數學建模中綜合評價模型(改進)課件

1、綜合評價方法及其應用一、什么是綜合評價問題近年競賽題全國研究生數學建模競賽題目：（1）2011-C題：對小麥發(fā)育后期莖稈抗倒性問題的研究（2）2011-D題：房地產行業(yè)的數學模型（3）2013-D題：空氣中 PM2.5 問題的研究（4）2013-E題：中等收入定位與人口度量模型研究（5）2014-D題：人體營養(yǎng)健康角度的中國果蔬發(fā)展戰(zhàn)略研究全國大學生數學建模競賽題目：（6）2012年-A題:葡萄酒質量的評價（7）2012年-B題:碎紙片拼接復原問題（8）2013年-A題：車道被占用對城市道路通行能力的影響1、綜合評價的目的綜合評價一般表現為以下幾類問題：。分類對所研究對象的全部個體進行分類，但

2、不同于復合分組（重疊分組）；。比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基礎上對各小類按優(yōu)劣排序）；?？疾炷骋痪C合目標的整體實現程度（對某一事物作出整體評價）。如小康目標的實現程度、現代化的實現程度。當然必須有參考系。 （2）評價指標 評價指標是反映被評價對象(或系統(tǒng))的運行(或發(fā)展)狀況的基本要素。通常的問題都是有多項指標構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。 一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中每一個分量就是從一個側面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評價的指標體系。 注意到:當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結果就完全依賴于權重

3、系數的取值了，即權重系數確定的合理與否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。 （4）綜合評價模型 對于多指標（或多因素）的綜合評價問題,就是要通過建立合適的綜合評價數學模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據，從而得到相應的評價結果。 （5）評價者 評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權重系數的確定都與評價者有關。 1. 評價指標類型的一致化 極大型指標:總是期望指標的取值越大越好； 極小型指標:總是期望指標的取值越小越好； 中間型指標:總是期望指標的取值既不要太大，

4、也不要太小為好，即取適當的中間值為最好; 區(qū)間型指標:總是期望指標的取值最好是落在某一個確定的區(qū)間內為最好。 - 定性指標二、評價指標的規(guī)范化處理 1.2 將居中型化為極大型對于居中型指標1.4 定性指標的量化處理方法 在實際中，很多問題都涉及到定性，或模糊指標的定量處理問題。 諸如:教學質量、科研水平、工作政績、人員素質、各種滿意度、信譽、態(tài)度、意識、觀念、能力等因素有關的政治、社會、人文等領域的問題。 如何對有關問題給出定量分析呢？按國家的評價標準,評價因素一般分為五個等級，如A，B，C，D，E。 如何將其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？ 根據實際問題，構造模糊隸屬函數的量

5、化方法是一種可行有效的方法。 2. 評價指標的無量綱化 如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評價過程中就會出“大數吃小數”的錯誤結果，從而導致最后得到錯誤的評價結論。 無量綱化處理又稱為指標數據的標準化,或規(guī)范化處理。 常用方法:標準差方法、極值差方法和功效系數方法等。 1、 2013數學建模B題中碎紙片拼接中的紙片匹配指標 運用最小二乘法，將最新確定位置的右側邊緣灰度值與剩下碎片的左側邊緣灰度值進行比對，將相似度最高即（Match值最小）的待排碎片放在已知碎片的右邊。依照上述方法直到將所有碎片拼接完畢。 方法一：方法二： 是一個在區(qū)間 上變動的指標，當收入分配完全是均勻分配時，不存在

6、兩極分化的情況，此時 ；而當中間收入人群為零時，即形成完全的兩極分化時， ，為此本文考慮另一種特殊的情形，即中間收入人口所占比例為50%，變異系數為 0.5 時， 。自此，本文界定 時，兩極分化程度比較輕，而當 時，兩極分化程度比較高。其中 為收入均值， 為收入的標準差，P為基于收入的人口分布， 為兩極分化衡量指標。 從視頻1和視頻2的圖像，可以看出交通事故期間，交通事故橫截面出實際通行能力波動明顯，且沒有明顯的線性或者其他類似規(guī)律，數據可能具有正態(tài)分布特性。因此，利用得到的實際通行能力數據，作正態(tài)檢驗。利用spss軟件作正態(tài)檢驗，發(fā)現正態(tài)性明顯。因此，可以認為題中交通事故橫截面處實際交通能力

7、服從正態(tài)分布。實際交通能力差異度： 以正態(tài)擬合得到的均值作為實際交通能力的大小，則下式成立： 實際交通能力的差異程度定義如下：P值越大反應發(fā)生事故的車道位置對實際交通能力的影響很大。3、2013數學建模A題中事故處橫斷面實際通行能力影響差異差異度： 為了說明事故處橫斷面實際交通能力總的影響差異，定義差異度B，如下所示：式中的 為實際交通能力和穩(wěn)定性的偏好系數。綜上所述，得到如下事故處橫斷面實際通行能力影響差異模型：問題:如何來構造合適的綜合評價模型？ 四、綜合評價模型的建立方法 線性加權綜合法的適用條件:各評價指標之間相互獨立。 對于不完全獨立的情況采用該方法，其結果將導致各指標間信息的重復，

8、使得評價結果不能客觀地反映實際。 1. 線性加權綜合法 2. 非線性加權綜合法 主要特點:（1）對數據要求較高，指標數值不能為0、負數，（2）乘除法容易拉開評價檔次，對較小數值的變動更敏感。適用條件： 各指標間有較強關聯性 。 3. 逼近理想點（TOPSIS）方法 模糊綜合評價方法是模糊數學中應用的比較廣泛的一種方法，對一些具有模糊概念的系統(tǒng)（評價對象），在進行評價時很難給出確切的表達，對受多種因素影響的事物做出全面評價的一種十分有效的多因素決策方法，其特點是評價結果不是絕對地肯定或否定，而是以一個模糊集合來表示。4、模糊綜合評價法5、層次分析模型 層次分析法是將與決策總是有關的元素分解成目標

9、、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。6、動態(tài)加權綜合評價方法 2005年中國大學生數學建模競賽的A題：“長江水質的評價和預測”問題的第一部份給出了17個觀測站（城市）的最近28個月的實際檢測指標數據，包括反映水質污染程度的最主要的四項指標：溶解氧（DO）、高錳酸鹽指數（CODMn）、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求綜合這四種污染指標的28個月的檢測數據對17個城市的水質情況做出綜合評價。 6.1 動態(tài)加權綜合評價問題的提法 根據國標（GB 38382002）的規(guī)定，關于地表水的水質可分為類、類、類、類、類、劣類共六個類別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區(qū)間

10、），只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所以實際中不同類別的水質有很大的差別，而且同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別。 在對17個城市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指標值不同類別水的“質的差異”和同類別水的“量的差異”,在此簡稱為“質差”和“量差”。因此，這是一個較復雜的多因素多屬性的綜合評價問題。 根據這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決問題的主要過程分三步完成：將各評價指標作標準化處理；根據各屬性的特性構造動態(tài)加權函數；構建問題的綜合評價模型，并做出評價。 實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就

11、需要根據不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指標變換成統(tǒng)一的、無量綱的標準化指標。 6.2 動態(tài)加權綜合評價的一般方法 6.2.1 評價指標的標準化處理 考慮到評價指標的“質差”與“量差”的關系，在確定綜合評價指標時，既要能體現不同類型指標之間的差異，也要能體現同類型指標的數量差異。 根據實際問題具體取什么樣的動態(tài)加權函數，主要是從實際問題出發(fā)分析確定。 對于不同的指標可以取相同的權函數，也可以取不同的權函數。 6.2.2 動態(tài)加權函數的設定 6.3 綜合評價模型的構建 五、長江水質的綜合評價模型 1. 指標數據的標準化處理 2. 動態(tài)加權函數的確定 3.綜合評價指標函數的確定 4.各城市水質的綜合評價 六、動態(tài)加權綜合評價方法的特點 從實際的綜合評價結果可以看出，針對這樣一類多因素多屬性的既包含“質差”又包含“量差”的綜合評價問題，采用動態(tài)加權綜合評價方法使得評價結果科學合理。主要特點有:充分地考慮到了每一個因素每一屬性的所有“差異”的影響和作用;在綜合評價中也充分地體現出了各屬性的“廣泛性”和“民主性”;避免了在一般的綜合評價方法的“一票否決”（即某一指標的劣而導致結果的否定）的不合理性;體現出了綜合評價