蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4知識必備2.2向量的線性運算

1、2.2 向量的線性運算知識梳理一、向量加法1.定義:如圖2-2-1，在平面內(nèi)任取一點A，作=a，=b，則向量叫做向量a與b的和，記作a+b，即a+b=+=.圖2-2-1求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.對于零向量與任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.2.運算律(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量減法與a長度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a.定義:求兩個向量差的運算叫做向量的減法：a-b=a+(-b)，即向量a減去向量b相當(dāng)于加上向量b的相反向量-b.三、向量數(shù)乘1.定義:一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)

2、乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|=|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同,當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；(3)當(dāng)=0時，a=0.2.運算律設(shè)、是實數(shù)，則有：(1)(a)=()a;(結(jié)合律)(2)(+)a=a+a；(第一分配律)(3)(a+b)=a+b.(第二分配律)知識導(dǎo)學(xué)數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，從數(shù)的加法啟發(fā)我們,借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，從而順理成章地接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律.減法運算是加法運算的逆運算，應(yīng)在理解相反

3、向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形作出減向量.通過探究引類比數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，通過畫圖驗證的實驗方法理解向量加法的交換律和結(jié)合律.疑難突破1.向量加法的運算法則.剖析：(1)向量加法的平行四邊形法則：先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就表示這兩個向量的和.如圖2-2-2，以A為起點作向量=a，=b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則以A為起點的對角線就是向量a與b的和，記作向量a+b=.圖2-2-2(2)向量加法的三角形法則：根據(jù)向量加法的定義求向量和的方法，叫向量加法的三角形法則.使用三角形法則特別

4、要注意“首尾相接”.具體做法是：把用小寫字母表示的向量，用兩個大寫字母表示(其中后面向量的起點與其前一個向量的終點重合，即用同一字母來表示)，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的有向線段就表示這些向量的和.簡記“首尾相連，首是首，尾是尾”.如設(shè)a=,b=,c=,則a+b+c=+=.用三角形法則求兩個向量和的步驟是：第一步：將b(或a)平移，使兩個向量的一個起點與另一個終點相連；第二步：將剩下的起點與終點相連，并指向終點，則該向量即為兩向量的和，也就是“作平移，首相連”.注意：三角形法則和平行四邊形法則是向量和的基本方法.但在應(yīng)用上也有講究，求兩個向量和，當(dāng)一個向量的終點為另一個向量的始點

5、時，可用向量加法的三角形法則；而當(dāng)它們始點相同時，可用向量加法的平行四邊形法則.2.向量加法的性質(zhì)特征.剖析:(1)兩個向量的和仍是一個向量.(2)當(dāng)兩個非零向量a與b不共線時，則a+b的方向與a、b的方向都不相同，且|a+b|a|+|b|,這是三角形兩邊之和大于第三邊的向量表示.(3)特殊位置關(guān)系的兩向量的和：向量a與b共線且方向相同時，則a+b的方向與a(或b)的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|,如圖2-2-3(1)；向量a與b反向且|a|b|時,則a+b的方向與b的方向相同(與a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|,如圖2-2-3(2).圖2-2-33.如何從“相反向量”這個角

6、度求作a-b？三角形法則可行嗎？平行四邊形法則呢？剖析：a-b的作法從“相反向量”這個角度有兩種作法：三角形法則和平行四邊形法則.減法的三角形法則作法：(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a，在平面內(nèi)取一點O，作=a,=b,則=a-b，即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量(注意：差向量“箭頭”指向被減向量).具體作法如圖2-2-4(a、b不共線 )和圖2-2-5(a、b共線).圖2-2-4圖2-2-5減法的平行四邊形法則作法：當(dāng)a、b不共線時，如圖2-2-6(1)中，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=-b，則由向量加法的平行四邊形法則可得=a+(-b)=a-b，這是向量減法的平行四邊形法則.若a、b同向共線，如圖2-2-6(2)；若a、b異向共線，如圖2-2-6(3).圖2-2-64.向量數(shù)乘的幾何意義.剖析：(1)對于向量a(a0)、b，如果有一個實數(shù)，使b=a，那么由向量共線的定義知向量a與b共線；已知向量a與b共線，a0，且向量b的長度是向量a的長度的倍，即|b|=|a|，那么當(dāng)a與b同方向時，有b=a，當(dāng)a與b反方向時，有b=-a.(2)判斷向量a(a0)與b是否共線的方法：判斷是否有且只有一個實數(shù)，使得b=