任意角概念和弧度制

1、關(guān)于任意角的概念與弧度制第1頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四任意角的三角函數(shù)之一角的概念的推廣第2頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四2.在數(shù)學(xué)上，我們規(guī)定，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角。1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。 這樣，鐘表的指針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角總是負(fù)角。一、角的相關(guān)概念：第3頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四3.在圖1.6中，一條射線的端點(diǎn)是O，它從起始位置OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個(gè)正角，記作。點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，

2、射線OA、OB分別是的始邊、終邊。 4.如果一條射線它從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，我們稱這樣形成的角為零度角，又稱零角，記作=0 第4頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四角應(yīng)包括正角、負(fù)角和零角 第5頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四為了研究問(wèn)題方便，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合圖1-9中的30， 390，-330角，都是第一象限角；圖1-10中的300，-60角，都是第四象限角；585角是第三象限角。 角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角

3、二、象限角終邊在坐標(biāo)軸的角，稱為象限界角，它不屬于象限角第6頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 S=|=+k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成與周角的整數(shù)倍的和 注意以下幾點(diǎn)（1）kZ ;（2）是任意角；（3）終邊相同的角不一定是等角；但相等的角一定是終邊相同的角；（4）終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，他們相差360的整數(shù)倍；（5）k360與之間為“+”，k360- 看作k360+（-）三、終邊相同的角第7頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四例1 判定下列各角是第幾象限角(1) -60； (2

4、)585； (3) -95012 例3 在直角坐標(biāo)系中，寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合(用0到360的角表示) 例2 設(shè)P =銳角，Q =小于90的角，M =第一象限角，S = 小于90的正角，則下列六個(gè)關(guān)系： P=Q P=M P=S PQ PM QM中，正確的有 個(gè)？（1）四（3）-95012=-2360+（-23012）（2）58012=360+225，三 （3）=| =n180+90，nZ第8頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四例7 設(shè)為第三象限角，求 所在象限，并畫(huà)圖表示在該象限的什么區(qū)域內(nèi).例6 若是第四象限角，則180-是第幾象限角？例5 寫(xiě)出與60角終邊相同的角

5、的集合S，并把S中適合不等式-360720的元素寫(xiě)出來(lái)： 例4 在0- 360間，找出下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.（1）-140 （2）670 （3）-85036第9頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四任意角的三角函數(shù)之二弧度制在物理學(xué)和日常生活中，一個(gè)量，常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以滿足我們的不同需要。第10頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四周角，將它分為360等分，把一等分確定為1個(gè)單位，即1度角。 當(dāng)半徑不同時(shí)（如圖1-13），同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù)。我們稱這個(gè)常數(shù)為該角度的弧度值。 我們

6、規(guī)定，在單位圓中長(zhǎng)為1的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角稱為1弧度角，它的單位符號(hào)是rad，讀作弧度。 第11頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四一般地，任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0。這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制。 【角度與弧度的互化】 1. 360=2rad，180=rad .第12頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四例1（1）將11230化為弧度；（2）將 弧度化為度；例2、把下列角化為2k +（0 2 ，k Z）的形式.（1） ；（2） ；并指出所在象限.例3、用弧度制表示第一第四象限的角的集合

7、第13頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表 度015 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度0度180210 225 240 270 300 315 330 360 弧度第14頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四設(shè)R是圓的半徑，l是所對(duì)的弧長(zhǎng)，在使用弧度制時(shí)，圓心角的弧度值通常也用來(lái)表示，由弧度的定義可知，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值滿足： 即 l=|R 弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑的積。 角度制時(shí)弧長(zhǎng)公式為： 其中n表示角度數(shù)。 弧度制時(shí)弧長(zhǎng)公式為：第15頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18

8、點(diǎn)59分，星期四例4、利用弧度制證明扇形面積公式S= lR，其 中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是圓的半徑。 證明：如圖1-15，因?yàn)閳A心角為1的扇形的面積為 而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角的大小為 rad所以扇形的面積為 第16頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四幾個(gè)需要注意的問(wèn)題：在表示角的集合時(shí)，一定要使用統(tǒng)一單位（統(tǒng)一制度），只能用角度制或弧度制的一種，絕對(duì)不能混用；用弧度制表示終邊相同的角 2k + ( k Z) 時(shí)，是的偶數(shù)倍，而不是 的整數(shù)倍；1弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（或該?。┑拇笮?，而1 是圓的 1/360 所對(duì)的圓心角（或該?。┑拇笮?；不管是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值；用弧度單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫(xiě)，如sin2理解為sin（2弧度）；一般弧度表示時(shí)，常寫(xiě)成多少 的形式； 但以度為單位，不能省略；第17頁(yè)，共19頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期四例5、 根據(jù)下列已知條件，解決扇形的有關(guān)問(wèn)題（1） 已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形中心角的弧度數(shù)。（2） 已知一扇形的弧為72，半徑為20 cm，求扇形