導(dǎo)數(shù)和矢量運算_第1頁
導(dǎo)數(shù)和矢量運算_第2頁
導(dǎo)數(shù)和矢量運算_第3頁
導(dǎo)數(shù)和矢量運算_第4頁
導(dǎo)數(shù)和矢量運算_第5頁
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文檔簡介

1、關(guān)于導(dǎo)數(shù)和矢量運算第1頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、定積分微分和積分是對立面的統(tǒng)一。1.1.4 積分例 物體作勻速直線運動,路程速度時間,即sv t 。在 v-t 圖中,路程 s 為陰影的面積。第2頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三例 若物體作變速直線運動,速度vv(t ) , 可以把 t 分成許多均等小段t ,只要t 充分小,每段時間中的速率近似看成是不變的,把各小段時間內(nèi)走過的路程相加,即近似為總路程,曲折的梯形曲線下的面積即近似為總路程。當(dāng) 時 , 右邊的極限值就是所求總路程:第3頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,

2、星期三上式可用積分形式表達(dá):定積分的上、下限、被積函數(shù)、積分變量即定積分形式。定積分的一般形式:幾何意義: 從 0 到 t 這段時間中v (t ) 曲線下的面積。第4頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三二、基本定理如果被積函數(shù) f (x) 是某一個函數(shù) (x) 的導(dǎo)數(shù), f (x) (x),則在 xa 到 xb 區(qū)間內(nèi) f (x) 對x 的定積分等于 (x) 在這區(qū)間內(nèi)的增量。 (x) 稱為原函數(shù) 積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算第5頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三求解例找 的原函數(shù):因為 故:三、不定積分不定積分是不定出上、下限的積分,可寫成第6頁,共41頁

3、,2022年,5月20日,22點37分,星期三式中C 為常量,可根據(jù)具體問題所給的條件定出此常量已知曲線的切線斜率為 若曲線經(jīng)過點 求此曲線方程 。例(1) 求曲線方程 ;解(1) 設(shè)曲線方程為 已知故第7頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三不同的C 對應(yīng)不同的曲線。曲線經(jīng)過點 把 代入曲線方程, 則曲線方程為:第8頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三四、基本積分公式第9頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、矢量定義二、矢量的合成附錄 1.2 矢量第10頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、矢量定義 物

4、理量可以按其是否具有空間方向性來分類。 矢量的大小 矢量的模 模等于 1 的矢量 單位矢量 需要以大小和方向表示的物理量 矢量, 如:速度、加速度、力。 只有大小而無方向的量 標(biāo)量,如: 溫度、質(zhì)量、體積。第11頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三用圖表示矢量 用有向線段表示:長度表示其大小,箭頭表示其方向。矢量平移時大小和方向不變。第12頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三二、矢量的合成1. 三角形法則:余弦定理 幾何關(guān)系 第13頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三若兩個以上的矢量相加 所有的矢量首尾相連第14頁,共41頁,2

5、022年,5月20日,22點37分,星期三2. 解析法將矢量沿直角坐標(biāo)軸分解,各分矢量叫分量 只需用帶正號或負(fù)號的代數(shù)值表示 第15頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三三、矢量的標(biāo)積(點乘)兩矢量相乘得到一個標(biāo)量 標(biāo)積。其定義為:投影第16頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三根據(jù)標(biāo)積定義 推論:(3) 若 兩矢量垂直 (4) 直角坐標(biāo)系的單位矢量 具有正交性第17頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三四、矢量的矢積(叉乘)兩矢量相乘得到一個矢量 矢積。寫成:若 則根據(jù)矢積定義 推論: 規(guī)定:若 則第18頁,共41頁,2022年,5

6、月20日,22點37分,星期三五、矢量的導(dǎo)數(shù)設(shè)矢量 為時間t 的函數(shù),規(guī)定其對時間的導(dǎo)數(shù)為:在直角坐標(biāo)中, 為常矢量 第19頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一般情況下有以下性質(zhì):第20頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三六、矢量的積分一般采用直角坐標(biāo)分量式計算。 矢量的線積分:矢量的面積分,就是計算矢量通過曲面的通量N :在正法線方向的分量第21頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、函數(shù)有兩個互相聯(lián)系的變量 x 和y ,每當(dāng)x 取了某一數(shù)值后,按照一定的規(guī)律就可以確定 y 的值,就稱 y 是 x 的函數(shù),記作 yf(x)或

7、 yy(x),x 為自變量, y 叫因變量。 自由落體運動: 物體從離地面為 h0 高度處開始下 落,則物體與地面的距離依賴于時間 t 的規(guī)律是:1.1.1 導(dǎo)數(shù)第22頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三這里t 為自變量,h 為因變量,也可記為:二、極限當(dāng)自變量 x 無限趨于某一數(shù)值 x0 ( 記作x x0 ) 時,函數(shù) f (x) 的數(shù)值無限趨于某一確定的數(shù)值a ,則 a 叫做 x x0 時函數(shù) f (x) 的極限值,記作:第23頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三 在三角函數(shù)中, 當(dāng) x 無限向正向增大時, arctan x 無限接近 ,用極限表

8、示:類似有:三、導(dǎo)數(shù)當(dāng)自變量 x 由一個數(shù)值 x0 變到另一個數(shù)值 x1 時,后者減去前者叫作該自變量的增量,記作函數(shù) xx1x0 .第24頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三增量可正可負(fù),y 與自變量的增量 x 密切相關(guān),兩者之比:稱增量比。與此對應(yīng),因變量 y 的數(shù)值由 y0 f ( x0 ) 變到 y1 f ( x1 ) ,增量為:第25頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三存在,則該極限就稱為函數(shù) f ( x ) 在 x 點的導(dǎo)數(shù),記為 ,f ( x ) 或 y 。定義:如果極限四、導(dǎo)數(shù)的意義(1)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(而不是一個區(qū)間里)的變化率,

9、 物理中的瞬時速度和瞬時加速度即導(dǎo)數(shù)的例子。第26頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三(2) 幾何意義:函數(shù)的曲線上任意一點的切線的 斜率,就是函數(shù)在這一點的導(dǎo)數(shù)值。設(shè)函數(shù) y f (x) ,在曲線上取一點A, A是曲線上另一點,割線AA 和 x 軸的夾角記為。當(dāng)A點沿著曲線趨近于A時,割線AA趨近于某一極限位置 AT,顯然,直線 AT 就是曲線在A點的切線,AT與 x 軸所成的夾角即為變角 的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義第27頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三 曲線上橫坐標(biāo)為x0 的一點A處的切線斜率就 是函數(shù) f ( x ) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)值 f

10、( x0 ) 。第28頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算舉例1.1.2 導(dǎo)數(shù)的運算求解第29頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三求 及解當(dāng) 時,第30頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三二、常用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第31頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三三、導(dǎo)數(shù)運算法則以下設(shè) u,v 為x 的函數(shù),且導(dǎo)數(shù) u,v 存在(1) 和(差)的導(dǎo)數(shù),由極限的加法法則:(2) 積的導(dǎo)數(shù):(3) 商的導(dǎo)數(shù):第32頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三(4) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則

11、,設(shè) yf (v ),v (x) 均有導(dǎo)數(shù),則或求解例1第33頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三求解例2求解例3第34頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三求雙曲線 在任意點的切線斜率。解例4切線斜率為 ,在方程中逐項對 x 求導(dǎo)于是 ,此即曲線在坐標(biāo)為( x , y ) 的點的切線斜率。第35頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三一、微分概念定義:若 f (x) 在x 處有導(dǎo)數(shù),則稱 f (x) dx 為 f (x) 在 x 處的微分,記為dy f (x) dx 。P,C 是曲線上兩點,1.1.3 單變量函數(shù)的微分二、微分的幾何意義函數(shù)微分自變量微分導(dǎo)數(shù) 微商第36頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三根據(jù)微分定義,可直接由導(dǎo)數(shù)公式求微分,相應(yīng)地,微分運算法則與導(dǎo)數(shù)運算法則相同,如:三、微分運算法則(2)(1)函數(shù)在 x 處的微分 dy 就是曲線在 x 點的切線的縱坐標(biāo)的增量。第37頁,共41頁,2022年,5月20日,22點37分,星期三(5) 若 ,則(4)(3)第38頁,共41頁,2

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