例談共點共線共面問題

1、例談共點、共線、共面、異面問題一、共線問題證明點共線，常常采用以下兩種方法：轉變成證明這些點是某兩個平面的公共點，此后依照公義3證得這些點都在這兩個平面的交線上；證明多點共線問題時，平時是過其中兩點作素來線，此后證明其他的點都在這條直線上1如圖1，正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交O點，AC，BD交M點，求證：C1，O，M三點共線證明：連結A1C1，C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1，C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點又MAC，M平面A1ACC1MBD，M平面DBC1也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線O為

2、A1C與截面DBC1的交點，平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是兩平面的公共點OC1M，即C1，M，O三點共線2如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面訂交于點E，G，H，F求證：E，F，G，H四點必定共線（在同一條直線上）解析：先確定一個平面，此后證明相關直線在這個平面內，最后證明四點共線證明AB/CD，AB，CD確定一個平面又ABE，AB，E，E，即E為平面與的一個公共點同理可證F，G，H均為平面與的公共點兩個平面有公共點，它們有且只有一條經過公共點的公共直線，E，F，G，H四點必定共線議論：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，先證明這些點都是某

3、兩平面的公共點，此后得出這些點都在二平面的交線上的結論二、共點問題證明線共點，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上1.如圖2，已知空間四邊形ABCD，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且BGDH2，求證：EG，FH，AC訂交于同一點PGCHC1錯解：證明：E、F分別是AB,AD的中點,BD,EF=2BD,BGDH2,1GHBD,GH=3BD,又GCHC四邊形EFGH是梯形，設兩腰EG,FH訂交于一點T,DH2,F分別是AD.AC與FH交于一點.直線EG,FH,AC訂交于一點HC正解：證明：E

4、，F分別是AB，AD的中點，1BD又BGDH2，EFBD，且EFGCHC21EFGH，且EFGHGHBD，且GHBD3四邊形EFHG是梯形，其兩腰必訂交，設兩腰EG，FH訂交于一點P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD，又平面ABC平面ACDAC，PAC故EG，FH，AC訂交于同一點P2.如圖，已知平面，且l設梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求證：AB，CD，l共點（訂交于一點）解析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定訂交于一點M，只要證明M在l上，而l是兩個平面，的交線，因此，只要證明M，且M即可證明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的兩

5、條腰AB，CD必定訂交于一點，設ABCDM又AB，CD，M，且MM又l，Ml，即AB，CD，l共點議論：證明多條直線共點時，與證明多點共線是相同的三、共面問題證明空間的點、線共面問題，平時采用以下兩種方法：依照已知條件先確定一個平面，再證明其他點或直線也在這個平面內；分別過某些點或直線作兩個平面，證明這兩個平面重合1.如圖3，設P，Q，R，S，M，N分別為正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，A1A的中點，求證：P，Q，R，S，M，N共面證明：如圖3，連結A1B，MQ，NRP，N分別為AB，A1A的中點，A1BPNA1D1BC，A1MBQM，Q分別為A1D1

6、，BC的中點，A1MBQ四邊形A1BQM為平行四邊形A1BMQPNMQ因此，直線PN，MQ可確定一個平面同理，由PQNR可知，直線PQ，NR確定一個平面過兩條訂交直線PN，PQ有且只有一個平面，與重合，即R同理可證S因此，P，Q，R，S，M，N共面2.已知：a，b，c，d是不共點且兩兩訂交的四條直線，求證：a，b，c，d共面解析：弄清楚四條直線不共點且兩兩訂交的含義：四條直線不共點，包括有三條直線共點的情況；兩兩訂交是指任何兩條直線都訂交在此基礎上，依照平面的性質，確定一個平面，再證明所有的直線都在這個平面內證明1o若當四條直線中有三條訂交于一點，不如設a，b，c訂交于一點A直線d和A確定一個平面又設直線d與a，b，c分別訂交于E，F，G，則A，E，F，GA，E，A，Ea，a同理可證b，ca，b，c，d在同一平面內2o當四條直線中任何三條都不共點時，如圖這四條直線兩兩訂交，則設訂交直線a，b確定一個平面設直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K又H，Kc，c同理可證da，b，c，d四條直線在同一平面內議論：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：第一由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，此后再證明其他的線(或點)均在這個平面內本題最簡單