線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐中的體會(huì)

1、內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào) (綜合版 )2009年第 7卷第 2期線 性 代 數(shù) 教 學(xué) 實(shí) 踐 中 的 體 會(huì)李明遠(yuǎn) , 馬文斌 , 孫鵬哲 , 吳國(guó)榮1222( 內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院 , 內(nèi)蒙古 呼和浩特理學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018)010051; 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)摘 要 結(jié)合線性代數(shù)課程本身的特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際情況解要與具體實(shí)例相結(jié) 合, 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 , 提高學(xué)生分 演繹的 基本素 質(zhì), 改進(jìn)教 學(xué)方法和 手段等 措施來提高課程的教學(xué)質(zhì)量關(guān)鍵詞 矩陣 ; 線性方程組 ;特征向量 ; 二次型中圖分類號(hào) G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A, 通過對(duì)線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐, 提出了 線性

2、代數(shù)抽 象概念講。文章編號(hào) 1672- 5344( 2009) 02- 0139- 03線性代數(shù)是討論代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程, 是高等學(xué)校的一門重要的基礎(chǔ)理論課。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力 , 空間想像能力 , 邏輯推理能力, 以及建立數(shù)學(xué)模型 , 解決實(shí)際問題的能力都有實(shí)際上, 我們教授這門課程要符合素質(zhì)教育的要求 ,在授課的同時(shí) , 教給學(xué)生一種 思維方法 , 一種 學(xué)習(xí)5線性代數(shù) 6乃至于其終生受用的學(xué)習(xí)方法。那就是, 不論學(xué)習(xí)任 何一種學(xué)科 , 都要搞 清楚學(xué)的 是什著十分重要的意義 , 是解決 線性問題 的有力工 具。 么。從各種表現(xiàn)不同的知識(shí)中找出將它們串在一起作為高等學(xué)校

3、的數(shù)學(xué)教師 , 要不斷創(chuàng)新教學(xué)方法 , 掌握高超的教學(xué)本領(lǐng) , 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)思維 , 學(xué)會(huì)正確地分析和解決實(shí)際問題。為此 , 根據(jù)線性代數(shù)課程的基本要求 , 結(jié)合自己教學(xué)過程中積累的經(jīng)驗(yàn) , 談幾點(diǎn)體會(huì)。的 /主線 。然后再回過頭來看以前看起來零散、 不同的內(nèi)容, 忽然 不再繁雜了 , 成為一 串排列有 序的/珠鏈 了。對(duì)于本門課來講 , 就是要把握好矩陣這條 /主線 教導(dǎo)學(xué) 生用矩陣的眼光來看這門課 , 用矩陣的思想來思考線性代數(shù)的問題。 , 提出重點(diǎn), 理清思路, 開拓思維線性代數(shù) 6的內(nèi)容千錘百煉成經(jīng)典 , 其基本內(nèi)容很難改動(dòng) , 即從行列式到矩陣 , 再到線性方程組 ,然而再深入

4、, , 最后,就是應(yīng)用。仔細(xì)看 , 整個(gè) 5線性代數(shù) 實(shí)質(zhì)就是圍繞矩陣來講的。前面 , 行列式的內(nèi)容實(shí)質(zhì)就是學(xué)習(xí)矩陣的準(zhǔn)備知識(shí)。后面的線性方程組、 二次型等內(nèi)容 ,實(shí)質(zhì)都是矩陣的另一種表現(xiàn)形式。我們把握好這個(gè)中心, 循序漸進(jìn), 緊扣主線, 就很容易將 5線性代數(shù) 6 課程串成一 有機(jī)體, 而不至于在實(shí)際講解中造成零散、 繁雜的現(xiàn)象。 , 打好基礎(chǔ), 弄清關(guān)系, 注意辨析學(xué)生對(duì)概念理解得深刻程度 , 對(duì)于學(xué)生解決線性代數(shù)中更深層次的問題至關(guān)重要。線性代數(shù)的教學(xué)目的不僅僅是教會(huì)學(xué)生計(jì)算或證明一些題, 更主要的是要培養(yǎng)他們的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力 , 所以教學(xué)中對(duì)概念的講解應(yīng)處理好以下一些問題 : 概念

5、的一般性與特殊性。例如我們熟知的兩個(gè)矩陣相乘一般不滿足交換律 , 在學(xué)生掌握了這一點(diǎn)之后, 還應(yīng)進(jìn)一步說明它的特例 , 即純量陣 與任何同階方陣可交換 , 以及兩個(gè)矩陣互為逆矩陣時(shí) ,乘積可交換。收稿日期 2008- 11- 24作者簡(jiǎn)介 李明遠(yuǎn) ( 1981- ), 男, 內(nèi)蒙古烏海市人 , 內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué) 院統(tǒng)計(jì)與 數(shù)學(xué)學(xué)院助 教, 學(xué) 士, 從事公共 基礎(chǔ)課 程的教學(xué)和研究 .139 唯一與不唯一 的關(guān)系。例如求解 矩陣的 秩時(shí), 采用不同的初等變換 , 矩陣的行階梯形不唯一 ,但是其行最簡(jiǎn)形唯一 , 進(jìn)而其非零行行數(shù)唯一 , 秩唯一。這些都是學(xué)生很容易忽視從而造成解題錯(cuò)誤的內(nèi)容, 因此有

6、必要給學(xué)生詳細(xì)說明。積運(yùn)算時(shí), 學(xué)生往往不自覺地按照數(shù)字運(yùn)算的慣性思維來進(jìn)行矩陣運(yùn)算 , 忽視了矩陣作乘積運(yùn)算的前提, 也忽視了矩陣的乘積運(yùn)算一般不滿足交換律 , 從而出現(xiàn)了 AB= BA這種常見錯(cuò)誤 , 進(jìn)而對(duì)矩陣乘積的左乘和右乘不加區(qū)別 , 導(dǎo)致了求解矩陣方程 AX=B和 = B時(shí) (A可逆 ), 一律解出 X的錯(cuò)誤。在講 概念間的區(qū)別與聯(lián)系。例如矩陣間的 關(guān)系:, 這三種關(guān) 系既有聯(lián) 系又有區(qū) 別。 解時(shí)關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn) , 要反復(fù)通過具體實(shí)例 , 讓學(xué)生等價(jià)是矩陣間最一般的關(guān)系 , 描述的是同型矩陣間 對(duì)矩陣乘積不滿足交換律加深印象 , 否則由于其知的關(guān)系, 而相似 和合同則只 能針對(duì)兩

7、 個(gè)方陣而 言。 識(shí)的連貫性 , 將會(huì)出現(xiàn)一系列相關(guān)錯(cuò)誤。并且相似或者合同的兩個(gè)矩陣 , 一定是等價(jià)矩陣 , 反之則不成立。等價(jià)矩陣秩相同 , 因而兩個(gè)相似或合同的方陣秩也相同。另外對(duì)于對(duì)稱陣來說 , 由于一 , 連貫知識(shí), 聯(lián)系前后, 串成整體線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)很多 , 學(xué)生初學(xué)時(shí)總感覺知識(shí)點(diǎn)很龐雜 , 很零碎。如果不能讓學(xué)生及時(shí)總結(jié)前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系 , 就無法將所有內(nèi)容有機(jī)地串聯(lián)起來, 因此教師在教學(xué)中每講一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都要注意前后的關(guān)系, 例如:定可以找到一個(gè)正交陣使得它與一個(gè)對(duì)角陣相似,再由正交陣的定義 知這兩個(gè)方陣 之間既相似 又合同。給學(xué)生分析清楚以上關(guān)系后 , 再遇到類似關(guān)于三種關(guān)系的

8、題目 , 學(xué)生便可得心應(yīng)手地解答。 , 理解定理, 注重應(yīng)用, 理清思路線性代數(shù)課程的特點(diǎn)就是定義多、 定理多, 推理多, 而很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)總是忽視對(duì)定義、 定理的理 方陣可逆與行列式和特征值之間的聯(lián)系。證明一個(gè)方陣可逆 , 我們最初所用的方法是證明方陣所對(duì)應(yīng)的行列式不為零 , 到學(xué)完特征值之后 , 利用矩陣相似的性質(zhì) , 即方陣所對(duì)應(yīng)的行列式值等于方陣全體特征值的乘積。就可以進(jìn)一步證明方陣可逆的解。這就要求教師平時(shí)要重視學(xué)生易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)從而為下一輪教學(xué)提供生動(dòng)的范例。這些易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)包括:,充分必要條件是方陣的全部特征值均不等于零就將前后的知識(shí)通過可逆聯(lián)系在一起。, 這 行列式和矩陣及其性

9、質(zhì)的混淆。很多學(xué)生在 矩陣和向量組的關(guān)系。在線性代數(shù)中一個(gè)核心內(nèi)容就是矩陣 , 線性代數(shù)的內(nèi)容都是圍繞矩陣進(jìn)行的。而向量組和矩陣又有著密切的關(guān)系 , 例如一個(gè) m行 n列的矩陣 A , 如果按照列分塊 , 則矩陣 A可分塊為一個(gè)含 n個(gè) m維向量的行向量組 ;若按照行來分塊, A又可分塊為一個(gè)含 m個(gè) n維向量的列向量組。從而有關(guān)矩陣的命題都可以用來描述向量組的性質(zhì)。學(xué)習(xí)完行列式和矩陣之后 , 分不清矩陣和行列式 , 經(jīng)常把兩者的符號(hào)混同使用 , 并且把行列式的計(jì)算所采用的方法和矩陣初等變換的方法混淆在一起。從本質(zhì)上來講 , 就是由于沒有搞清楚他們各自的定義。如果學(xué)生理解了行列式實(shí)質(zhì)就是規(guī)定了

10、某種運(yùn)算規(guī)律 (即所有不同行不同列的 n個(gè)元素的乘積之和或差 )之后計(jì)算出的一個(gè)數(shù) , 而矩陣則代表由一些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)表 , 行數(shù)和列數(shù)一般不相等。只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣即方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式 , 就很容易可以避免這種錯(cuò)誤。 在考慮齊次線性方程組 AX= 0時(shí), 我們知道若系數(shù)矩陣為方陣時(shí) , A可逆即 |A |X 0時(shí)方程組只有零解;若 A的行列式為零時(shí) , 方程組有無窮多解。利用向量組和矩陣間的關(guān)系 , 我們可以很容易地判斷一個(gè)含 n個(gè) n維向量的向量組的線性相關(guān)性 : 行列式為零, 向量組線性相關(guān) , 行列式不為零 , 向量組線性無關(guān), 從而將其線性方程組的解與向量組的線性相關(guān)聯(lián)系在一

11、起。 克萊默法則使用的條件。我們知道克拉默法則只適用于方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)和方程數(shù)相等的非齊次線性方程組 , 但在作業(yè)中發(fā)現(xiàn) , 有些同學(xué)在求解非齊次線性方程組時(shí) , 不加考慮的一律使用克拉默法則求解。甚至出現(xiàn)把行數(shù)列數(shù)不相等的矩陣也取行列式進(jìn)行計(jì)算。這一方面是對(duì)這一方法的使用范圍不清楚, 另一方面更是對(duì)行列式和矩陣定義不理解之后出現(xiàn)的連鎖反應(yīng)。如果學(xué)生知道只有方陣才能有對(duì)應(yīng)的行列式 , 就不會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。 同樣由于線性方程組解的情況與其系數(shù)矩陣秩的關(guān)系, 可以把求解一個(gè)線性方程組的過程轉(zhuǎn)化為對(duì)其系數(shù)矩陣或增廣矩陣的初等行變換過程, 通過將矩陣化為行最簡(jiǎn)形 , 既可以確定其解的情況、又 矩陣乘積

12、運(yùn)算的慣性思維。在計(jì)算矩陣的乘可以在有解的情況下很容易地寫出方程組的通解。140 求解矩陣的特征值與特征向量。這部分內(nèi)容表面上看提出了一個(gè)全新的知識(shí)點(diǎn) , 但是通過對(duì)定義的分析就能看出 , 求矩陣的特征值實(shí)際上就是計(jì)算含字母 的行列式 , 令其為零后求解方程。而求特征向量則完全是求解齊次線性方程組解的過程。清楚了這些關(guān)系 , 就可以把行列式的計(jì)算 , 齊次線性方程組的求解和矩陣特征值特征多項(xiàng)式的求法聯(lián)系在一起。決的問題, 最終求得原問題的解決 , 是一種把未知問題轉(zhuǎn)化成熟知可解問題的一種重要的思想方法。在上述利用分塊求逆的方法中 , 通過分塊將高階矩陣的求逆問題 , 轉(zhuǎn)化成我們熟知的低階矩陣求

13、逆 , 利用已學(xué)的知識(shí) , 解決新的一類問題。而這種方法在線性代數(shù)的許多知識(shí)點(diǎn)中都有所體現(xiàn)。以上幾點(diǎn)教學(xué)方法 , 是自己從事線性代數(shù)教學(xué)工作以來的一些體會(huì)和認(rèn)識(shí) , 線性代數(shù)課程雖然內(nèi)容繁多, 但是在理工農(nóng)經(jīng)濟(jì)類課程中有著重要的作用和應(yīng)用。希望與各位教師的交流 , 不斷提高自己的教學(xué)認(rèn)識(shí)和教學(xué)水平 , 能夠更好地做好自己的教學(xué)工作。以上這些例子充分說明線性代數(shù)內(nèi)容的龐雜只是表面的, 實(shí)際上各知識(shí)點(diǎn)都是有機(jī)結(jié)合在一起的 ,只要鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)多總結(jié)、 多挖掘定義之間深層次的關(guān)系 , 就不難將所有內(nèi)容串聯(lián)在一起 , 避免將各部分的內(nèi)容割裂開來學(xué)。 , 一題多解, 利用化歸, 化未為已在這里的一題多

14、解是指對(duì)求解同一類問題的不同思路和方法。例如 , 在學(xué)完逆矩陣之后 , 通過總結(jié)知道計(jì)算逆矩陣一般來說有三種作法 , 初等變換法、伴隨矩陣法和矩陣分塊法 , 這三種方法各有優(yōu)勢(shì) , 總參考文獻(xiàn) 1 張唯春 . 線性代數(shù)若干 問題的 分析 J. 長(zhǎng)春師 范學(xué)院學(xué)報(bào) , 2005, ( 4). 2楊騫 . 論數(shù)學(xué)思想方法的教育 J. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào) ,1996, ( 4). 3 張禾 瑞, 郝 炳新 , 高 等代 數(shù) M. 北京 : 高 等 教育 出版的來說對(duì)于四階以下方陣通常用伴隨陣的方法; 而社, 四階及四階以上通常用初等變換法 ; 對(duì)分塊的方法來說, 實(shí)際上就用到了化歸的思想。所謂化歸的思想, 是指在處理問題時(shí) , 把那些待解決的問題 , 通過某種轉(zhuǎn)化過程 , 歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解 4 周學(xué)海 . 數(shù)學(xué)教 育概論 M . 長(zhǎng)春 : 東北師 范大 學(xué)出版社, 責(zé)任編輯: 薩茹拉 On the Teach ing Exper ience of the Course L ear AlgebraLiM ( InnerMongolia Finance and ics H 010051)Abstr n order to teaching qua by characterist