《線性代數(shù)及其應用》第二章 矩陣代數(shù)

1、 第二章 矩陣代數(shù)2.1 矩陣運算 定義 1 由 mn 個數(shù) aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n )排成的 第j個列向量.m 行n 列數(shù)表, 記成 稱為mn 矩陣, 或寫作(a1, an), 其中列向量aj屬于Rm是A的 元素全是零的矩陣稱為零矩陣, 并記為0(或者 ) . 兩矩陣A,B若維數(shù)相同(即有相同的行數(shù)和列數(shù)), 且對應元素 若矩陣的行數(shù)等于列數(shù), 則稱為方陣, 或者直接稱n階矩陣. 對于方陣, 若除了對角線上的元素外, 其余元素全為零, 則相等, 則稱其相等. 并記為A = B.稱為對角陣, 即形如: 定義 2 設A =(aij ) , B =(bij ) 都是 m

2、n 矩陣, 矩陣 A 與B 的和例 1記成 A + B, 定義為而 A B = A + ( B ) 定義為 又定義 A 為(-1) A,例 2 若那么3A = A3 定理1 設A , B , C 是相同維數(shù)的矩陣, r與s是數(shù), 則有 1. A + B = B + A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3. A + 0 = A 4. r( A + B ) =r A + r B 5. (r + s ) A = rA + sA 6. r(sA) = (rs)A矩陣乘法當把矩陣B 乘以向量x ， 它將x 變換為向量Bx ，若這向量又乘以矩陣A ，結果得向量A (Bx)

3、, 見圖于是A(Bx) 是由x 經復合映射變換所得，我們的目的是將此復合映射表示為乘以一個矩陣的變換，此矩陣記為AB ， 即 . 如圖所示若A 是 , B 是 , x 屬于 , B 的列向量為 b1, , bp , x的元素為 x1, , xp.則由于乘以A 的線性性質向量 A (Bx) 是向量 Ab1, , Abp的線性組合,線性組合以x 的元素為權.用矩陣的記號, 此線性組合可表示為 .于是由 的乘法把x變換成 A (Bx).以下是矩陣運算中最重要的一種運算:矩陣乘法定義: 若A 是 矩陣, B 是 矩陣，且B的列向量是 b1, , bp, 則矩陣的乘積 AB 是 矩陣，它的各列是Ab1,

4、 , Abp. 即,矩陣乘法對應于線性變換的復合.AB 的每一列都是A 的各列的線性組合，以B 的對應列的元素為權.例 :計算 AB, 其中 ， .解: 記 , 計算 , ,則 Ab1Ab2Ab3 計算AB的行列法則 設 A = ( aij ) 是一個 ms 矩陣, B = ( bij ) 是一個 snA 與 B 的乘積記成 AB， 即 C = AB .規(guī)定 A 與 B 的乘積為一個 mn 矩陣 C = ( cij ) ，其中 A B = ABms sn mn 即：AB的第i行第j列元素 是A的第i行與B的第j列對應元素乘積之和. 例 3 例 4= O,顯然這正是矩陣與數(shù)的不同.但是這又是矩陣

5、與數(shù)的不 同.請記?。?.矩陣乘法不滿足交換律;2.不滿足消去律；3.有非零的零因子。 n 階矩陣 稱為單位矩陣. 定理2 設A 是mn矩陣, B 、C 的維數(shù)使下列各式有意義 4. Im A = A = A In解1解2定義4. 矩陣的冪 A 是一個n 階矩陣, k 是一個正整數(shù),規(guī)定矩陣的冪滿足規(guī)律其中 k , l 為正整數(shù).特別,對 A的0次冪，就定義為單位矩陣.例 8 解: 定義 5 將矩陣 A 的各行變成同序數(shù)的列得到的矩陣稱為 A 定理 3 設A, B 表示矩陣,其維數(shù)使下列各式有意義,則記為 AT.的轉置矩陣, 解一 因為所以 解二 2.2 矩陣的逆 定義 6 設 A是n階矩陣,

6、 若有n 階矩陣 B , 使 AB = BA = I, 如果矩陣 A 是可逆的, 則 A 的逆矩陣是唯一的, 記其為 A-1.則稱 A 是可逆矩陣，且稱 B 為 A 的逆矩陣.可逆矩陣又稱為非奇異矩陣, 不可逆矩陣則稱為奇異矩陣. 例1 所以 例2解: det A = 3(6)- 4(5) = -2 0, 因此 A可逆.定理 4 設 2階方陣A =若ad bc 0, 則A 可逆, 且有若ad bc = 0, 則A不可逆.數(shù)ad bc 稱為2階方陣A的行列式, 記為: det A = ad bc .定理4說明矩陣A可逆, 當且僅當其行列式不為零.例3 用A的逆矩陣解以下方程組定理5 若A是可逆的

7、n 階矩陣, 則對任一 Rn 中的向量 b,方程 Ax = b, 有唯一解 x = A-1 b.解:x = A-1 b =定理6 可逆矩陣滿足下述運算規(guī)律：證: 以下僅證2.因為設A , B 為同階可逆矩陣,則 AB 也可逆，且2.設A , B 為同階可逆矩陣,3. 若A可逆，則AT也可逆, 且有(AT)-1 = (A-1)T.特別: 定理6(2)可做如下推廣: 若干個n階可逆陣的積也可逆, 其逆為這些矩陣的逆按相反順序的乘積. 例 4 以下給出三個初等矩陣, 以及矩陣A定義7 對單位矩陣進行一次行變換得到的矩陣, 稱為初等矩陣.求 E1 A, E2 A以及E3 A.解:E1 A =E2 A

8、=E3 A =觀察發(fā)現(xiàn): E1由對單位矩陣的第一行乘(-4)加到第三行得到.E1A的結果則恰好是對矩陣A的第一行乘(-4)加到第三行.類似的結論對另外兩個初等矩陣同樣成立.進一步, 我們可以得到更為一般的結論: 若對mn矩陣A做某初等行變換, 則其效果等同于在A的左側乘上相應的初等矩陣E, 即EA, 該初等矩陣恰由單位矩陣經同樣的初等行變換得到. 注意到行變換是可逆的, 因此初等矩陣也可逆, 即有結論: 初等矩陣E必可逆, E的逆是同類型初等矩陣, 它把E變回I. 例 5下面的定理給出計算逆矩陣的算法.定理7 nn矩陣A是可逆的, 當且僅當A行等價于In, 此時, 把A變?yōu)镮n的一系列初等行變

9、換同時把In變成 A-1.由定理7就得到求 A-1的算法: 把增廣矩陣A I進行行化簡, 若A行等價于I,則A I 行等價于I A-1, 否則A沒有逆. 例6 求矩陣A 的逆.解:A I = 因此,= I A-1 下面從另一個角度來看矩陣的逆. 用e1, en表示In的各列. 則可以把A I行變換為I A-1的過程看作解下面的n個方程組.Ax= e1, Ax= e2, , Ax= en 其中這些方程組的”增廣列”都放在A的右邊,構成矩陣A e1 e2 en = A I 方程A A-1 =I及矩陣乘法定義說明A-1的各列正好是上述方程的解. 2.3 可逆矩陣的特征定理8 (可逆矩陣定理)設A是n

10、n矩陣, 則下列命題是等價的, a. A是可逆矩陣.b. A等價于nn單位矩陣.c. A有n個主元位置.d. 方程 Ax = 0 僅有平凡解.e. A的各列線性無關.h. A的各列生成Rn.g. 對Rn 中任意的列向量b, 方程Ax = b至少有一個解.j. 存在于nn矩陣C使CA = I.k. 存在于nn矩陣D使AD = I.l. AT是可逆矩陣.f.線性變換x - Ax 是一對一的. (不講)i. 線性變換x - Ax 把Rn 映上到 Rn上. (不講)由定理8及2.2節(jié)習題8, 有下述重要的結論:設A和B是方陣, 若AB=I, 則A和B都可逆, 且 B=A-1, A=B-1.例1. 應用

11、定理8判斷下述矩陣A是否可逆:解: 矩陣A有3個主元位置, 由定理8的(3), 矩陣可逆. 2.4 分塊矩陣定義8. 對給定的矩陣A用水平線和豎直線劃分得到的矩陣 稱為原矩陣的分塊矩陣.例1. 可作如下分塊, 得到分塊矩陣. 解: 分塊矩陣的運算規(guī)則(2) 分塊矩陣的標量乘法(3) 分塊矩陣的乘法(5) 分塊對角矩陣(4) 分塊矩陣的轉置例2. 解: A + B = 解 把 A，B 分塊成則其中而所以用矩陣分塊的思想討論矩陣乘法的觀點：(1) 使用A 的列來給出Ax 的定義(2) AB 的列的定義(3) 計算AB 的行列法則(4) A 的行與矩陣B 的乘積作為AB 的行 例4, 設 求AB.解

12、:AB = col1(A)row1 (B) + col2(A)row2(B) + col3(A)row3 (B)接下來，應用分塊的思想給出AB 第5種觀點(矩陣乘法的列行展開).col2(A)row2 (B) =上例具有一般的意義，即有下面的定理.col3(A)row3 (B) =col1(A)row1 (B) = = col1(A)row1 (B) + + coln(A)rown (B)AB =設A是mn矩陣， B是np矩陣, 則有定理10 (AB的列行展開)分塊對角矩陣利用分塊行初等變換證明分塊矩陣的逆例5 設解 例6. 形如 A = 解: 用B表示A-1且分塊, 則有該矩陣方程又可寫作:

13、的矩陣稱為分塊上三角矩陣, 設A11是pp矩陣, A22是qq矩陣, 且A是可逆陣. 求A-1的表達式. A11 B11 + A12 B21 = Ip (1) A11 B12 + A12 B22 = 0 (2)A22 B21 = 0 (3) A22 B22 = Iq (4)由可逆陣定理, 以及(4)可知 A22可逆, 且有: B22 = A22 -1 .綜上可得:由(3)可知 A22 -1 A22 B21 = IqB21 = B21 = A22 -1 0 = 0.因此式(1)可化為: A11 B11 = Ip , 同理, B11 = A11 -1 .最后由式(2)可得: A11 B12 = -

14、A12 B22 = -A12 A22 -1, 由此求得:且有: B12 = - A11 -1 A12 A22 -1 .A-1 =解法2：利用分塊行初等變換證明 2.8 Rn 的子空間定義9. Rn中一個子空間是Rn中的集合H, 具有以下三條性質:1. 零向量屬于H.2. 對H中任意向量u和v, u+v仍屬于H.3. 對H中任意向量u和數(shù)c, cu屬于H.即: 子空間對向量的加法和標量乘法運算是封閉的.例1. v1 和v2是Rn中的向量, H = Spanv1 , v2, 則H是Rn的子空間.證: 任取H中兩向量: u= s1 v1 + s2 v2, v= t1 v1 + t2 v2則 u+v

15、= (s1 + t1 )v1 + (s2 + t2) v2屬于H.同樣，任給數(shù)c, cu= (cs1)v1 + (cs2) v2 也屬于H.以下是H = Spanv1 , v2的圖形, 可以發(fā)現(xiàn)平面H過原點.事實上，由子空間定義的條件一， 任給子空間H必過原點.若v1不等于 零, 且v2是v1的倍數(shù), 則H是過原點的直線, 見下圖.例2. 不通過原點的直線不是子空間，因為它對加法，標量乘 法運算不封閉. 見下圖. 例3. 設 v1 , ,vp 屬于Rn, 則 H = Spanv1 , , vp是子空間,我們稱H是由v1 , ,vp生成(張成)的子空間.定義10. 矩陣A的列空間是A的各列生成的

16、集合, 記為Col A .例4. 給定下面的矩陣A和向量b, 問b是否屬于A的列空間.解: 向量b屬于Col A等價于b是A的各列的線性組合, 這又等價于方程 Ax = b有解, 因此 只需對增廣陣A b 作行變換.可知方程 Ax = b有解, 因此向量b屬于A的列空間.定義11. 矩陣A的零空間是齊次方程 Ax=0 的所有解的集合,記為Nul A .定理12. mn矩陣A 的零空間是Rn的子空間. 等價地, n個未知數(shù)的m個齊次線性方程的解的全體是Rn的子空間. 要檢驗向量v是否屬于Nul A, 只需驗證Av = 0 . 定義12. Rn中子空間H的一組基是H中一個線性無關集,并且它生成 H

17、.例5. 可逆n階方陣的各列構成Rn的一組基, 因為它們線性無關,而且生成Rn. 例如單位矩陣, 它的各列用e1 , ,en表示:向量集 e1 , ,en 稱為Rn的標準基 .下圖為R3的標準基的圖形表示 .下面討論如何求Nul A的基.例6. 求下列矩陣的零空間的基.解： 由零空間的定義可知, 求零空間的基就是求 Ax = 0的解的參數(shù)向量形式.還原為方程形式： x1 2 x2 - x4 + 3 x5 = 0 x3 + 2 x4 - 2 x5 = 00 = 0通解為： x1 = 2x2 + x4 - 3x5 , x3 = -2x4 + 2x5 , x2 , x4 , x5 是自由變量. =

18、x1u + x4v + x5w 上式說明u , v , w 生成Nul A, 且它們是線性無關的, 因此,u , v , w 構成Nul A的基.下面討論如何求列空間Col A的基.例7. 求下列矩陣的列空間的基.Nul A的基向量個數(shù)正好就是自由變量的個數(shù)。解: 用 b1 , b5 表示B的列,可以注意到 b1, b2, b5 是主元列,而 b3 = -3b1+ 2b2, b4 = 5b1- b2, 這意味著Col B由b1, b2, b5生成.又因為b1, b2, b5 線性無關, 故B的主元列構成Col B的基. 上例中的矩陣B是簡化階梯形, 那么對于一般矩陣A又如何處理呢? 注意到A的

19、各列間的線性關系可表示成Ax=0, 當A化為簡化階梯形B時, 其列雖然改變, 但Ax=0與Bx=0有相同的解,也就是說, A的列與B的列有相同的線性關系.解: 由例7, A的主元列是1,2,5列, 又b3 = -3b1+ 2b2, b4 = 5b1- b2,例8. 已知下列矩陣A行等價于例7的矩陣B, 求Col A的一組基.因行變換不改變列的線性關系, 故有: a3 = -3a1+ 2a2, a4 = 5a1- a2,同樣a1, a2, a5 也線性無關, 故構成Col A的基. 由例8的討論, 我們有下面的定理:定理13. 矩陣A 的主元列構成列空間的基. 6 維數(shù)與秩 對于子空間H選定一組基, 其好處在于, 對于H中的任意向量, 都可以被該組基向量唯一地線性表示.定義13. 設B = b1, , bp 是子空間H的一組基,對H中的每一個向量x, 相對于基B的坐標是使x= c1b1 + cpbp成立的權值c1, cp, 且Rn中的向量:稱為x (相對于B)的坐標向量, 或x的B-坐標向量.例1. 給定向量v1, v2, x. B = v1, v2是H = Spanv1, v2的基.問: x是否在H中? 若是, 求x相對于基B的坐標向量.解: 若x在H中, 則向量方程 c1v1 + c2v2 = x必有解. 由行操作:得x在基B下的坐