梁的彎扭失穩(wěn)

1、第四章梁的彎扭失穩(wěn)在最大剛度平面內(nèi)承受彎曲作用的理想彈性梁，如圖4.1所示，在側(cè)向沒有足夠的支撐，且側(cè)向剛度很差，當(dāng)彎矩M達(dá)到某一限值Mcr時，梁產(chǎn)生突然側(cè)向彎曲變形 u和扭轉(zhuǎn)角邛，此現(xiàn)象 稱為彎扭失穩(wěn)。屬于第一類穩(wěn)定問題，即分岔失穩(wěn)或分支點失穩(wěn)。圖4.1受彎構(gòu)件的彎矩與側(cè)扭變形圖4.1中，在分岔點 A之前，梁處在平面內(nèi)穩(wěn)定的彎曲平衡狀態(tài)；從分岔點A開始出現(xiàn)了不穩(wěn)定的平面彎曲加側(cè)扭變形的中T平衡狀態(tài)，圖中水平線a。實際受彎構(gòu)件在彎曲平面內(nèi)和平面外都存在幾何缺陷，構(gòu)件一受彎就會產(chǎn)生側(cè)扭變形，其應(yīng)屬于第二類穩(wěn)定問題， 即極值點失穩(wěn)。圖中b是彈性彎矩一變形曲線， 實際彎矩一變形曲線應(yīng)為 c, Me是

2、截面邊緣纖維開始屈服時對應(yīng)的彎矩，Mu是極限彎矩。梁的彈性彎扭失穩(wěn)對圖4.2a所示單軸對稱截面純彎梁，采用固定坐標(biāo)xyz的移動坐標(biāo)系E ，截面的形心o和剪心s在弱軸y上，剪心矩為y。在yz平面內(nèi)作用著繞強軸 x的均勻彎矩Mx,當(dāng)產(chǎn)生平面 外微小的側(cè)扭變形時，任意截面的受力和變形如圖4.2b、c所示。分析時采用如下假定：構(gòu)件為彈性體；彎曲和扭轉(zhuǎn)時，構(gòu)件截面的形狀不變；構(gòu)件的側(cè)扭變形是微小的；構(gòu)件為等截面且無缺陷；在彎矩作用平面內(nèi)的剛度很大，屈曲前變形對彎扭屈曲的影響忽略不計。用平衡法求解純彎構(gòu)件彎扭屈曲臨界彎矩時可以直接利用第三章所建立的單軸對稱截面壓彎構(gòu)件的平衡方程，只需令方程(3.46),

3、(3.47), (3.50)中的P=0即可得到三個平衡方程： TOC o 1-5 h z EIxV + Mx=0(4.1) HYPERLINK l bookmark2 o Current Document EIyu + Mx 中=。(4.2) HYPERLINK l bookmark4 o Current Document EIw邛-(2PyMx +GL -R + MxU = 0(4.3)方程(4.1)是解耦的，方程(4.2)與方程(4.3)是耦聯(lián)的，對方程(4.2)微分兩次，對方 程(4.3)微分一次后可得到一般受力條件下的單軸對稱截面受彎構(gòu)件彈性彎扭屈曲的微分方程。 即rrElyU1V +

4、(Mx中)=0(4.4)80EI w(4.5)A3 8隨蚯砰ft Jr sin &圖4.2純彎梁的受力與彎扭變形Mx GIt -R:r,：i +Mxu：04.1.1支撐條件對梁彎扭失穩(wěn)臨界彎矩的影響1.兩端簡支的純彎構(gòu)件對方程（4.4）積分兩次后得1.兩端簡支的純彎構(gòu)件對方程（4.4）積分兩次后得EI vuMx , = Az By x引入邊界條件 u （0） = u （l）=中（0）=華（l） = 0,有 A= B = 0,M x ;：則由式（4.6）得Ely將式（4.7）代入式（4.5）后EI wIV-2 - yM令ki =2 -yMx GIt -R EI wIV-2 - yM令ki =2

5、-yMx GIt -R ,EIwElyEIw：IV則式（4.8）可寫作必=0方程(4.9)的通解為=g sinh：Az ip cosh(- 1 z) q sin(- 2Z) , C4 cos(- 2z)式中2(4.11)ki./ki4k2(4.11)81(4.13 )(4.14 )(4.15 )(4.13 )(4.14 )(4.15 )(4.16 )00sinh(?1|)?12sinh(?1|)2：-1cosh(：-1l)2二 1 cosh(：1l)sin(、2 2l)2 _-2 Sin( - 21)2-？2cos(：-2l)_ 24- 2 C0s(-21 )(4.17)由邊界條件 出0尸&

6、尸，小。尸蟲)=0得到c2 c4 - 022工1 c2 -2c4 - 0ci sinh(: 1l) c2 cosh(: 11)c3 sin(: 2l) c4 cosc 2l )=02222:1 c1 sinh(: 1l) 一二：c2 cosh(: 1l) -: 2c3 sin(: 2l) - 2c4 cos(: 2l) =003和C4有非零解條件，得到穩(wěn)定方程展開后(ot12 +22 2sinh(ot1l )sin(ot2l) =0(4.18；由于拓2W220,則有可能sinh(c(1l)=0或sin&l)=0。若sh( S)=0則5 =0 ,這樣四個常數(shù)全由于為零，因此只有 sin(c(2l

7、)=0,即境l =njr,n =1,2,，可以得到最小值ot2 =y ,將%中發(fā)、k2的表達(dá) 式代入，則得到 Mx的最小值，也即是純彎構(gòu)件的彎扭屈曲臨界彎矩n2EIyMcr 廣 GIt -R二2EIw(4.19)將n2EIyMcr 廣 GIt -R二2EIw(4.19)將sin(%l) =0代入式(4.13)(4.16)中可得g =6 =c4=0,這樣構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)角為 ,、.二z=c3sin( ：2z) = c3sin 把式(4.20)代入式(4.2)且積分兩次后，引入邊界條件 u(0)=u=0可得3Mxl c3 ,二zu 二sin 一EIy l(4.20 )(4.21)可見按照小變形理論求解時

8、， 只能了解構(gòu)件屈曲時變形曲線為正弦半波曲線, 件分支點屈曲問題一樣不能具體確定變形幅值。與軸心受壓構(gòu)2.兩端固定的純彎梁兩端繞強軸 x彎曲為簡支，繞弱軸 y彎曲和繞 z軸的扭轉(zhuǎn)均為固定的邊界條件是u(0) =u(l) n (0) n(l) W ,笊0) =%l)=中(0) =(l) =0,符合這些邊界條件的變形函數(shù)為U=G；-cos陋(M 2 ,則在任意截面的彎矩為M 1 M 2M x 4 1 -2lz,代入式（4.4）、式（4.5）后得到1-1IV.EI yu +MMzl)2他一爪23一0 l(4.27)EIw6V -(GIk -R)甲”+(Mi -Mi M2 、 c z)u =0(4.2

9、8)l式（4.27）、式（4.28）是藕聯(lián)的變系數(shù)微分方程，可用數(shù)值法或能量法求解。用Ritz法可以得到目前通用的不等端彎矩作用雙軸對稱截面梁的臨界彎矩計算公式 nJ ！ .n2EIJMcr = EIyGIk 1 + （4.29）l G GIkl2 ）式中H為臨界彎矩修正系數(shù)，或稱為受彎構(gòu)件的等效彎矩系數(shù)，對圖4.3所示受力條件，可以推導(dǎo)出Pb =1.75-1.05M/M1 +0.3（M2/M1 2 2.3（4.30）式中Mi、M 2使梁在彎矩作用平面內(nèi)產(chǎn)生同向曲率變形的取同號，且Mi之M2 ；使梁產(chǎn)生異向曲率變形的取異號，且要求|M1之M2 。83圖4.3不等端彎矩作用的梁2.橫向荷載作用的

10、梁z- % 2 12z- % 2 122二二-0ElyU 2 EIw ： 2 GI k 2 - R 2 2 -yM x 2 2MxU : -qa 2(4.31)圖4.4圖4.4橫向荷載作用的梁橫向均布荷載作用的梁用Ritz法求解臨界彎矩時，假定符合幾何邊界條件的變形函數(shù)為u = GSin：,平=C2Sin牛，而Mx =-q3 -z2 ），代入式（4.31）,如不計殘余應(yīng)力，經(jīng)積分后得到 284二4 EIBeiql ：y 二 3 一34l34l324-Iqal c；47：2 3 c1c二4 EIBeiql ：y 二 3 一34l34l324-Iqal c；47：2 3 c1c224(4.32)由

11、母=0,-C旦=0可得：c2n2EIyc,l22 二23M3二2C2 = 02 二23M3二2-2EIl24 -y - 2 -3M 8aM(4.33)3二2C2 = 0式中M =lql2 ,則梁的穩(wěn)定方程為8-2eiy2-2eiy2-l2&i2 +3 M3兀2一 3二2二2EI 卬4 二2 -3M2 w - GIk -2l2 k 3二28aM2=0解之可得梁的臨界彎矩. 2 ElyMcr . 2 ElyMcr F.152-0.466a+ 0.534Py +,(0.466a+0.534瓦 2 +*1 +GI/EIw ,(4.34 )橫向集中荷載作用的梁0 )=0,將方程（4.4）積分兩次后得到E

12、IyU = -Mx中+c1z+c2,0 )=0,一. M 廠中0 =0,可得G =c2 =0 ,則有u 二 ，代入式（4.31）后，總勢能表達(dá)式變?yōu)镋ly二二12w 二二12w ： 2 EI k ： 2 -R 22 ,M x ： 2m21Elydz-1 pa 平 2(l/2)(4.35)2用Ritz用Ritz法求解時，假定符合幾何邊界條件的變形函數(shù)為 則代入式（4.35 ）,經(jīng)積分后得C =csin（jiz/l ）,如不計殘余應(yīng)力,n4-4EIw4l3二2 -4p2(冗 +61316192 二2Elyn4-4EIw4l3二2 -4p2(冗 +61316192 二2Ely1 2C212-pac2

13、(4.36)由勢能駐值原理旦=0, 二 c并令M = Pl/4 ,則梁的穩(wěn)定方程為_ 4 _3 Ely2-M二2EIwl2GIk 尸0(4.37 )解之得臨界彎矩二2 EI yM cr =1.366l2 0.554a0.406Py0.554a+0.406/ 2 +* +GIkl2d EIwJ(4.38 )8585考慮不同邊界條件，不同荷載情況后得到受彎構(gòu)件彎扭屈曲臨界彎矩的通式2EI.n I ,z m i2 x IMcr=Pi2 y P2a + p3Py+J（P2a + P3py 2十2 1+學(xué)乜（4.39）ly,1y 7TEIw,式中：； 臨界彎矩修正系數(shù)，取決于作用于受彎構(gòu)件上荷載的形式；

14、a 荷載作用點位置影響系數(shù)；3 荷載形式不同時對單軸對稱截面的修正系數(shù)。 具體取值見表4.1。將上式M cr與純彎構(gòu)件的 M 口（純彎）的比值記為 Pb =M-cr,則上式可以寫成另一個 M 口 （純彎）通時（不計R）(4.40)Mcr = A %，b + 卜 +:；+4(4.40)式中等效彎矩系數(shù)1 y Iy 江日w/式中等效彎矩系數(shù)旦的取值見表4.2。表4.1梁臨界彎矩計算公式中的系數(shù)荷翱彎矩圖最大彎能端部癰扭系數(shù)豺束條件出必如Pmg簡支L 0L 130.46n. 53口.1 1 i VI 1 ,t 1J, X固定150. 970.290. 98p%1簡支1.0L 350- 550.411

15、1固定0.51i.D70.423.時1再料y_/巴筒支固定L00.51.04ni0,420.410. 57Jr1- VI1- Uo1_11Pl左端不能翹曲1.01.231,70. 64一i立吊urn4城E左端不 能翹曲1. 02n 053, 4286表4.2等效彎矩系數(shù)區(qū)里段贄力彎咫圖再應(yīng)用施喝(1)p j 、/Pi.y(l-2a/Z)1+0, M(1-wn1P.T q卜嚴(yán) 廣.1 .早口一露河L 35+4(2fl/fP02a/b0J_k6I府產(chǎn)”161.35 + 仇 154J-L2+X SCl90. 9用三1. 0aPifi p 。巴博trPi/fiPl 子門-HZ)1*35+5 36a0a

16、h 0I -W2 J7產(chǎn)由_J產(chǎn)/g冬(1&/4M1+13 + 0+ 10r-1- 25+3,5*QQ. 70. 7LQ4i .* i -o同2,7X叫蘆門2手門一加，3)2S1-】3+03* 38+4 . 8fl750.0LI_ I i砧)“4 JJ/4|1/4月_12Hl： .ALI4卅一. 5Mx+3此+49+3收注：1)截面為雙軸對稱截面，荷載作用于截面的剪心2)表4.2 (b)中，Mmax為無支承梁段內(nèi)的最大彎矩的絕對值；MA為無支承梁段內(nèi)1/4點處彎矩的絕對值；MB為無支承梁段中點彎矩的絕對值；MC無支承梁段內(nèi)3/4點處彎矩的絕對值?！纠}4.1】 計算圖4.5(a)所示兩端簡支的

17、雙軸對稱的焊接工形截面受彎構(gòu)件臨界彎矩和等效彎2Op =19kN /cm2,彈性模量 E 中荷載分別作用于截面的上翼緣、 解截面的幾何性質(zhì)Iw 2Op =19kN /cm2,彈性模量 E 中荷載分別作用于截面的上翼緣、 解截面的幾何性質(zhì)Iw =Iyh2/4 =13619808cm6,=2.06 M104kN/cm2,剪切模量 G =7.9父 103kN /cm2。跨中的集剪心和下翼緣。54Ix =2.08 105 54Ix =2.08 105 cm418.2869I y =6550cm, I 18.28693 GIklWx = 4502cm3 ,2 k二 EI臨界彎矩修正系數(shù)Pi =1.35

18、,荷載作用點位置影響系數(shù)日2 = 0.55 ,臨界彎矩計算公式為87圖4.5跨中集中荷載作用的梁1）當(dāng)荷載作用于截面的上翼緣時,a = -46.2 cmJiM cr =1.3520600 655029002GIklW4二2EIw4-0.55x46.2 1）當(dāng)荷載作用于截面的上翼緣時,a = -46.2 cmJiM cr =1.3520600 655029002GIklW4二2EIw4-0.55x46.2 +2 13619808-0.55 46.2:6550;十111+i8.2869 )=2220-25.41.645.67 2330=64690kN cm純彎構(gòu)件的臨界彎矩McrjiEI yGIk

19、二2 EIw= 26043.221 8.2869 =79365kN cmGIJ2則等效彎矩系數(shù)b64690=0.815793652）當(dāng)荷載作用于截面剪心時,Mcra =0=2220 . 2330 =107183kN cm 飛=1.353）當(dāng)荷載作用于截面的下翼緣時,a = 46.2cmMcr =1.35ylyMcr =2220 25.41.645.67 2330=177511kN cm177511b2.24員的比值是員的比值是1:1.66:2.74,從上面計算中可以看出，三種荷載作用點不同時，等效彎矩系數(shù) 說明荷載作用點位置不同時臨界彎矩的差別很大。除了荷載作用于截面上翼緣的臨界應(yīng)力McrWx

20、364690 10322=14.37kN /cm2=19kN / cm2 ,即在彈性狀態(tài)屈曲外，其他兩種情452088況的臨界應(yīng)力都超過了比例極限，均在彈塑性狀態(tài)屈曲。4.2梁的彈塑性彎扭失穩(wěn)如果梁的側(cè)向彎曲長細(xì)比兒不是很大，梁在失穩(wěn)時截面應(yīng)力超出彈性范圍，會發(fā)生彈塑性彎扭失穩(wěn)。對焊接組合的截面梁，在焊縫近旁處的殘余應(yīng)力有時高達(dá)材料的屈服強度fy ,當(dāng)梁一開始受載時，截面就會出現(xiàn)局部范圍的屈服，特別是受壓翼緣局部進(jìn)入塑性對梁整體穩(wěn)定會產(chǎn)生不容忽視的影響。求解梁彈塑性彎扭失穩(wěn)問題，可以采取一個典型的截面和典型的殘余應(yīng)力分布模式，考慮幾何缺陷，用數(shù)值方法得到梁的臨界彎矩。圖4.6為兩端簡支的雙軸對

21、稱工型截面純彎梁，殘余應(yīng)力分布如圖4.6 (a),且0rt |arc ,在彎矩作用下，上翼緣外側(cè)首先屈服。假定材料為理想彈塑性體，應(yīng)力屈服后，Et =0 ,而Gt =G4。在彈塑性狀態(tài)，截面將形成單軸對稱截面，截面彈性區(qū)為圖4.6 (d)的非陰影部分，中和軸向下移動yn,剪心s下移y0 ,圖4.6(b)中的虛線即為剪心線。將截面的翼緣，腹板劃分為許多單元，單 位面積為Ai；中心坐標(biāo)為&,y )圖4.6彈塑性狀態(tài)的純彎梁求解梁彈塑性彎扭失穩(wěn)臨界彎矩的數(shù)值方法計算步驟如下：(1)建立截面的M -關(guān)系先給定曲率 中,則有對應(yīng)的彎曲軸坐標(biāo)yn,截面任一點的應(yīng)力 q、應(yīng)變尋滿足；i =： yi - yn

22、riEi =E,玨=Ei。, 當(dāng)一即 i w% 時Ei =0, 5 =% G =G/4當(dāng)% 時Ei=0, q=RyGt =G/4當(dāng)與 0.6E =2.06 105 N mm2 , E G =2.6 , 面簡支梁的整體穩(wěn)定系數(shù)計算公式當(dāng)由式(4.43)算得0.6時，應(yīng)用 嗎代替值:(4.43)b =1.070.2820.8(2 x 0.771 -1 0.4336 o 由表 4.2 查出反=1.75。義口加父黑父4義口加父黑父410.4336 11,“98.62X1.2 ：24.4 78.4= 3.555 0.60.2820.282b =1.07 =1.07 =1.07 -0.079 =0.991b3.555Q =4 bQ =4 bWx f /l 二34 0.991 3475.9 103 21510 106=296.24kN3）按照圖4.9d截面尺寸計算屈曲荷載截面幾何性質(zhì)參數(shù):% =0.229 ,2截面幾何性質(zhì)參數(shù):% =0.229 ,23A=136cm2, Wx =2919.53cm31 =2 父 0.229 1 = -0.542。由表,iy =5.07cm ,九=500/5.07 = 98.624.2查出 兒=1.75。4320136 78.4-b =1.754320136 78.4-b =1.75