,再根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),利用方程思想求出最小邊的長知識點(diǎn)4相似三角形的概念對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀：1相似三角形是相似多邊形中的一種；2應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；3相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣,但大小可以不同；4相似用表示,讀作相似于；5相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比

5、注意：相似比是有順序的,比如ABCA1B1C1,相似比為k,若A1B1C1ABC,則相似比為。若兩個(gè)三角形的相似比為1,則這兩個(gè)三角形全等,全等三角形是相似三角形的特殊情況。若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形相似；若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形不一定全等例6如圖,已知ADEABC,DE=2,BC=4,則和的相似比是多少？點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)嗎？注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：1相似比的順序性,2圖形的識別解：因?yàn)锳DEABC,所以,因?yàn)?所以,所以D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)知識點(diǎn)5相似三角的判定方法定義：對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或其

6、他兩邊的延長線所構(gòu)成的三角形與原三角形相似如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似例7如圖,點(diǎn)D在ABC的邊AB上,滿足怎樣的條件時(shí),ACD與ABC相似？試分別加以列舉分析：此題屬于探索性問題,由相似三角形的判別方法可知,ACD與ABC已有公共角A,要使此兩個(gè)三角形相似,可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件

7、之一時(shí),ACDABC條件一：1=B；條件二：2=ACB；條件三：,即AC2=ADAB知識點(diǎn)6相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等；對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方例8如圖,已知ADEABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7求DE、AE的長；你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似,可得到對應(yīng)邊成例,即例9已知ABCA1B1C1,=,ABC的周長為20cm,面積為40cm2求1A1B1C1的周長；2A1B1C分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解易求出A1B

8、1C1的周長為30cm; A1B1C1的面積第二部分 相似三角形模型分析大全相似三角形判定的基本模型認(rèn)識一A字型、反A字型斜A字型平行 不平行二8字型、反8字型蝴蝶型 平行 不平行三母子型四一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等邊三角形為背景五一線三直角型：雙垂型：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。8字型拓展共享性一線三等角的變形 一線三直角的變形第三部分 相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖,梯形ABCD中,ADBC,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,BECD交CA延長線于E 求證：例2：已知：如圖,ABC中,點(diǎn)E在中線AD上,求證：1； 2ACDA

9、CDEB例3：已知：如圖,等腰ABC中,ABAC,ADBC于D,CGAB,BG分別交AD、AC于E、F求證：相關(guān)練習(xí)：1、如圖,已知AD為ABC的角平分線,EF為AD的垂直平分線求證：2、已知：AD是RtABC中A的平分線,C=90,EF是AD的垂直平分線交AD于M,EF、BC的延長線交于一點(diǎn)N。求證：AMENMD; ND=NCNB3、已知：如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB于D,E是AC上一點(diǎn),CFBE于F。求證：EBDF=AEDB5ACBPDE第25題圖已知：如圖,在RtABC中,C=90,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PDAB,交邊AC于點(diǎn)D點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合,

10、E是射線DC上一點(diǎn),且EPD=A設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為xACBPDE第25題圖1求證：AE=2PE；2求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域；3當(dāng)BEP與ABC相似時(shí),求BEP的面積雙垂型1、如圖,在ABC中,A=60,BD、CE分別是AC、AB上的高求證：1ABDACE；2ADEABC；BC=2ED2、如圖,已知銳角ABC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,ABC和BDE的面積分別是27和3,DE=6,求：點(diǎn)B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,DAE=,已知BD=1,CE=3,求等邊三角形的邊長.2、已知：如圖,在RtABC中,AB=AC

11、,DAE=45求證：1ABEACD；2一線三等角型相似三角形CCADBEF例1：如圖,等邊ABC中,邊長為6,D是BC上動(dòng)點(diǎn),EDF=601求證：BDECFD2當(dāng)BD=1,FC=3時(shí),求BE例2：1在中,點(diǎn)、分別在射線、上點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合,且保持.若點(diǎn)在線段上如圖,且,求線段的長；若,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域；ABCABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD正方形的邊長為如下圖,點(diǎn)、分別在直線、上點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合,且保持.當(dāng)時(shí),求出線段的長.ABCDABABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD5,ABDC21如圖8,P為AD上的一點(diǎn),滿足BPCA求

12、證；ABPDPC求AP的長CCDABP2如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合,且滿足BPEA,PE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q,那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí),設(shè)APx,CQy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí),寫出AP的長例4：如圖,在梯形中,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),以為頂點(diǎn)作,射線交腰于點(diǎn),射線交腰于點(diǎn),聯(lián)結(jié)1求證：；2若是以為腰的等腰三角形,求的長；3若,求的長相關(guān)練習(xí)：1、如圖,在ABC中,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在邊上,且ABCDE 求證：ABCDE 如果,求與的函數(shù)解析式,并寫出自變量的定義域； 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí),試說明ADE是什么三角形,并說明理由 2、如

13、圖,已知在ABC中, AB=AC=6,BC=5,D是AB 上一點(diǎn),BD=2,E是BC 上一動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,并作,射線EF交線段AC于F1求證：DBEECF； 2當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí),求線段BE的長；3聯(lián)結(jié)DF,如果DEF與DBE相似,求FC的長3、已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且BC =6,AB=DC=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) 1如圖,P為BC上的一點(diǎn),且BP=2求證：BEPCPD； 2如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合,且滿足EPF=C,PF交直線CD于點(diǎn)F,同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M,那么當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí),設(shè)BP=,DF=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí),求BP的長EDEDCBA備用圖EDCBAP第25題圖4、如圖,已知邊長為的等邊,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn),以線段為邊向右側(cè)作等邊,直線交直線于點(diǎn),1寫出圖中與相似的三角形；2證明其中一對三角形相似；3設(shè),求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍；4若,試求的面積備用圖備用圖一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)