第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-課件

1、第十一章圓錐曲線(xiàn)第十一章圓錐曲線(xiàn)第4節(jié) 求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練1.軌跡:一個(gè)點(diǎn)在空間移動(dòng),它所通過(guò)的全部路徑叫做這個(gè)點(diǎn)的軌跡.即:符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形,或者說(shuō),符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合,叫做滿(mǎn)足該條件的點(diǎn)的軌跡.2.求軌跡方程的方法:(1)直接法;(2)定義法;(3)相關(guān)點(diǎn)法;(4)參數(shù)法和交軌法等.3.求軌跡方程注意事項(xiàng):求軌跡方程時(shí),要注意曲線(xiàn)上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,正確進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算是必須具備的基本能力;求出軌跡方程后,容易忽略x的范圍,導(dǎo)致軌跡圖形出錯(cuò).檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行:一是方程的化簡(jiǎn)是否是同解變形;二是是否符合題目的實(shí)際意義.第4節(jié) 求軌跡方程的專(zhuān)題

2、訓(xùn)練1.軌跡:一個(gè)點(diǎn)在空間移動(dòng),它1.直接法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法.【解題規(guī)律】(1)如果動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系,或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá),我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線(xiàn)的軌跡方程.(2)直接法求曲線(xiàn)方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為“建設(shè)限代化(檢驗(yàn))”五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略.如果題目給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步.求出曲線(xiàn)的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.1.直接法:直接將條件翻譯成等式,

3、整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方【例1】 (必修2P118)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】 圓是平面到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合.而確定圓的基本條件為圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為A(a,b)、半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r0).設(shè)M(x,y)為這個(gè)圓上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M滿(mǎn)足的條件是P=M|MA|=r,利用兩點(diǎn)間的距離公式,寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)適合的條件表示為:式兩邊平方,得:(x-a)2+(y-b)2=r2,若點(diǎn)M(x,y)在圓上,由上述推理可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程;反之,點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)適合方程,這就說(shuō)明點(diǎn)M與圓心A的距離為r,即點(diǎn)M在圓心為A的圓上.【例1】 (必修2P118)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

4、. 【解析】【例2】 (2013高考陜西卷文20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線(xiàn)l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程.【變形】 當(dāng)距離關(guān)系常數(shù)不是大于1,而是小于1,或等于1是的情形呢?(對(duì)應(yīng)雙曲線(xiàn),拋物線(xiàn)).(2)(略)【解析】 (1)點(diǎn)M(x,y)到直線(xiàn)x=4的距離,是到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍, 則 兩邊平方可得(x-4)2=4(x-1)2+y2,化簡(jiǎn)得3x2+4y2=12,所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為【例2】 (2013高考陜西卷文20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到2.定義法:如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種特殊曲線(xiàn)(如直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn))的定義或特征,則可根據(jù)

5、定義先設(shè)方程,再求出該曲線(xiàn)的相關(guān)參量,從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解題規(guī)律】 熟悉一些常見(jiàn)的基本曲線(xiàn)的定義是用定義法求曲線(xiàn)方程的關(guān)鍵.(1)圓:在同一平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.(2)橢圓:到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于兩定點(diǎn)的距離)的點(diǎn)的軌跡.(3)雙曲線(xiàn):到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩定點(diǎn)的距離)的點(diǎn)的軌跡.(4)拋物線(xiàn):到定點(diǎn)與定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.2.定義法:如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種特殊曲線(xiàn)(如直線(xiàn)或【例3】 已知點(diǎn)F( ,0),直線(xiàn)l:x=- ,點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn).若過(guò)B垂直于y軸的直線(xiàn)l與線(xiàn)段BF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是( )A.雙曲線(xiàn)B.橢圓

6、C.圓D.拋物線(xiàn)【答案】 D 【解析】 由已知得,|MF|=|MB|.由拋物線(xiàn)定義知,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).【例3】 已知點(diǎn)F( ,0),直線(xiàn)l:x=- 【例4】 (2016年全國(guó)高考,理20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)(略). 【解析】 (1)證明:圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而A(-1,0),|AD|=4,如圖,BEAC,則C=EBD,由AC=AD=r,得D=C,D=EBD,則EB=E

7、D,則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4(定值).由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,|EA|+|EB|=4(定值).由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡是:以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,且2a=4,2c=2,得a=2,c=1,所以點(diǎn)E的軌跡方程為【例4】 (2016年全國(guó)高考,理20)設(shè)圓x2+y2+23.相關(guān)點(diǎn)法(轉(zhuǎn)移代入法):當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)Q是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng).如果相關(guān)點(diǎn)P所滿(mǎn)足某一曲線(xiàn)方程,這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)Q(x,y)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,y0),再把相關(guān)點(diǎn)P(x0,y0)代入已知曲線(xiàn)方程,就把相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程轉(zhuǎn)化為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡

8、的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移代入法.【解題規(guī)律】 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟:(1)設(shè)點(diǎn):設(shè)所求的點(diǎn)(被動(dòng)點(diǎn))坐標(biāo)為(x,y),相關(guān)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))坐標(biāo)為(x0,y0).(2)求關(guān)系式:求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線(xiàn)方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.3.相關(guān)點(diǎn)法(轉(zhuǎn)移代入法):當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)Q是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱(chēng)【例5】 (必修2課本P122例5)線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求AB的中點(diǎn)M的軌跡.【解析】 解題思路:如圖,點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程(x,y).建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就

9、可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件,求出點(diǎn)M的軌跡方程.【例5】 (必修2課本P122例5)線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-4.幾何法:利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì),發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件,然后得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做幾何法.【解題規(guī)律】 求曲線(xiàn)的軌跡方程時(shí),應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線(xiàn)類(lèi)型,從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程,這樣可以減少運(yùn)算量,提高解題速度與質(zhì)量.4.幾何法:利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì),發(fā)現(xiàn)動(dòng)【例7】 已知點(diǎn)A(-3,2)、B(1,-4),過(guò)A、B作兩條互相垂直的直線(xiàn)l

10、1和l2,求l1和l2的交點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】 由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)ABM為直角三角形時(shí),點(diǎn)M的軌跡是以AB為直徑的圓.此圓的圓心即為AB的中點(diǎn)(-1,-1),半徑 可得方程為(x+1)2+(y+1)2=13.故M的軌跡方程為(x+1)2+(y+1)2=13.【例7】 已知點(diǎn)A(-3,2)、B(1,-4),過(guò)A、B作兩【例8】 (2014高考全國(guó)新課標(biāo)卷文20)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求M的軌跡方程;(2)(略).【例8】 (2014高考全國(guó)新課標(biāo)卷文20)已知點(diǎn)P(2,5.參數(shù)法:求軌

11、跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的x、y之間的關(guān)系,則可借助中間變量(參數(shù)),使x、y之間建立起聯(lián)系,然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.【解題規(guī)律】(1)用參數(shù)法求軌跡是高考中常考的重要題型,由于選參靈活,技巧性強(qiáng),也是學(xué)生較難掌握的一類(lèi)問(wèn)題.(2)用參數(shù)法求解時(shí),選用什么變量為參數(shù),要看動(dòng)點(diǎn)隨什么量的變化而變化,一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量,如時(shí)間,速度,距離,角度,有向線(xiàn)段的數(shù)量,直線(xiàn)的斜率,點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.也可以沒(méi)有具體的意義.常見(jiàn)的參數(shù)有:斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等.(3)選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影

12、響,要特別注意消參前后保持范圍的等價(jià)性.(4)多參問(wèn)題中,根據(jù)方程的觀(guān)點(diǎn),引入n個(gè)參數(shù),需建立n+1個(gè)方程,才能消參(特殊情況下,能整體處理時(shí),方程個(gè)數(shù)可減少).5.參數(shù)法:求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的x、y之間的關(guān)系第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-【例10】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿(mǎn)足AOBO(如圖所示).求AOB的重心G(即三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn))的軌跡方程. 【例10】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=x2上異于坐第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-

13、6.交軌法:求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線(xiàn)的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來(lái)得到軌跡方程,這種方法稱(chēng)之交軌法.【解題規(guī)律】 用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí),不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo),只要能消去參數(shù),得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可.交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況.6.交軌法:求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡時(shí),可由方程直接消去參數(shù),或者第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-2.(2009新課標(biāo)文)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩

14、個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程;(2)若P為橢圓C的動(dòng)點(diǎn),M為過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn), =e(e為橢圓C的離心率),求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn).2.(2009新課標(biāo)文)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-3.(必修2課本P124B組2)長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】 解題思路:求軌跡方程要充分挖掘幾何條件,此題中找到了OM= AB這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)由平面幾何的中線(xiàn)定理:在直角三角形AOB中,M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,以a為半徑的圓,其軌跡方

15、程是x2+y2=a2.3.(必修2課本P124B組2)長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)4.已知?jiǎng)訄AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)并且直線(xiàn)l:x=1相切,求動(dòng)圓圓心G的軌跡方程.【解析】 由拋物線(xiàn)的定義知?jiǎng)訄A圓心G的軌跡為拋物線(xiàn),F為焦點(diǎn),直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn),且 =1得p=2,動(dòng)圓圓心G的軌跡方程為y2=4x.4.已知?jiǎng)訄AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)并且直線(xiàn)l:x=1相切,求動(dòng)5.已知ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a,c,b依次構(gòu)成等差數(shù)列,且acb,|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.【解析】 如圖,以直線(xiàn)AB為x軸,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.由題意,a,c,b構(gòu)成等差數(shù)列,2c=a+b,即|CA|+

16、|CB|=2|AB|=4,又|CB|CA|,C的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中,a=2,c=1,b= ,故C的軌跡方程為5.已知ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,第4節(jié)-求軌跡方程的專(zhuān)題訓(xùn)練-7.(2013高考全國(guó)新課標(biāo)卷文理科)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求C的方程;(2)(略).【解析】 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓心P為(x,y),半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+

17、(r2-R)=r1+r2=42.由橢圓的定義可知,曲線(xiàn)C是以M、N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為 的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其軌跡方程為7.(2013高考全國(guó)新課標(biāo)卷文理科)已知圓M:(x+1)8.一動(dòng)圓與圓O:x2+y2=1外切,而與圓C:x2+y2-6x+8=0內(nèi)切,那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是( )A.拋物線(xiàn)B.圓C.橢圓D.雙曲線(xiàn)一支【答案】 D 【解析】 令動(dòng)圓半徑為R,則有 則|MO|-|MC|=2,滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)定義.故選D.8.一動(dòng)圓與圓O:x2+y2=1外切,而與圓C:x2+y2-9.已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過(guò)原點(diǎn)O作圓的弦OA,則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 . 9.已

18、知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過(guò)原點(diǎn)O作圓的弦O10.點(diǎn)M 到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1,則點(diǎn)M 的軌跡方程是 . 【答案】 y2=16x 【解析】 解題思路:點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離小1,意味著點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離與它到直線(xiàn)x+4=0的距離相等.由拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)出點(diǎn)M的軌跡方程.依題意,點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離與它到直線(xiàn)x=-4的距離相等.則點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn)、x=-4為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).故所求軌跡方程為y2=16x.10.點(diǎn)M 到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)x+5=0的距離 11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P 到定點(diǎn)F(1,0

19、)和直線(xiàn)x=3的距離之和等于4,求點(diǎn)P的軌跡方程. 11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P 到定點(diǎn)F(1,0)和直線(xiàn)x=3的距12.(2013高考陜西卷理20)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;(2)(略)【解析】 (1)利用曲線(xiàn)的求法求解軌跡方程,但要注意結(jié)合圖形尋求等量關(guān)系.如圖,設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x,y),由題意,得|O1A|=|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過(guò)O1作O1HMN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn),化簡(jiǎn)得y2=8x(x0).又當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿(mǎn)足方程y2=8x,動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.12.(2013高考陜西卷理20)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)13.已知兩個(gè)定圓O1和O2,它們的半徑分別是1和2,且|O1O2|=4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切,又與圓O2外切,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求動(dòng)圓圓心M 的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn).【解析】 解題思路:求曲線(xiàn)的軌跡方程時(shí),應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線(xiàn)類(lèi)型,從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程,這樣可以減少運(yùn)算量,提高解題速度與質(zhì)量.利用兩圓內(nèi)、外切的充要條件找出點(diǎn)M 滿(mǎn)足