行列式測試題有答案

1、2542 五、證明下列各題（滿分 16分）1.設(shè)Fi，F(xiàn)2均為數(shù)域，證明FiI F2也是數(shù)域。（5 分）證明因?yàn)?,1F1,F20,1 F1F2,a,bF1F2a,bF1,a, bF2a b,ab,a(b 0) bF1,ab,ab,(b b0)F2aab,ab, (b 0)F1F2F1F2是數(shù)域。bay bx c2.已知a,b,c均不為0，證明cx az b有唯解。（5 分）bz cy a證明因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式 TOC o 1-5 h z ba0Dc0a2abcO(Qa,b,c均不為0)0cb所以有克萊姆法則知，方程組有唯一解。3.設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三邊，證明0. 3.設(shè)a,b,c

2、是一個(gè)三角形的三邊，證明0. (6 分)11a0bccb(a+b+c)1c0a1ba00 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0(a+b+c)證明0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0(a+b+c)0 0 0a c b b c c a b a c b a a b c-ac-bb-c-ac-bb-c(a+b+c)c-a-ba-c(a+b+c)c-ca-bb-aa-b-cba-c-b-111=(a+b+c)(a-(b+c)c-ca-bba-c-b(a+b+c)(a-(b+c)c0(a+b+c)(a-(b+c)c0a+c-bba+b-c0-10 0(a+b

3、+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0（因?yàn)閍,b,c是三角形的三邊）本講作業(yè)：（一）解答下列各題123Ln1x 13LnD12x 1Ln1.計(jì)算行列式MMMOM123Lx 1解 當(dāng)x 1時(shí)，Dn 0,所以（x 1）|Dn同理（x 2）,L , x （n 1）均為Dn的因式。又x i與x j（i j）各不相 同，所以（x-1） （x 2）L x （n 1）| Dn但Dn的展開式中最高次項(xiàng)xn 1的系數(shù)為1,所以Dn=（x-1） （x 2）L x （n 1）D2計(jì)算n階行列式10D2計(jì)算n階行列式5 1 L0 6 5 L M M M O0 0 0 L0 00 00 0M M15解由

4、于按第一列展開有D0 00 00 0M M15解由于按第一列展開有Dn 5Dn , 6Dn 2,作特征方程x 2 5x 6 0,解此方程得二根2,3，令Dn A2n 1B3n 1，令 n1,2可 得A2AB 53B 19解得A 4,B9 Dn3n 1-2n 1.a。aia2Lan 1an 10)a1Lan 23證明Dan 2an 1a0Lan 3f(1)f( )L f( n1)MMMLMa1a2a3La。其中f (x)n 1iqx ,2 cosisin .i 0nn證明作矩陣乘積a。a1a2Lan 1111L1an 1aa1Lan 212Ln 1an 2an 1aLan 3124L2(n 1)

5、MMMLMMMMLMa1a2a3La1n 12( n 1)L(n 1)(n 1)f(1)f()f( 2)Lf( n1)f(1)f()2f( 2)Ln 1f ( n 1)f(1)2f()4f( 2)L2( n 1) f ( n 1)MMMLMf(1)n1f()2(n1)f( 2)L(n 1)(n 1) f ( n 1)1 11L111 22LLn 1f(1)42(n 1)f()OM2(n 1)M(n 1)(n 1)M1兩邊取行列式即得所征。說明：此行列式稱為循環(huán)行列式， 列式計(jì)算，可直接利用這一結(jié)果。f( n1)以后見到以下類型的行例如計(jì)算行列式D=122n(n 1)2M2222122nM3232