算法設計與分析基礎習題參考答案

1、習題1.15.證明等式gcd(m,n)=gcd(n,mmodn)對每一對正整數(shù)m,n都成立.Hint:根據除法的定義不難證明:如果d整除u和v,那么d一定能整除uv;如果d整除u,那么d也能夠整除u的任何整數(shù)倍ku.對于任意一對正整數(shù)m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=mmodn=m-qn；顯然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。數(shù)對(m,n)和(n,r)具有相同的公約數(shù)的有限非空集，其中也包括了最大公約數(shù)。故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.對于第一個數(shù)小于第二個數(shù)的一對數(shù)字,歐幾里得算法將會如何處理?該算法在處理這種輸入的過程中,上述情況最多會發(fā)生幾次?Hi

2、nt:對于任何形如0=m0temp2*ax1(-b+sqrt(D)/tempx2(-b-sqrt(D)/tempreturnx1,x2elseifD=0returnb/(2*a)elsereturnnorealrootselse/a=0ifb0returnc/belse/a=b=0ifc=0returnnorealnumberselsereturnnorealroots描述將十進制整數(shù)表達為二進制整數(shù)的標準算法a.用文字描述b.用偽代碼描述解答：a.將十進制整數(shù)轉換為二進制整數(shù)的算法輸入：一個正整數(shù)n輸出：正整數(shù)n相應的二進制數(shù)第一步：用n除以2，余數(shù)賦給Ki(i=0,1,2.)，商賦給n第二

3、步：如果n=0，則到第三步，否則重復第一步第三步：將Ki按照i從高到低的順序輸出b.偽代碼算法DectoBin(n)將十進制整數(shù)n轉換為二進制整數(shù)的算法輸入：正整數(shù)n/輸出：該正整數(shù)相應的二進制數(shù)，該數(shù)存放于數(shù)組Bin1.n中i=1whilen!=0doBini=n%2;n=(int)n/2;i+;whilei!=0doprintBini;i-;9.考慮下面這個算法,它求的是數(shù)組中大小相差最小的兩個元素的差.(算法略)對這個算法做盡可能多的改進.算法MinDistance(A0.n-1)/輸入:數(shù)組A0.n-12/輸出:thesmallestdistancedbetweentwoofitsel

4、ements習題1.3考慮這樣一個排序算法,該算法對于待排序的數(shù)組中的每一個元素,計算比它小的元素個數(shù),然后利用這個信息,將各個元素放到有序數(shù)組的相應位置上去.a.應用該算法對列表60,35,81,98,14,47排序b.該算法穩(wěn)定嗎?c.該算法在位嗎?:a.該算法對列表60,35,81,98,14,47排序的過程如下所示:b.該算法不穩(wěn)定.比如對列表2,2*排序3c.該算法不在位.額外空間forSandCount4.(古老的七橋問題)習題1.41.請分別描述一下應該如何實現(xiàn)下列對數(shù)組的操作,使得操作時間不依賴數(shù)組的長度.a.刪除數(shù)組的第i個元素(1=ib=1(若a=2),顯然,若算法需要n次

5、模運算,則有un=gcd(a,b),un+1=0.我們比較數(shù)列un和菲波那契數(shù)列Fn,F0=1=un,F1=1=uk+1+uk+2,由數(shù)學歸納法容易得到uk=Fn-k,于是得到a=u0=Fn,b=u0=Fn-1.也就是說如果歐幾里得算法需要做n次模運算,則b必定不小于Fn-1.換句話說,若b(1.618)n/sqrt(5),b(1.618)n/sqrt(5),所以模運算的次數(shù)為O(lgb)-以b為底數(shù)=O(lg(2)b)-以2為底數(shù)，輸入規(guī)模也可以看作是b的bit位數(shù)。習題2.27.對下列斷言進行證明:(如果是錯誤的,請舉例)a.如果t(n)O(g(n),則g(n)(t(n)b.0時,(g(n

6、)=(g(n)解:a.這個斷言是正確的。它指出如果t(n)的增長率小于或等于g(n)的增長率，那么g(n)的增長率大于或等于t(n)的增長率由t(n)cg(n)forallnn0,wherec0(1)t(n)g(n)則：cforallnn0b.這個斷言是正確的。只需證明(g(n)(g(n),(g(n)(g(n)。f(n)(g(n),則有：f(n)cg(n)foralln=n0,c0f(n)c1g(n)foralln=n0,c1=c0即：f(n)(g(n)又設f(n)(g(n),則有：f(n)cg(n)foralln=n0,c0f(n)cg(n)c1g(n)foralln=n0,c1=c/0即：

7、f(n)(g(n)8證明本節(jié)定理對于下列符號也成立：a.符號b.符號證明：a。weneedtoproofthatift1(n)(g1(n)andt2(n)(g2(n),thent1(n)+t2(n)(maxg1(n),g2(n)。t1(n)(g1(n)，t1(n)c1g1(n)foralln=n1,wherec10t2(n)(g2(n)，5T2(n)c2g2(n)foralln=n2,wherec20那么，取c=minc1,c2,當n=maxn1,n2時：t1(n)+t2(n)c1g1(n)+c2g2(n)cg1(n)+cg2(n)cg1(n)+g2(n)cmaxg1(n),g2(n)所以以命

8、題成立。b.t1(n)+t2(n)(max(g1(n),g2(n)證明：由大?的定義知，必須確定常數(shù)c1、c2和n0，使得對于所有n=n0，有：c1max(g1(n),g2(n)t1(n)t2(n)max(g1(n),g2(n)由t1(n)(g1(n)知，存在非負整數(shù)a1,a2和n1使：a1*g1(n)=t1(n)=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非負整數(shù)b1,b2和n2使：b1*g2(n)=t2(n)=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+b1*g2(n)=t1(n)+t2(n)=a2*g1(n)+b2*g2(n)c1=min(a1,b1),c2=

9、max(a2,b2)，則C1*(g1+g2)=t1(n)+t2(n)=c2(g1+g2)-(3)不失一般性假設max(g1(n),g2(n)=g1(n).顯然，g1(n)+g2(n)2g1(n)，即g1+g20，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。則（3）式轉換為：C1*max(g1,g2)=t1(n)+t2(n)=n0時上述不等式成立。證畢。切忌算法走的步數(shù)和人真實走的步數(shù)的區(qū)別，算法是不需要走回頭路的。習題2.4解下列遞推關系（做a,b）a.x(n1)5當n1時x(n)x(1)0解：6b.x(n)3x(n1)當n1時x(1)4解：對于計算n!的遞歸算法F(n

10、)，建立其遞歸調用次數(shù)的遞推關系并求解。解：考慮下列遞歸算法，該算法用來計算前n個立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n)/輸入：正整數(shù)n/輸出：前n個立方的和ifn=1return1elsereturnS(n-1)+n*n*n建立該算法的基本操作次數(shù)的遞推關系并求解如果將這個算法和直截了當?shù)姆沁f歸算法比，你做何評價？解：a.76.漢諾塔的非遞歸問題請見繼續(xù)教育算法設計與分析基礎7.a.請基于公式2n=2n-1+2n-1，設計一個遞歸算法。當n是任意非負整數(shù)的時候，該算法能夠計2n的值。建立該算法所做的加法運算次數(shù)的遞推關系并求解為該算法構造一棵遞歸調用樹，然后計算它所做的遞歸調用次

11、數(shù)。對于該問題的求解來說，這是一個好的算法嗎？:a.算法power(n)基于公式2n=2n-1+2n-1,計算2n輸入:非負整數(shù)n輸出:2n的值Ifn=0return1Elsereturnpower(n-1)+power(n-1)c.8nC(n)2i2n11i08.考慮下面的算法算法Min1(A0.n-1)/輸入:包含n個實數(shù)的數(shù)組A0.n-1Ifn=1returnA0ElsetempMin1(A0.n-2)IftempAn-1returntempElsereturnAn-1a.該算法計算的是什么?b.建立該算法所做的基本操作次數(shù)的遞推關系并求解:a.計算的給定數(shù)組的最小值C(n1)1fora

12、lln1C(n)n=1b.09.考慮用于解決第8題問題的另一個算法,該算法遞歸地將數(shù)組分成兩半.我們將它稱為Min2(A0.n-1)算法Min(Ar.l)Ifl=rreturnAlElsetemp1Min2(Al.(l+r)/2)Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r)Iftemp1temp2returntemp1Elsereturntemp2a.建立該算法所做的的操作次數(shù)的遞推關系并求解b.算法Min1和Min2哪個更快?有其他更好的算法嗎?:a.9習題2.54.假設n格梯子有f(n)種方法。則：f(1)=1f(2)=2n2，有：f(n)=（先上一格，再上n-1格的方法數(shù)）+（先上

13、兩格，再上n-2格的方法數(shù)）即f(n)=f(n-1)+f(n-2)所以f(n)是Fibonacci數(shù)列的第n+1項？#includelongfib(intn)if(n=1|n=2)return1;returnfib(n-1)+fib(n-2);main()intn;scanf(%d,&n);printf(%ldn,fib(n+1);return0;習題2.6考慮下面的排序算法,其中插入了一個計數(shù)器來對關鍵比較次數(shù)進行計數(shù).算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個可排序元素的一個數(shù)組A0.n-1/output:所做的關鍵比較的總次數(shù)count0fori1ton-1doA

14、iji-110whilej0andAjvdocountcount+1Aj+1Ajjj+1Aj+1vreturncount比較計數(shù)器是否插在了正確的位置?如果不對,請改正.解:應改為:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n個可排序元素的一個數(shù)組A0.n-1/output:所做的關鍵比較的總次數(shù)count0fori1ton-1doAiji-1whilej=0andAjvdocountcount+1Aj+1Ajjj-1ifj=0count=count+1Aj+1vreturncount7.bgcd（m,n）算法性能最壞情況下為兩個整數(shù)為斐波那鍥數(shù)列,即k時間最長時，最小的整

15、數(shù)對必定為斐波那鍥數(shù)列。我認為埃拉托色尼篩的效率為根號n。gcd(a,b)復雜性估計c=a%b;ca/2;在算法中即表現(xiàn)為n（余數(shù)）每兩次循環(huán)至少減少為原來的一半，所以該算法時間復雜度估算為2logn=O(logn);由于能力有限，更精確復雜的時間復雜度的計算還沒有掌握。在最壞的情況下（如m和n是兩個相鄰的斐波那契數(shù)時）可以稍微改進成1.44logn。歐幾里德算法在平均情況下的性能需要大量篇幅的高度復雜的數(shù)學分析，其迭代的平均次數(shù)約為12ln2lnn）/pi2+1.47。11習題3.1a.設計一個蠻力算法,對于給定的x0,計算下面多項式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并

16、確定該算法的最差效率類型.b.如果你設計的算法屬于(n2),請你為該算法設計一個線性的算法.C.對于該問題來說,能不能設計一個比線性效率還要好的算法呢?:AlgorithmsBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計算多項式p在給定點x的值/輸入:P0.n是多項式按低冪到高冪的常系數(shù),以及定值x輸出:多項式p在給定點x的值p=0.0fori=nto0dopower=1forj=1toidopower=power*xp=p+Pi*powerreturnp算法效率分析:基本操作:兩個數(shù)相乘,且M(n)僅依賴于多項式的階nninn(n1)(n

17、2)M(n)1ii0j1i02thaabovealgorithmsisveryinefficient,becausewerecomputepowersofxagainandagainasiftherewerenorelationshipamongthem.Infact,wecanmovefromthelowesttermtothehighestandcomputexibyusingxi-1.AlgorithmsBetterBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高冪到低冪用蠻力法計算多項式p在給定點x的值/輸入:P0.n是多項式按低冪到高冪的常系數(shù),以及

18、定值x輸出:多項式p在給定點x的值P=P0power=1fori1tondopowerpower*xpp+Pi*powerreturnp基本操作乘法運算總次數(shù)M(n):nM(n)22n(n)1不行.因為計算任意一個多項式在任意點x的值,都必須處理它的n+1個系數(shù).例如:(x=1,p(x)=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法運算)5.應用選擇排序對序列example按照字母順序排序.126.選擇排序是穩(wěn)定的嗎?(不穩(wěn)定)回到主題，現(xiàn)在分析一下常見的排序算法的穩(wěn)定性，每個都給出簡單的理由。冒泡排序冒泡排序就是把小的元素往前調或者把大的元素往后調。比較是相鄰的兩個元素比較，交換也發(fā)生在

19、這兩個元素之間。所以，如果兩個元素相等，我想你是不會再無聊地把他們倆交換一下的；如果兩個相等的元素沒有相鄰，那么即使通過前面的兩兩交換把兩個相鄰起來，這時候也不會交換，所以相同元素的前后順序并沒有改變，所以冒泡排序是一種穩(wěn)定排序算法。選擇排序選擇排序是給每個位置選擇當前元素最小的，比如給第一個位置選擇最小的，在剩余元素里面給第二個元素選擇第二小的，依次類推，直到第n-1個元素，第n個元素不用選擇了，因為只剩下它一個最大的元素了。那么，在一趟選擇，如果當前元素比一個元素小，而該小的元素又出現(xiàn)在一個和當前元素相等的元素后面，那么交換后穩(wěn)定性就被破壞了。比較拗口，舉個例子，序列58529，我們知道第

20、一遍選擇第1個元素5會和2交換，那么原序列中2個5的相對前后順序就被破壞了，所以選擇排序不是一個穩(wěn)定的排序算法。(3)插入排序插入排序是在一個已經有序的小序列的基礎上，一次插入一個元素。當然，剛開始這個有序的小序列只有1個元素，就是第一個元素。比較是從有序序列的末尾開始，也就是想要插入的元素和已經有序的最大者開始比起，如果比它大則直接插入在其后面，否則一直往前找直到找到它該插入的位置。如果碰見一個和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后順序沒有改變，從原無序序列出去的順序就是排好序后的順序，所以插入排序是穩(wěn)定的。(4)快速排序快速排序有兩個方向，左邊

21、的i下標一直往右走，當aiacenter_index。如果i和j都走不動了，ij。交換aj和acenter_index，完成一趟快速排序。在中樞元素和aj交換的時候，很有可能把前面的元素的穩(wěn)定性打亂，比如序列為53343891011，現(xiàn)在中樞元素5和3(第5個元素，下標從1開始)交換就會把元素3的穩(wěn)定性打亂，所以快速排序是一個不穩(wěn)定的排序算法，不穩(wěn)定發(fā)生在中樞元素和aj交換的時刻。歸并排序歸并排序是把序列遞歸地分成短序列，遞歸出口是短序列只有1個元素(認為直接有序)或者2個序列(1次比較和交換),然后把各個有序的段序列合并成一個有序的長序列，不斷合并直到原序列全部排好序?？梢园l(fā)現(xiàn)，在1個或2個

22、元素時，1個元素不會交換，2個元素如果大小相等也沒有人故意交換，這不會破壞穩(wěn)定性。那么，在短的有序序列合并的過程中，穩(wěn)定是是否受到破壞？沒有，合并過程中我們可以保證如果兩個當前元素相等時，我們把處在前面的序列的元素保存在結果序列的前面，這樣就保證了穩(wěn)定性。所以，歸并排序也是穩(wěn)定的排序算法?；鶖?shù)排序基數(shù)排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次類推，直到最高13位。有時候有些屬性是有優(yōu)先級順序的，先按低優(yōu)先級排序，再按高優(yōu)先級排序，最后的次序就是高優(yōu)先級高的在前，高優(yōu)先級相同的低優(yōu)先級高的在前?；鶖?shù)排序基于分別排序，分別收集，所以其是穩(wěn)定的排序算法。(7)希爾排序(shel

23、l)希爾排序是按照不同步長對元素進行插入排序，當剛開始元素很無序的時候，步長最大，所以插入排序的元素個數(shù)很少，速度很快；當元素基本有序了，步長很小，插入排序對于有序的序列效率很高。所以，希爾排序的時間復雜度會比o(n2)好一些。由于多次插入排序，我們知道一次插入排序是穩(wěn)定的，不會改變相同元素的相對順序，但在不同的插入排序過程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移動，最后其穩(wěn)定性就會被打亂，所以shell排序是不穩(wěn)定的。(8)堆排序我們知道堆的結構是節(jié)點i的孩子為2*i和2*i+1節(jié)點，大頂堆要求父節(jié)點大于等于其2個子節(jié)點，小頂堆要求父節(jié)點小于等于其2個子節(jié)點。在一個長為n的序列，堆排序的過程是

24、從第n/2開始和其子節(jié)點共3個值選擇最大(大頂堆)或者最小(小頂堆),這3個元素之間的選擇當然不會破壞穩(wěn)定性。但當為n/2-1,n/2-2,.1這些個父節(jié)點選擇元素時，就會破壞穩(wěn)定性。有可能第n/2個父節(jié)點交換把后面一個元素交換過去了，而第n/2-1個父節(jié)點把后面一個相同的元素沒有交換，那么這2個相同的元素之間的穩(wěn)定性就被破壞了。所以，堆排序不是穩(wěn)定的排序算法。7.用鏈表實現(xiàn)選擇排序的話,能不能獲得和數(shù)組版相同的(n2)效率?Yes.Bothoperationfindingthesmallestelementandswappingitcanbedoneasefficientlywiththel

25、inkedlistaswithanarray.9.a.請證明,如果對列表比較一遍之后沒有交換元素的位置,那么這個表已經排好序了,算法可以停止了.b.結合所做的改進,為冒泡排序寫一段偽代碼.c.請證明改進的算法最差效率也是平方級的.Hints:第i趟冒泡可以表示為:如果沒有發(fā)生交換位置,那么:b.AlgorithmsBetterBubblesort(A0.n-1)/用改進的冒泡算法對數(shù)組A0.n-1排序輸入:數(shù)組A0.n-1輸出:升序排列的數(shù)組A0.n-1countn-1/進行比較的相鄰元素對的數(shù)目flagtrue/交換標志whileflagdoflagfalsefori=0tocount-1d

26、oifAi+1Aiswap(Ai,Ai+1)flagtruecountcount-1c最差情況是數(shù)組是嚴格遞減的,那么此時改進的冒泡排序會蛻化為原來的冒泡排序.1410.冒泡排序是穩(wěn)定的嗎?(穩(wěn)定)習題3.2對限位器版的順序查找算法的比較次數(shù):在最差情況下在平均情況下.假設成功查找的概率是p(0=p=1)Hints:Cworst(n)=n+1在成功查找下,對于任意的I,第一次匹配發(fā)生在第i個位置的可能性是p/n,比較次數(shù)是i.在查找不成功時,比較次數(shù)是n+1,可能性是1-p.本題翻譯有問題，原題類似與：前一段時間看到一道Google的面試題在各大論壇被炒得很火，題目如下：有一個100層高的大廈

27、，你手中有兩個相同的玻璃圍棋子。從這個大廈的某一層扔下圍棋子就會碎，用你手中的這兩個玻璃圍棋子，找出一個最優(yōu)的策略，來得知那個臨界層面。題目雖然看起來簡單，但是仔細想想，此題中蘊含的算法道理以及實用價值還是很值得好好研究一下。石頭在網上也看到了不少熱心朋友的解法（CSDN、ChinaUnix），看過之后感覺還是挺有啟發(fā)的，于是總結一下，主要的算法有以下幾種：等分段求最小值：這種算法先假設把大樓分成等高的x段，這樣在最差的情況下，要確定臨界段，我們需要投擲100/x-1次，確定了臨界段之后要確定臨界層，我們需要再投擲x-1次。這樣，問題就成了求函數(shù)f(x)=(100/x-1)+(x-1)的最小值

28、問題。由于f(x)存在最小值且只有一個駐點，所以當x=10時f(x)取得最小值，最小值為18。假設投擲次數(shù)是均勻分布的，那么為了使最壞情況的投擲數(shù)最小，我們希望無論臨界段在哪里，總的投擲數(shù)都不變（也就是說將投擲數(shù)均勻分布）。這樣我們就可以假設第一次投擲的層數(shù)是f，轉化成數(shù)學模型，可以得到如下方程式f+(f-1)+.+2+1=99，即f(f+1)/2=99的最小整數(shù)解，解出結果等于14。程序算法如下：按結果分析看來，方法一的最小值的確比較?。?0）但是問題是最大值無法確定（比如假設臨界層在第99層則需要仍19下）；而方法二的算法好在能得出一個固定的臨界層值，這樣便于一些問題的處理。總的來說，石頭

29、認為兩種方法各有所長，雖然方法二看起來的確更接近出題者的本意，但是如果將棋子本身破碎的概率也考慮進去就不一定了（當然，一般來說層數(shù)越高破碎的概率應該越大，但是我們試想一下如果假設棋子破碎的幾率是和層數(shù)成反比，那么使用方法一是否會有更好的效果呢？）。然而不管出題者的意圖是什么，我覺得這個題目所引出的數(shù)學模型還是很有實用意義的，特別在一些數(shù)據挖掘應用中。我猜想這些算法是不是與Google數(shù)據庫的技術內幕有什么聯(lián)系呢.前幾天和一個業(yè)內的前輩談起下一代互聯(lián)網的技術趨勢，說到了所謂的算法時代的話題，看來關注一些有趣的算法也不錯呢.不知不覺時間又晚了，還是先休息吧：）6.給出一個長度為n的文本和長度為m的

30、模式構成的實例,它是蠻力字符串匹配算法的一個最差輸入.并指出,對于這樣的輸入需要做多少次字符比較運算.Hints:文本:由n個0組成的文本模式:前m-1個是0,最后一個字符是115比較次數(shù):m(n-m+1)7.為蠻力字符匹配算法寫一個偽代碼,對于給定的模式,它能夠返回給定的文本中所有匹配子串的數(shù)量.AlgorithmsBFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)蠻力字符匹配輸入:數(shù)組T0.n-1長度為n的文本,數(shù)組P0.m-1長度為m的模式輸出:在文本中匹配成功的子串數(shù)量count0fori0ton-mdo0whilejmandPj=Ti+jj+1ifj=mcountcount+1

31、returncount8.如果所要搜索的模式包含一些英語中較少見的字符,我們應該如何修改該蠻力算法來利用這個信.Hint:每次都從這些少見字符開始比較,如果匹配,則向左邊和右邊進行其它字符的比較.習題3.3奇數(shù)派問題：證明如下：容易驗證當n=3時成立；假設n=k時如果成立，那當n=k+2時，k+2個人記為點A1，A2，,，A（k+2），d=min(AiAj),不妨設A（k+1）A（k+2）的距離為d，則A（k+1）和A（k+2）相互是距離最近的點，收到彼此的派：如果A（k+1）和A（k+2）還收到其他人的派，其他k個人至多有k-1個派，利用抽屜原理，其他k個人中必有一個人沒有派；如果A（k+1

32、）和A（k+2）沒有收到其他人的派，其他k個人相互在擲派，利用歸納假設，其他k個人中必有一個沒有派，n=k+2時命題成立。凸包問題找那些x、y坐標最小或者最大的10.該問題可以用下圖表示：16該問題即轉化為把3x+5y這條直線平行移動，越在上面k值越大，即轉為求陰影部分的某個極點。習題3.4注意該題的假設（所以不需要排列組合算法再去生成旅行線路），只需要對每條線路求出最短路徑的長度再比較這些路徑，所以，該問題的基本操作為加法。下面談談排列組合的遞歸和非遞歸算法：（一時興起，與本題無關）全排列的遞歸算法給定數(shù)字1n，輸出從中選出m個數(shù)的排列和組合。為了簡單起見，采用遞歸算法來描述，首先解決排列問

33、題：這個算法不太漂亮，用到了兩個全局變量：intARR=1,2,3,4,5;/用來輸出的全局緩沖區(qū)intPERM_LEN;/排列的長度voidpermutation(intarr,intn,intm)inti;if(m=0)for(i=0;iPERM_LEN;+i)printf(%d,ARRi);printf(n);return;for(i=0;in;+i)17swap(arri,arr0);permutation(arr+1,n-1,m-1);swap(arri,arr0);算法比較簡單，不詳細說明了。組合的遞歸算法voidcomb(intn,intm,intbuff,intcount)if

34、(m=0)/遞歸退出條件,打印回車for(inti=0;icount;+i)printf(%d,buffi);printf(n);return;for(inti=0;i=n-m;+i)buffcount+=n-i;comb(n-i-1,m-1,buff,count);-count;2.假設輸入n個頂點用數(shù)組表示為vn，而輸入的路徑權重用二維數(shù)組t表示找出全排列的一半，即所有排列中只考慮v1在v2前面的排列,假設每種排列存入臨時數(shù)組K，用S寄存最小路徑。對每個排列，執(zhí)行(2)算出排列的路徑長度，如排列為kn，路徑長度為q=tk0,k1+tk1,k2+，如果該長度小于S,則S為q。3根據圖論，連通

35、圖是否具有歐拉回路的充要條件是：G的每一個頂點的度是偶數(shù)。所以，只要判斷鄰接矩陣中每行的和是否是偶數(shù)即可。很容易得到這樣一個分配實例，用它的成本矩陣描述為1229該分配只有兩種方案，1+9或者2+2求出n個正整數(shù)的和K，如K為奇數(shù)，肯定無解。如為偶數(shù)，取K/2。(2)對n個數(shù)進行排序，編號為a1an,最大數(shù)編號為n。子集中元素個數(shù)為1，從an開始找，直到akp）枚舉所有的排列，看看是否有序。窮舉法：枚舉所有的幻方組合，看看是否滿足條件網上幻方制作方法：（Magic_Square.pdf）1）窮舉所有的對應表，按對應表把算式進行對應，如果的確相等，即該算數(shù)對應正確。題中字母共有8個，即所有情況為

36、從10個字母中選出8個，同時SM不能為0，即取時的方法共為9（s不能為0）*8（m不能為0）*8!種。2）見:/wiki/Verbal_arithmetic。ThesolutiontothispuzzleisO=0,M=1,Y=2,E=5,N=6,D=7,R=8,andS=9用回溯法豪無疑問，M肯定為1，而S必定為9，或者8，S為9時，推出o必定為0，就這樣一步步推下去，不行就回溯。19習題4.11.a.為一個分治算法編寫偽代碼,該算法求一個n個元素數(shù)組中最大元素的位置.b.如果數(shù)組中的若干個元素都具有最大值,該算法的輸出是怎樣的呢?c.建立該算法的鍵值比較次數(shù)的遞推關系式并求解.d.請拿該算

37、法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較解:a.AlgorithmsMaxIndex(Al.r)Input:AportionofarrayA0.n-1betweenindiceslandr(lr)Output:TheindexofthelargestelementinAl.rifl=rreturnlelsetemp1MaxIndex(Al.(l+r)/2)temp2MaxIndex(A(l+r)/2.r)ifAtemp1Atemp2returntemp1elsereturntemp2b.返回數(shù)組中位于最左邊的最大元素的序號.c.鍵值比較次數(shù)的遞推關系式:C(n)=C(n/2)+C(n/2)+1for

38、n1C(1)=0設n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1=22C(2k-2)+1+1=22C(2k-2)+2+1=222C(2k-3)+1+2+1=23C(2k-3)+22+2+1=.=2iC(2k-i)+2i-1+2i-2+.+2+1=.=2kC(2k-k)+2k-1+2k-2+.+2+1=2k1=n-1可以證明C(n)=n-1對所有n1的情況都成立（n是偶數(shù)或奇數(shù)）d.比較的次數(shù)相同，但蠻力算法不用遞歸調用。2、a.為一個分治算法編寫偽代碼，該算法同時求出一個n元數(shù)組的最大元素和最小元素的值。b.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較。c.請拿該算法與解同樣問題的蠻力算法做一個比較

39、。解答：a.同時求出最大值和最小值，只需要將原數(shù)組一分為二，再使用相同的方法找出這兩個部分中的最大值和最小值，然后經過比較就可以得到整個問題的最大值和最小值。算法MaxMin(Al.r,Max,Min)/該算法利用分治技術得到數(shù)組A中的最大值和最小值輸入：數(shù)值數(shù)組Al.r輸出：最大值Max和最小值Minif(r=l)MaxAl；MinAl;/只有一個元素時elseifrl=1/有兩個元素時ifAlArMaxAr;MinAlelse20MaxAl;MinArelse/rl1MaxMin(Al,(l+r)/2,Max1,Min1);/遞歸解決前一部分MaxMin(A(l+r/)2.r,Max2,M

40、in2);/遞歸解決后一部分ifMax1Max2Max=Max2/從兩部分的兩個最大值中選擇大值ifMin22C(1)=0,C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=22C(2k-2)+2+2=22C(2k-2)+22+2=222C(2k-3)+2+22+2=23C(2k-3)+23+22+2.=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+.+2/C(2)=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2/后面部分為等比數(shù)列求和=2k-1+2k-2/2(k-1)=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蠻力法的算法如下：算法simpleMaxMin(Al.r)用蠻力法得到數(shù)組A的最大值

41、和最小值輸入：數(shù)值數(shù)組Al.r輸出：最大值Max和最小值MinMax=Min=Al;fori=l+1tordoifAiMaxMaxAi;elseifAibd，由于底決定n的次方，所以不能略。6.應用合并排序對序列E,X,A,M,P,L,E按字母順序排序.221238.a.對合并排序的最差鍵值比較次數(shù)的遞推關系式求解.(forn=2k)b.建立合并排序的最優(yōu)鍵值比較次數(shù)的遞推關系式求解.(forn=2k)c.對于4.1節(jié)給出的合并排序算法,建立它的鍵值移動次數(shù)的遞推關系式.考慮了該算法的鍵值移動次數(shù)之后,是否會影響它的效率類型呢?解:遞推關系式見4.1節(jié).最好情況(列表升序或降序)下:Cbest

42、(n)=2Cbest(n/2)+n/2forn1(n=2k)Cbest(1)=023鍵值比較次數(shù)M(n)M(n)=2M(n/2)+2nforn1M(1)=09修改合并排序，在、C兩個數(shù)組合并時，一但比較時發(fā)現(xiàn)的元素小于C，站在C的角度考慮，C后面的元素都大于B,假設前面的元素都考慮過了，則此處沒有導致情況，假設B的元素大于C，則必定對于C這個元素來說，B前面的所有元素都比C中那個元素小，不形成對置，B后面的所有元素都大于C，則B后面的所有元素與C中被比較的那個元素形成倒置，這些對置形成了包含C中那個元素的所有對置，當B元素和C比較后，C元素指針變?yōu)橄乱粋€元素，這樣，包含C當前指針前面的所有元素

43、的倒置都考慮過了，我們只要考慮C元素后面的情況就可以了，由于對于。舉個例子。一次合并過程中，現(xiàn)在數(shù)組B元素為2389,C元素為1457。這樣假設B和C本身中所含的倒置為b和c，則合并后的C數(shù)組的導致為:s初始為b+c2389145721時倒置為(21)(31)(81)(91)S=S+484時倒置為(84)(94)S=S+285時倒置為(85)(95)S=S+2;87時倒置為(87)(97)S=S+2;s=b+c+1010:/mathdemos/tromino/tromino.html當n=1時，很顯然是成立的，當n=2時，即為4*4的期盤，可以分成4個2*2的期盤，可以分成兩種情況，第一種情況

44、：已填充塊在中間（黃色）24第二種情況：已填充塊在邊上很顯然，n=2時，4*4的塊可以分成4個2*2的塊，而已填充的那1塊必落在4個2*2的某1塊中，設該塊為A，填充的第一步就是在其他三個不包含A塊的2*2塊中各選1塊，形成L型，如上圖第1種情況的的紅色部分或第二種情況的藍色部分，顯然，剩下的部分都能給L填滿。假設n=2K時，含有1塊填充的2k*2k期盤能夠被填滿，則含有n=2（k+1）必定得棋盤能夠分成4個2K*2k，1塊已填充部分落在4塊其中的1塊，則選擇其他三塊形成一個L型，則4塊期盤分別變成n=2k的問題。由于n=2K結論成立，則已有1個填充塊的2(k+1)*2(k+1)的期盤必定能夠

45、被的L型填滿。所以給定該題用分治法解決如下：如果n=2;即為2*2的已填充1個方格的方塊，顯然，剩余的部分形成L型。否則（2）設n=k(k2)把2k*2k的方塊分成4塊，分別靠緊填充不含已填充方格的L型，遞歸解決n=k-1的問題習題4.21.應用快速排序對序列E,X,A,M,P,L,E按字母順序排序254請舉一個n個元素數(shù)組的例子,使得我們有必須對它使用本節(jié)提到的限位器.限位器的值應是多少年來?為什么一個限位器就能滿足所有的輸入呢?Hints:26Withthepivotbeingtheleftmostelement,theleft-to-rightscanwillgetoutofbounds

46、ifandonlyifthepivotislargerthantheotherelements.Appendingasentinel(限位器)ofvalueequalA0(orlargerthanA0)afterthearrayslastelement,thequicksortalgorithmswillstoptheindexoftheleft-to-rightscanofA0.n-1fromgoingbeyondpositionn.8.設計一個算法對n個實數(shù)組成的數(shù)組進行重新排列,使得其中所有的負元素都位于正元素之前.這個算法需要兼顧空間和時間效率.Algorithmsnetbeforep

47、os(A0.n-1)使所有負元素位于正元素之前輸入:實數(shù)組A0.n-1輸出:所有負元素位于于正元素之前的實數(shù)組A0.n-1A-1-1;An1限/位器i0;jn-1WhileijdoWhileAi0doii+1whileAj0doj-1swapAiandAjswapAiandAj/undothelastswap當全是非負數(shù)或全是非正數(shù)時需要限位器.9.假設R=aW=bB=c的話可以這樣思考:對于任意一個只含三種元素的數(shù)組array:a,b,c,最后排序成arraya,.,a,b,.,b,c,.,c首先從數(shù)組首開始,邊界指示器兩個,left=0,right=0;一個遍歷指針i=0,另一個遍歷指針j

48、=array.length-1,指向數(shù)組尾元素.while(i1時,Cw(n)=Cw(n/2)+1,Cw(1)=1(略)4.如果對于一個100000個元素的數(shù)組成功查找的話,使用折半查找比順序查找要快多少倍?如何將折半查找應用于X圍查找?X圍查找就是對于一個有序數(shù)組,找出位于給定值L、U之間（包含L、U）的所有元素，Lrreturn-1elsem(l+r)/2ifK=AmreturnmelseifKAmreturnBSR(Am+1,r,K)8.設計一個只使用兩路比較的折半查找算法，即只用和=,或者只用和=.AlgorithmsTwoWaysBinarySearch(Ao.n-1,K)二路比較的

49、折半查找有序子數(shù)組Al.r和查找鍵值K/查找成功則輸出其下標，否則輸出-1l0,rn-1whilel1時，A(n)=2+3+4+n+n-1.+2。（9）google沒有查到關于pan的這篇論文。32習題4.61.a.為最近對問題的一維版本設計一個直接基于分治技術的算法,并確定它的效率類型b.對于這個問題,它是一個好算法嗎?:AlgorithmsClosestNumber(Al.r)分治計算最近對問題的一維版本輸入:升序排列的實數(shù)子數(shù)組Al.r輸出:最近數(shù)對的距離Ifr=lreturnElseifrl=1returnArAlElsereturnminClosestNumber(Al(l+r)/2

50、),ClosestNumber(A(l+r)/2.r)A(l+r)/2+1A(l+r)/2設遞歸的時間效率為T(n):n=2k,則:T(n)=2T(n/2)+c利用主定理求解.T(n)=(n)b沒有必要用遞歸。2.(題略)T(n)=2T(n/2)+M(n)其中M(n)為兩部分(n/2)個點進行合并，最壞情況下，先是把兩個(n/2)個點根據y坐標軸進行簡單先排序，然后合并?；ㄈ/2*log（n/2）的時間，針對左邊n/2三、個點分別從右邊選出6個點計算距離然后與dmin比較（dmin初始位min(d1,d2)，花掉6n的時間，33:/wiki/Voronoi_diagram:/nirareba

51、kun/voro/evoro.html(6)已知P1和Pn,用行列式的值求三角形的面積，面積最大的那個點就是Pmax。先求上包的路徑，再求下包的路徑。上下包的路徑分別為：A利用行列式求得Pmax,pmax肯定為極點，這樣上包路徑轉為：Ru=Ruleft+Ruright，利用分治求得。習題5.11.n=1時兩個小孩過河，到達對岸后留下1位，另1位返回，返回后讓士兵過河，然后再讓小孩返回。共橫渡4次。則n=k時，要橫渡4k次。2.a.設計一個遞歸的減一算法,求n個實數(shù)構成的數(shù)組中最小元素的位置.b.確定該算法的時間效率,然后把它與該問題的蠻力算法作比較AlgorithmsMinLocation(A

52、0.n-1)/findthelocationofthesmallestelementinagivenarray/anarrayA0.n-1ofrealnumbers/AnindexofthesmallestelementinA0.n-1ifn=1return0elsetempMinLocation(A0.n-2)ifAtemp1C(1)=04.應用插入排序對序列example按照字母順序排序5.a.對于插入排序來說,為了避免在內部循環(huán)的每次迭代時判斷邊界條件j=0,應該在待排序數(shù)組的第一個元素前放一個什么樣的限位器?b.帶限位器版本和原版本的效率類型相同嗎?解:a.應該在待排序數(shù)組的第一個元素

53、前放-或者小于等于最小元素值的元素.34效率類型相同.對于最差情況(數(shù)組是嚴格遞減):7.算法InsertSort2(A0.n-1)fori1to-1ndoji-1whilej=0andAjAj+1doswap(Aj,Aj+1)jj+1分析:在教材中算法InsertSort的內層循環(huán)包括一次鍵值賦值和一次序號遞減,而算法InsertSort2的內層循環(huán)包括一次鍵值交換和一次序號遞減,設一次賦值和一次序號遞減的時間分別為ca和cd,那么算法InsertSort2和算法InsertSort運行時間的比率是(3ca+cd)/(ca+cd)81）最大：逆序最?。簡握{遞增2）可以假設插在前面位置的幾率都

54、相等，求出平均比較次數(shù)。9.該算法最差時（要插入的數(shù)的下標是i），是每次比較后插入的位置是第1個位置，這樣比較次數(shù)為logi（以2為底）,但是插入導致的元素移動卻為i。這樣最差效率類型為O(n2)。10.希爾排序基本思想基本思想：先取一個小于n的整數(shù)d1作為第一個增量，把文件的全部記錄分成d1個組。所有距離為dl的倍數(shù)的記錄放在同一個組中。先在各組內進行直接插人排序；然后，取第二個增量d2d1重復上述的分組和排序，直至所取的增量dt=1(dtdt-ld2d1)，即所有記錄放在同一組中進行直接插入排序為止。該方法實質上是一種分組插入方法。給定實例的shell排序的排序過程假設待排序文件有10個記

55、錄，其關鍵字分別是：49，38，65，97，76，13，27，49，55，04。增量序列的取值依次為：5，3，1排序過程如【動畫模擬演示】。Shell排序的算法實現(xiàn)1不設監(jiān)視哨的算法描述voidShellPass(SeqListR，intd)/希爾排序中的一趟排序，d為當前增量for(i=d+1;i=n；i+)/將Rd+1n分別插入各組當前的有序區(qū)35if(Ri.key0&R0.key0doincrement=increment/3+1；/求下一增量ShellPass(R，increment)；/一趟增量為increment的Shell插入排序while(increment1)/ShellSo

56、rt注意：當增量d=1時，ShellPass和InsertSort基本一致，只是由于沒有哨兵而在內循環(huán)中增加了一個循環(huán)判定條件j0，以防下標越界。2設監(jiān)視哨的shell排序算法具體算法【參考書目12】算法分析1增量序列的選擇Shell排序的執(zhí)行時間依賴于增量序列。好的增量序列的共同特征：最后一個增量必須為1；應該盡量避免序列中的值(尤其是相鄰的值)互為倍數(shù)的情況。有人通過大量的實驗，給出了目前較好的結果：當n較大時，比較和移動的次數(shù)約在nl.25到1.6n1.25之間。2Shell排序的時間性能優(yōu)于直接插入排序希爾排序的時間性能優(yōu)于直接插入排序的原因：當文件初態(tài)基本有序時直接插入排序所需的比較

57、和移動次數(shù)均較少。當n值較小時，n和n2的差別也較小，即直接插入排序的最好時間復雜度O(n)和最壞時間復雜度0(n2)差別不大。在希爾排序開始時增量較大，分組較多，每組的記錄數(shù)目少，故各組內直接插入較快，后來增量di逐漸縮小，分組數(shù)逐漸減少，而各組的記錄數(shù)目逐漸增多，但由于已經按di-1作為距離排過序，使文件較接近于有序狀態(tài)，所以新的一趟排序過程也較快。因此，希爾排序在效率上較直接插人排序有較大的改進。3穩(wěn)定性36希爾排序是不穩(wěn)定的。參見上述實例，該例中兩個相同關鍵字49在排序前后的相對次序發(fā)生了變化。關節(jié)點（隨便看看的，不是習題）一、定義及應用在某圖中，若刪除頂點以及相關的邊后，圖的一個連通

58、分量分割為兩個或兩個以上的連通分量，則稱頂點V為該圖的一個關節(jié)點。一個沒有關節(jié)點的連通圖稱為重連通圖。在重連通圖中，任意一對頂點之間至少存在兩條路徑，則再刪去某個頂點即相關各邊后也不破壞圖的連通性。若在圖的連通圖上刪去個節(jié)點才能破壞圖的連通性，則稱為此圖的連通度。他們常常在通信網絡的圖或航空網中應用，K越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定，反之，戰(zhàn)爭中若要摧毀敵方的運輸線，只須破壞其運輸網中的關節(jié)點即可。二、求解算法利用深度優(yōu)先搜索便可以求的圖的關節(jié)點，本由此可判別圖是否重連通。從任一點出發(fā)深度優(yōu)先遍歷得到優(yōu)先生成樹，對書中任一頂點而言，其孩子節(jié)點為鄰接點。由深度優(yōu)先生成樹可得出兩類關節(jié)點的特性：（）若生成樹的更

59、有兩棵或兩棵以上的子樹，則此根頂點必為關節(jié)點。因為圖中不存在連接不同子樹頂點的邊，若刪除此節(jié)點，則樹便成為森林。（）若生成樹中某個非葉子頂點V，其某棵子樹的根和子樹中的其他節(jié)點均沒有指向V的祖先的回邊，則V為關節(jié)點。習題5.21.a.(略)b.3對于無向連通圖我覺得是正確的，樹的數(shù)量等于連通分量，而對于又想連通圖，不一定正確。37對于有向連通圖不一定正確。對于連通圖來講，我覺得應該是正確的，對于非連通圖來講，由于是連通分量組成，應該也是正確的。4.6b舉兩個例子，一種是DFS更快，另外一種是BFS更快。7選中1個點開始遍歷，完了，遍歷中經過的點形成1個連通分量，同樣繼續(xù)找到沒有被遍歷的點，直到

60、遍歷結束，又形成連通分量。8.1）使用DFS遍歷，開colorv數(shù)組，元素個數(shù)為節(jié)點個數(shù)，visit第一個節(jié)點后，visit0為false，k=1；設每次visit一個節(jié)點后，visitk取visitk-1的反值，一旦發(fā)現(xiàn)visitm至visitn的回邊，判斷回邊兩頭值是否不一樣，遍歷完畢后，如果找不到兩頭值一樣的回邊，則為二分圖。否則，不是。（2）與(1)基本相似。10.習題5.31.DFS的棧狀態(tài):38退棧順序:efgbcad拓撲排序:dacbgfeb.這是一個有環(huán)有向圖.DFS從a出發(fā),遇到一條從e到a的回邊.2.（1）證明：容易證明若有向圖G=(V,A)不存在環(huán)，必有頂點沒有輸入邊，即