拉格朗日方程的第一積分課件

1、第2節(jié)拉格朗日方程的第一積分第2節(jié)拉格朗日方程的第一積分對于定常約束T0 = 0; T1 = 0動能的結(jié)構(gòu)對于定常約束動能的結(jié)構(gòu)由于主動力有勢：如果系統(tǒng)主動力皆有勢，且拉格朗日函數(shù)L不顯含時間t：廣義能量積分，或廣義能量守恒廣義能量積分由于主動力有勢：如果系統(tǒng)主動力皆有勢，且拉格朗日函數(shù)L不顯含歐拉齊次式定理：拉格朗日函數(shù)可寫為：對于定常約束，有 ， 故機(jī)械能守恒僅是廣義能量守恒的特殊情形。廣義能量積分歐拉齊次式定理：拉格朗日函數(shù)可寫為：對于定常約束，有 如系統(tǒng)中主動力皆有勢，且拉格朗日函數(shù)L不顯含某廣義坐標(biāo)qj：剛體平動和定軸轉(zhuǎn)動時廣義動量的物理意義?V與廣義速度無關(guān)循環(huán)積分pj 廣義動量循

2、環(huán)積分如系統(tǒng)中主動力皆有勢，且拉格朗日函數(shù)L不顯含某廣義坐標(biāo)qj：請思考本題中是否存在循環(huán)積分和廣義能量積分？為什么？請思考本題中是否存在循環(huán)積分和廣義能量積分？為什么？例6 橢圓擺例6 例6 解取x和為廣義坐標(biāo)a). x為循環(huán)坐標(biāo)，存在循環(huán)積分水平方向動量守恒b). L不顯含t，存在廣義能量積分將以上結(jié)果與拉氏方程比較：首次積分就是微分方程積分一次的結(jié)果！機(jī)械能守恒例6 試分析第一積分。OxC例7試分析第一積分。OxC例7例7 解系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為:廣義能量積分為與循環(huán)坐標(biāo)x相對應(yīng)的循環(huán)積分為例7 小車的車輪在水平地面上作純滾動，每個輪子的質(zhì)量為m1，半徑為r，車架質(zhì)量不計。車上有一質(zhì)量彈

3、簧系統(tǒng)，彈簧剛度系數(shù)為k，物塊質(zhì)量為m2。試分析拉格朗日方程的首次積分。例8小車的車輪在水平地面上作純滾動，每個輪子的質(zhì)量為m1，半徑為選取x和xr為廣義坐標(biāo)。廣義能量積分為循環(huán)積分為討論：廣義動量守恒，但動量不守恒。例8 解選取x和xr為廣義坐標(biāo)。廣義能量積分為循環(huán)積分為討論：廣義動半徑為R的圓環(huán)以角速度 勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動，如下圖所示。已知圓環(huán)對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，忽略摩擦力。試分析系統(tǒng)的第一積分。例9半徑為R的圓環(huán)以角速度 勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上取為廣義坐標(biāo)。例9 解取為廣義坐標(biāo)。例9 1. 勻速轉(zhuǎn)動約束為理想約束2. 廣義能量守恒，但機(jī)械能不守恒3. 無外力矩作用情況系統(tǒng)動量矩守恒a). 為循環(huán)坐標(biāo)，存在循環(huán)積分b). L不顯含t，存在能量積分(系統(tǒng)能量守恒)例9 討論1. 勻速轉(zhuǎn)動約束為理想約束系統(tǒng)動量矩守恒a). 為循環(huán)坐例10 二滑塊相對滑動問題分析拉格朗日方程的首次積分例10 二滑塊相對滑例10 解a. 廣義能量積分 T + V = constb. 對x的循環(huán)積分系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)水平方向動量守恒c.聯(lián)立求解得