人教版初中數(shù)學(xué)《全等三角形》中的經(jīng)典模型

1、專題12.4 全等三角形中的經(jīng)典模型【六大題型】【人教版】TOC o 1-2 h u 【題型1 平移模型】 PAGEREF _Toc27379 h 1【題型2 軸對稱模型】 PAGEREF _Toc4328 h 4【題型3 旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Toc15677 h 6【題型4 一線三等角模型】 PAGEREF _Toc28429 h 9【題型5 倍長中線模型】 PAGEREF _Toc16609 h 13【題型6 截長補短模型】 PAGEREF _Toc12942 h 16【知識點1 平移模型】【模型解讀】把ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到DEF與ABC稱為平移型全等三角形，圖

2、，圖是常見的平移型全等三角線.【常見模型】【題型1 平移模型】【例1】（2022義馬市期末）如圖，點A，E，F(xiàn)，B在直線l上，AEBF，ACBD，且ACBD，求證：ACFBDE【變式1-1】（2022曾都區(qū)期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，ABDE，ACDF老師說：還添加一個條件就可使ABCDEF下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BECF，乙：添加ACDF，丙：添加AD（1）甲、乙、丙三個同學(xué)的說法正確的是 ；（2）請你從正確的說法中，選取一種給予證明【變式1-2】（2022春東坡區(qū)校級期末）如圖，ABC中，AB13cm，BC11cm，AC6cm，點E是BC邊的中點，點D在AB邊上，

3、現(xiàn)將DBE沿著BA方向向左平移至ADF的位置，則四邊形DECF的周長為 cm【變式1-3】（2022富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，ABCD，DEAF，且DEAF，求證：AFCDEB如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由【知識點2 軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】 【題型2 軸對稱模型】【例2】（2022安丘市期末）如圖，已知ACFDBE，且點

4、A，B，C，D在同一條直線上，A50，F(xiàn)40（1）求DBE各內(nèi)角的度數(shù)；（2）若AD16，BC10，求AB的長【變式2-1】（2022隴縣一模）如圖，在ABC中，已知CDAB于點D，BEAC于點E，DCBEBC求證：ADAE【變式2-2】（2022句容市期末）如圖，已知AODBOC求證：ACBD【變式2-3】（2022海珠區(qū)校級期中）如圖，PBAB，PCAC，PBPC，D是AP上一點求證：BDPCDP【知識點3 旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模

5、型】 【題型3 旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（2022環(huán)江縣期中）如圖，ABAE，ABDE，170，D110求證：ABCEAD證明：170， （ ）又D110， （ ）ABDE， （ ）在ABC和EAD中，(ABCEAD（AAS）【變式3-1】（2022春濟南期末）如圖1，ABE是等腰三角形，ABAE，BAE45，過點B作BCAE于點C，在BC上截取CDCE，連接AD、DE并延長AD交BE于點P；（1）求證：ADBE；（2）試說明AD平分BAE；（3）如圖2，將CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說明理由【變式3-2】（2022高港區(qū)校級月考）已知，如圖，AD、BF相交于

6、O點，點E、C在BF上，且BEFC，ACDE，ABDF求證：（1）AODO；（2）ACDE【變式3-3】（2022錦州模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（圖1），ABD不動（1）若將ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MBMC（2）若將圖1中的CE向上平移，CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）中，若CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由【知識點4 一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴

7、BDDE，ABAC，CEDE，那么一定有B=CAE. 【題型4 一線三等角模型】【例4】（2022春香坊區(qū)期末）已知，在ABC中，ABAC，D，A，E三點都在直線m上，且DE9cm，BDAAECBAC（1）如圖，若ABAC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為 BDAE，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為 CEAD；（2）如圖，判斷并說明線段BD，CE與 DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，若只保持BDAAEC，BDEF7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）是否存在x，使得ABD與EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不

8、存在，請說明理由【變式4-1】（2022東至縣期末）如圖，在ABC中，ABAC，D、A、E三點都在直線m上，并且有BDAAECBAC，若DE10，BD3，求CE的長【變式4-2】（2022春歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過BCA定點C的一條直線，CACB，E、F分別是直線CD上兩點，且BECCFA（1）若直線CD經(jīng)過BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，若BCA90，90，例如圖1，則BE CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如圖2，中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過BCA外部，且BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（

9、不需要證明）【變式4-3】（2022余杭區(qū)月考）如圖，點B、C在MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在MAN內(nèi)部的射線AD上，1、2分別是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求證：ABECAF應(yīng)用：如圖，在ABC中，ABAC，ABBC，點D在邊BC上，且CD2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上12BAC，若ABC的面積為15，求ABE與CDF的面積之和【知識點5 倍長中線模型模型】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法【常見模型

10、】 【題型5 倍長中線模型】【例5】（2022秋博興縣期末）如圖，BD是ABC的中線，AB6，BC4，求中線BD的取值范圍【變式5-1】（2022涪城區(qū)校級月考）如圖，在ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BEAC，BE的延長線交AC于F，求證：AEFEAF【變式5-2】（2022浠水縣校級模擬）（1）在ABC中，AD為ABC的中線，AB6，AC4，則AD的取值范圍是 ；（2）如圖，在ABC中，AD為ABC的中線，點E在中線AD上，且BEAC，連接并延長BE交AC于點F求證：AFFE【變式5-3】（2022丹陽市期中）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起

11、活動吧【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是ABC的中線，延長AD至點E，使EDAD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形 【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是DEF的中線，若EF5，DE3，設(shè)EPx，則x的取值范圍是 （3）已知：如圖3，AD是ABC的中線，BACACB，點Q在BC的延長線上，QCBC，求證：AQ2AD【知識點6 截長補短模型】【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長，指在長線段中截取一段等于已知線段;補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程【題型6 截長補短模

12、型】【例6】（2022秋西崗區(qū)期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在ABC中，AD平分BAC，ABC2C求證：ACAB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AEAB，連接DE，可以得到全等三角形，進而解決問題方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BEBD，連接DE，可以得到等腰三角形，進而解決問題（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明ACAB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法，解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EAED，DCB2B，DAE+B90，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【變式6-1】（2022蘄春縣期中）已知：如圖，在ABC中，ABC60，ABC的角平分線AD、CE交于點O求證：ACAE+CD【變式6-2】（2022新?lián)釁^(qū)校級月考）如圖，四邊形