選修4-4高中數(shù)學(xué)課件4漸開線與擺線

1、一 曲線的參數(shù)方程二 圓錐曲線的參數(shù)方程三 直線的參數(shù)方程四 漸開線與擺線第二講參數(shù)方程一 曲線的參數(shù)方程二 圓錐曲線的參數(shù)方程三 四漸開線與擺線漸開線與擺線四漸開線與擺線漸開線與擺線 1. 漸形線是怎樣的圖形? 怎樣建立它的方程? 2. 擺線是怎樣產(chǎn)生的? 怎樣建立擺線的方程?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 漸形線是怎樣的圖形? 怎樣建立它1. 漸開線 問題 1. 把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆, 將繩子拉緊繞圓盤回放繩子, 將畫出一條什么樣的曲線? 你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系寫出這條曲線的方程嗎?隨著繩子的回放,鉛筆畫出的曲線如圖.這條曲線我們叫做圓的漸開線, 繞繩子的那個定圓叫做漸

2、開線的基圓.下面我們建立坐標(biāo)系求漸開線的參數(shù)方程.1. 漸開線 問題 1. 把一條沒有彈性的BMOAxy如圖,以基圓的圓心 O 為原點(diǎn), 經(jīng)過漸開線的起始點(diǎn) A 的直線為 x 軸, 建立直角坐標(biāo)系.M(x, y) 是漸開線上任一點(diǎn), MB 切圓 O 于點(diǎn) B.設(shè)基圓的半徑為 r, 取AOB=j (弧度) 為參變數(shù),j則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為B(rcosj, rsinj),OBBM,(x-rcosj, y-rsinj).又|BM|=rj (AB弧長),設(shè) 的單位方向向量為 e,則可取 e=(sinj, -cosj).BMOAxy如圖,以基圓的圓心 O 為原點(diǎn), 經(jīng)過漸開線BMOAxyj如圖,以基圓的圓

3、心 O 為原點(diǎn), 經(jīng)過漸開線的起始點(diǎn) A 的直線為 x 軸, 建立直角坐標(biāo)系.M(x, y) 是漸開線上任一點(diǎn), MB 切圓 O 于點(diǎn) B.設(shè)基圓的半徑為 r, 取AOB=j (弧度) 為參變數(shù),則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為B(rcosj, rsinj),OBBM,(x-rcosj, y-rsinj).又|BM|=rj (AB弧長),設(shè) 的單位方向向量為 e,則可取 e=(sinj, -cosj).則=(rjsinj, -rjcosj).比較得x=r(cosj+jsinj),y=r(sinj-jcosj).(j 為參數(shù))這就是圓的漸開線的參數(shù)方程.(下面請看幾何畫板漸開線的形成)BMOAxyj如圖,以基

4、圓的圓心 O 為原點(diǎn), 經(jīng)過漸開漸 開 線(請稍候)漸 開 線(請稍候)習(xí)題 2.4第 1、2 題.習(xí)題 2.4第 1、2 題. 1. 如圖, 有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪, 齒輪的齒廓線的基圓直徑是 225 mm, 求齒廓線 AB 所在的漸開線的參數(shù)方程.f 225xyABO解:由已知得基圓的半徑為r=112.5 mm,齒廓線 AB 所在的漸開線的參數(shù)方程為x=112.5(cosj+jsinj),y=112.5(sinj-jcosj).(j 為參數(shù)) 1. 如圖, 有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪, 2. 當(dāng) 時(shí), 求出漸開線 上的對應(yīng)點(diǎn) A, B, 并求出點(diǎn) A, B 間的距離.BAOxy解:=1.點(diǎn) A 的

5、坐標(biāo)為如圖,= -1.點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 2. 當(dāng) 2. 擺線 問題2. 在車輪上噴一個白色的印記, 當(dāng)車輪在筆直的道路上滾動時(shí), 白色印記的軌跡是什么曲線? 怎樣建立軌跡的方程?請看下面的模擬動畫:OAB 問: 輪子周長等于軌跡的OA弧長還是OA線段長?怎樣建坐標(biāo)系求軌跡的方程? 隨著輪子的滾動, 我們把輪上定點(diǎn)的軌跡叫做平擺線, 簡稱擺線, 又叫旋輪線.2. 擺線 問題2. 在車輪上噴一個白色的如圖, 以輪子滾動的起始位置為原點(diǎn), 滾動時(shí)所在的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.ABCDxyOEM設(shè)動圓為B,作 BAx 軸于 A,MCBA于 C,MDx 軸于 D.其半徑為 r.取MBA=j (弧度

6、) 為參變數(shù).jOA=AM 弧長=rj,設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OD=OA-DA=rj-MC=rj-rsinj,y=DM=AB-CB=r-rcosj,如圖, 以輪子滾動的如圖, 以輪子滾動的起始位置為原點(diǎn), 滾動時(shí)所在的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.ABCDxyOEM設(shè)動圓為B,作 BAx 軸于 A,MCBA于 C,MDx 軸于 D.其半徑為 r.取MBA=j (弧度) 為參變數(shù).jOA=AM 弧長=rj,設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OD=OA-DA=rj-MC=rj-rsinj,y=DM=AB-CB=r-rcosj,點(diǎn) M 的軌跡方程為這就是擺線的參數(shù)方程.如

7、圖, 以輪子滾動的習(xí)題 2.4第 3、4 題.習(xí)題 2.4第 3、4 題. 3. 有一個半徑是 a 的輪子沿著直線軌道滾動, 在輪輻上有一點(diǎn) M, 與輪子中心的距離是 b (ba), 求點(diǎn) M 的軌跡方程.xyOEM解:建立如圖的坐標(biāo)系.ABCDj圓心為 B,BAx 軸于 A,MCBA于 C,MDx 軸于 D.取MBA=j (弧度) 為參變數(shù).則 OA 等于滾動 j 弧度的大圓弧長, 即OA=aj,設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OD=OA-DA=aj-MC=aj-bsinj,y=DM=AB-CB=a-bcosj,則 |AB|=a, |BM|=b. 3. 有一個半徑是 a 的輪子沿著

8、直線軌道 3. 有一個半徑是 a 的輪子沿著直線軌道滾動, 在輪輻上有一點(diǎn) M, 與輪子中心的距離是 b (ba), 求點(diǎn) M 的軌跡方程.xyOEM解:建立如圖的坐標(biāo)系.ABCDj圓心為 B,BAx 軸于 A,MCBA于 C,MDx 軸于 D.取MBA=j (弧度) 為參變數(shù).則 OA 等于滾動 j 弧度的大圓弧長, 即OA=aj,設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OD=OA-DA=aj-MC=aj-bsinj,y=DM=AB-CB=a-bcosj,則 |AB|=a, |BM|=b.點(diǎn) M 的軌跡方程為 3. 有一個半徑是 a 的輪子沿著直線軌道 4. 一個半徑是 4r 的定圓 O

9、和一個半徑是 r 的動圓 C 相內(nèi)切. 當(dāng)圓 C 沿圓 O 無滑動地滾動時(shí), 探求圓 C 上定點(diǎn) M (開始時(shí)在點(diǎn) A) 的軌跡的參數(shù)方程.ACMOxyBDEF解:以 O 為原點(diǎn), OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.連接OC并延長交O于B,則 B 為兩圓切點(diǎn).作 CDx 軸于 D, MEx 軸于 E, MFCD于 F.j以AOB=j (弧度) 為參變數(shù),MB弧長=AB弧長,即 rBCM=4rj,BCM=4j.則 4. 一個半徑是 4r 的定圓 O 和一個ACMOxyBDEFj 4. 一個半徑是 4r 的定圓 O 和一個半徑是 r 的動圓 C 相內(nèi)切. 當(dāng)圓 C 沿圓 O 無滑動地滾動時(shí),

10、 探求圓 C 上定點(diǎn) M (開始時(shí)在點(diǎn) A) 的軌跡的參數(shù)方程.解:以 O 為原點(diǎn), OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.連接OC并延長交O于B,則 B 為兩圓切點(diǎn).作 CDx 軸于 D, MEx 軸于 E, MFCD于 F.以AOB=j (弧度) 為參變數(shù),MB弧長=AB弧長,即 rBCM=4rj,BCM=4j.則設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OE=OD+DE=OD+FMy=EM=DC-FC=3rcosj+rcos3j,=3rsinj-rsin3j.ACMOxyBDEFj 4. 一個半徑是 4ACMOxyBDEFj 4. 一個半徑是 4r 的定圓 O 和一個半徑是 r 的動圓

11、 C 相內(nèi)切. 當(dāng)圓 C 沿圓 O 無滑動地滾動時(shí), 探求圓 C 上定點(diǎn) M (開始時(shí)在點(diǎn) A) 的軌跡的參數(shù)方程.解:以 O 為原點(diǎn), OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系.連接OC并延長交O于B,則 B 為兩圓切點(diǎn).作 CDx 軸于 D, MEx 軸于 E, MFCD于 F.以AOB=j (弧度) 為參變數(shù),MB弧長=AB弧長,即 rBCM=4rj,BCM=4j.則設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y),則 x=OE=OD+DE=OD+FMy=EM=DC-FC=3rcosj+rcos3j,=3rsinj-rsin3j.cos3j =4cos3j-3cosj,sin3j =3sinj-4sin3

12、j,M的軌跡的參數(shù)方程為x=3rcosj+rcos3j =4rcos3j.y=3rsinj-rsin3j = 4rsin3j.ACMOxyBDEFj 4. 一個半徑是 4【課時(shí)小結(jié)】1. 漸開線 一條細(xì)繩繞在一個圓盤上, 繩外端系上畫筆, 將繩拉緊繞圓盤回放, 畫筆畫出的一條曲線就叫漸開線. 繞繩子的圓盤叫基圓.【課時(shí)小結(jié)】1. 漸開線 一條細(xì)繩繞在一個圓【課時(shí)小結(jié)】2. 漸開線的方程 以基圓的圓心 O 為原點(diǎn), 經(jīng)過漸開線的起始點(diǎn) A 的直線為 x 軸, 建立直角坐標(biāo)系. (j 為參數(shù))x=r(cosj+jsinj),y=r(sinj-jcosj).BMOAxyjr其參數(shù)方程為【課時(shí)小結(jié)】2. 漸開線的方程 以基圓的