函數(shù)的單調(diào)性與最值 教案 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊（2022-2023學(xué)年）

1、3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性.2.理解單調(diào)性的作用和實際意義.1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義及相關(guān)概念，理解函數(shù)最大(小)值的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.(邏輯推理)3.會利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)新知初探教材要點要點一函數(shù)最大(小)值設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域，I是D的一個非空的子集.(1)如果有aD，使得不等式f(x)f(a)對一切xD成立，就說f(x)在xa處取到最大值Mf(a)，稱M為f(x)的最大值，a為f(x)的最大值點；(2)如果有aD，使得不等

2、式f(x)f(a)對一切xD成立，就說f(x)在xa處取到最小值Mf(a)，稱M為f(x)的最小值，a為f(x)的最小值點.狀元隨筆最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.要點二增函數(shù)與減函數(shù)的定義狀元隨筆定義中的x1，x2有以下3個特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常規(guī)定x1x2；(3)屬于同一個單調(diào)區(qū)間.要點三單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)_，區(qū)間I叫作yf(x)的_.狀元隨筆一個

3、函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”連接，而應(yīng)該用“和”連接.如函數(shù)y1x在(，0)和(0，)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y1x在(，0)基礎(chǔ)檢測1.思考辨析(正確的畫“”，錯誤的畫“”)(1)函數(shù)f(x)1恒成立，則f(x)的最大值是1.()(2)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，).()(3)函數(shù)y1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)0，(4)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，c上在xb處有最小值f(b).()2.函數(shù)y2x23x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.0，) B.(，0)C.-，34D3.(多選)如

4、果函數(shù)f(x)在a，b上是增函數(shù)，對于任意x1，x2a，b(x1x2)，則下列結(jié)論中正確的是()A.fx1B.(x1x2)f(x1)f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.f(x1)f(x2)4.函數(shù)f(x)在2，2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是_.題型探究題型1利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1已知函數(shù)f(x)x24|x|3，xR.(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.方法歸納(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，若所給函數(shù)是常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，可根據(jù)其單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若函數(shù)不是上述函數(shù)且函數(shù)圖象容易

5、作出，可作出其圖象，根據(jù)圖象寫出其單調(diào)區(qū)間.(2)一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”連接兩個單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，”連接.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為()A.(3，1)B.(5，3)C.(3，1)，(1，4)D.(5，3)，(1，1)(2)函數(shù)yx22|x|3的單調(diào)遞增區(qū)間是_，遞減區(qū)間是_.題型2函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明例2用定義證明函數(shù)f(x)xkx(k0)在(0，)上的單調(diào)性方法歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟注：作差變形是解題關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)xx2+4，判斷并用定義證明f(x)在(0，題型3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度

6、1比較大小例3已知函數(shù)yf(x)在0，)上是減函數(shù)，則()A.f34f(a2a1) B.f34f(a2aC.f34f(a2a1) D.f34f(a2a狀元隨筆利用單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上.角度2解不等式例4f(x)是定義在(2，2)上的減函數(shù)，若f(m1)f(2m1)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.m0B.0m3C.1m3D.12m狀元隨筆利用單調(diào)性解不等式，就是根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)的對應(yīng)法則，構(gòu)造不等式(不等式組)求解，注意函數(shù)的定義域，所有自變量都必須在函數(shù)的定義域內(nèi).角度3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5若f(x)x24mx與g(x)2

7、mx+1在區(qū)間2，4上都是減函數(shù)，則m的取值范圍是(A.(，0)C.(0，) D.(0，1方法歸納“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為I”與“函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)”的區(qū)別單調(diào)區(qū)間是一個整體概念，說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間.所以我們在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義.角度4求函數(shù)的最值例6已知函數(shù)f(x)2x-1(x2，方法歸納1.利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值.2.函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增(減)

8、函數(shù)，則f(x)在區(qū)間a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間b，c上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)x2bxc圖象的對稱軸為直線x2，則下列關(guān)系式正確的是()A.f(1)f(1)f(2) B.f(1)f(2)f(1)C.f(2)f(1)f(1) D.f(1)f(1)f(2)(2)函數(shù)yf(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)f(m9)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(，3) B.(0，)C.(3，) D.(，

9、3)(3)已知函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a的值為_.(4)已知函數(shù)f(x)32x-1，求函數(shù)f(x)在1，易錯辨析忽視函數(shù)的定義例7已知函數(shù)f(x)-x2-ax-5xA.3a0B.a2C.a0D.3a2解析：函數(shù)f(x)-x2-ax-5x1，axx1，是R上的增函數(shù)，則f(x)x2ax5(x1)單調(diào)遞增，故它的對稱軸a21，即a2，此時f(x)ax(x1)也單調(diào)遞增，所以a0，要保證在R上是增函數(shù).還需在x1處滿足12a答案：D易錯警示易錯原因糾錯心得只考慮f(x)x2ax5(x1)單調(diào)遞增與f(x)ax(x1)單調(diào)遞增，即a2，忽視增函數(shù)的定義出錯.分段函數(shù)如果都能單調(diào)

10、遞增還需保證斷點左側(cè)的值小于或等于右側(cè)的值.本題中：12a15a1課堂練習(xí)1.(多選)如圖所示的是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)yf(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是()A.函數(shù)在區(qū)間5，3上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間1，4上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間3，14D.函數(shù)在區(qū)間5，5上沒有單調(diào)性2.函數(shù)y1x-1的單調(diào)減區(qū)間是A.(，1)，(1，) B.(，1)CxR|x1D.R3.函數(shù)y2x+1在2，3上的最小值為(A.1B.1C.23D.4.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y(k2)x1是R上的增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是_.5.已知f(x)是定義在1，1上的增函數(shù)，且f(x2)f(1x)，求x的取值范圍.參

11、考答案新知初探要點二f(x1)f(x2)增函數(shù)減函數(shù)要點三單調(diào)性單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)檢測1.答案：(1)(2)(3)(4)2.解析：借助圖象得y2x23x的單調(diào)減區(qū)間是34答案：D3.解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)yf(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則x1x2與f(x1)f(x2)同號，由此可知，選項A，B正確；對于C，D，因為x1，x2的大小關(guān)系無法判斷，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系也無法判斷，故C、D不正確.故選AB.答案：AB4.解析：由圖象知點(1，2)是最高點，點(2，1)是最低點，ymax2，ymin1.答案：1，2題型探究例1解析：(1)f(x)x24|x|3x(2)如圖.(3

12、)由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為2，0)，2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)，0，2).跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)在某個區(qū)間上，若函數(shù)yf(x)的圖象是上升的，則該區(qū)間為增區(qū)間，若是下降的，則該區(qū)間為減區(qū)間，故該函數(shù)的減區(qū)間為(3，1)，(1，4).(2)yx22|x|3-畫出函數(shù)圖象如圖，由圖可知函數(shù)yx22|x|3的單調(diào)遞增區(qū)間是：(，1，(0，1.遞減區(qū)間是：1，0，1，).答案：(1)C(2)(，1，(0，11，0，1，)例2證明：設(shè)x1，x2(0，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)x1+kx1-x2+kx2(x1x2)kx1-kx2(x1x2)kx2-x1x因為0 x1x2，所以x1x20.當(dāng)

13、x1，x2(0，k時，x1x2k0，此時函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1，x2(k，)時，x1x2k0f(x1)f(x2)0)在區(qū)間(0，k上為減函數(shù)，在區(qū)間(k，)上為增函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2解析：f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減.證明如下：x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x1x12+因為0 x12時，x1x2-40，x2-x1x1x2-4x12+4x22+40，f當(dāng)0 x2時，x1x2-40，x2-x1x1x2-4x12+4x22+40，f所以，f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減.例3解析：a2a1a-1223434.又函數(shù)yf(x)在0，)

14、是減函數(shù)，f(a2a答案：C例4解析：由題意知-2m-10，解得m0.綜上可得m的取值范圍是(0，1.答案：D例6解析：x1，x22，6，且x1x2，則f(x1)f(x2)2x1-1-由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以，函數(shù)f(x)2x-1在區(qū)間2，因此，函數(shù)f(x)2x-1在區(qū)間2，6的兩個端點處分別取得最大值與最小值.在x2時取得最大值，最大值是2；在x跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)因為該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x2，所以f(x)在(，2上單調(diào)遞減，因為211，所以f(2)f(1)f(m9)，所以2mm9，即m3.故選C.(3)f(x)|2xa|2x-所以f(x)|2xa|的單調(diào)遞減區(qū)間是-，a2若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a23，解得a(4)先證明函數(shù)f(x)32x-1的單調(diào)性，設(shè)x1，x2是區(qū)間12，+上的任意兩個實數(shù)，且xf(x1)f(x2)32x1由于x2x112，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)32x-1在區(qū)間12，+上是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)f(x)在1，5上是單調(diào)遞減的，因此，函數(shù)f(x即最大值為f(1)3，最小值為f(5)13答案：(1)C(2)C(3)