根軌跡兩條法則的證明

1、根軌跡兩條法則的證明兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上某點(diǎn)相遇又立即分開，則稱該點(diǎn)為分離 點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)可由以下方程求得：分離角為(源*匚分離角為(源*匚證明由式(4-7)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為B0) =+ 勺)=0(4-26) 根軌跡在s平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程有重根，設(shè)重根為。根據(jù)代數(shù)方 程中重根的條件，有現(xiàn)司=，0) = 0即+-勺)=0(4-27)+-勺)=0(4-27)(4-28)汕W勺)(4-28)式(4-27)除式(4-28)，得由)卻f TOC o 1-5 h z ri0F)口，一勺) i-lJ-1即n推加日佃叫)din口0-弓)(4-29)=J-】 dsds(4-29

2、)因?yàn)槭?4-29)可寫為(4-30)(4-31)解方程，可得根軌跡的分離點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)指出，方程的根不一定都是分離點(diǎn)，只 有代入特征方程后，滿足長(zhǎng)*0的那些根才是真正的分離點(diǎn)。在實(shí)際中，往往 根據(jù)具體情況就可確定方程(4-31)的根是否為分離點(diǎn)，而不一定需要代入特征方 程中去檢驗(yàn)尺*是否大于零。若開還傳遞函數(shù)無(wú)有限零點(diǎn)，則在分離點(diǎn)方程(4-31)中應(yīng)取0若將根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)的切線方向(2先+ 1)燈/之間的夾角定義為分離角，則分離角可由刀確定，為進(jìn)入分離角的根軌跡分支數(shù)。通常，兩支根軌跡相遇的情況較多，E = 2，其分離角為直角。規(guī)則6根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的

3、夾角稱為起始角，用 勺表示；進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)的切線方向與正實(shí)軸間的夾角稱為終止角，用表示， 可根據(jù)下面的公式計(jì)算% =1町 + 2(，一勺)一4占一孔)J-1T、叫(4-32)% =180-勺)-云* -勤)玄：(4-33)證明設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有就個(gè)極點(diǎn)，幽個(gè)零點(diǎn)。在根軌跡上無(wú)限靠近待求起始角的開 環(huán)極點(diǎn)孔附近取一點(diǎn)&，由于&無(wú)限接近孔點(diǎn)，所以除了孔點(diǎn)之外，其他開 環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)到&點(diǎn)向量的相角都可用它們到孔點(diǎn)的相角來(lái)代替，而業(yè)點(diǎn)到 &點(diǎn)的相角即是起始角。因?yàn)?點(diǎn)在根軌跡上，必滿足相角條件，有 云代-勺)_云代-Pi) - L = -180j-l2-1(4-34)按相角條件，式(4-34)右端應(yīng)取 + ”

4、號(hào)，由于與+ 180*是等價(jià)的，為方 便起見，在式(4-34)中取“一”號(hào)。式(4-35)的證明可類推。規(guī)則7若根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)處的廂和相應(yīng)的可由勞斯判據(jù)求 得，或?qū)? = 丁由代入特征方程，并令其實(shí)部和虛部分別相等求得。證明若根軌跡與虛軸相交，則說(shuō)明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，可令勞斯表的第一 列系數(shù)含有尺的項(xiàng)為零，求出長(zhǎng)*值。如果根軌跡與正虛軸有一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明 特征方程有一對(duì)純虛根，可利用勞斯表中疽項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，解此方程 便可求得交點(diǎn)處的山值。若根軌跡與正虛軸有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則說(shuō)明 特征方程有兩對(duì)或兩對(duì)以上的純虛根，可用勞斯表中幕大于2的偶次方行的系數(shù) 構(gòu)成輔助方程，求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。除了用勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)外，還可令爐代入特征方程，即1+&即淚（同=令特征方程的實(shí)部和虛部分別相等，有旋1 +頃爐