《線性代數(shù)及其應(yīng)用》第七章 對稱矩陣和二次型

1、 第七章 對稱矩陣和二次型7.1 對稱矩陣的對角化 定義 1 一個矩陣 若滿足 則稱為這個矩陣為 對稱矩陣。 說明：（2）對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。（1）對稱矩陣是方陣；例1:例2: 如果可能，對角化矩陣解：A 的特征多項式為所以 A 的三個特征值為: 當(dāng)時, 解方程組即解得當(dāng)時, 解方程組即解得當(dāng)時, 解方程組即解得 顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交, 現(xiàn)把它們單位化.令再令則 P 為正交矩陣, 且有 注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解釋了原因。定理1 如果A是對稱矩陣，那么不同特征空間的任意兩個 特征向量是正交的。證明： 設(shè) 和 是對應(yīng)不同特征值 的特征向量，

2、由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .因 A 對稱, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,即 (1 - 2 )p1Tp2 = 0 .但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 與 p2 正交. 正交對角化定義：.一個矩陣A 稱為可正交對角化，如果存在一個正交矩陣P ( 滿足 ) 和一個對角矩陣D 使得: 成立。 注：下面定理2表明每個對稱矩陣都可以正交對角化。定理2 一個 矩陣A可正交對角化的充分必要條件是A是 對稱矩陣。歸納

3、：對稱矩陣正交對角化的步驟步驟 1 ：求出矩陣 A 的所有特征值，設(shè) A有S個不同的特征值 1 , 2 , , s ，它們的重數(shù)分別為 n1 , n2 , , ns , n1 + n2 + + ns = n. 步驟 2 : 對 A 的每個特征值 i ,求(A - i E)x=0的基礎(chǔ)解系, 設(shè)為( i = 1, 2, , s). 并把它們正交化、單位化，仍記為，以這些向量為列構(gòu)造矩陣則 P 為正交矩陣，且 P-1AP = .要注意矩陣 P 的列與對角矩 陣 主對角線上的元素( A 的特征值 ) 之間的對應(yīng)關(guān)系. 例 4 設(shè)求正交矩陣 P , 使 P-1AP 為對角矩陣.A 的特征多項式為解所以

4、 A 的三個特征值為: 時, 解方程組當(dāng)即解得當(dāng)時, 解方程組即解得 顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交, 現(xiàn)把它們單位化.令再令則 P 為正交矩陣, 且有方法評注在求正交矩陣 P 把對稱矩陣 A 對角化時，若 A 有重特征值，在求該重特征值對應(yīng)的特征向量時，可直接求出正交的特征向量，這樣可避免正交化過程，從而簡化計算。注：此題與課本上第396頁的例3解法有所不同。例3要對線性無關(guān)但不正交的特征向量，通過格拉姆-施密特正交化。因 A 對稱，故 A 可對角化，即有可逆矩陣P及對角陣，使 P-1AP = . 于是A = PP-1 ，從而An = PnP-1 .由得 A 的特征值 1 = 1

5、， 2 = 3 .于是解例 5 設(shè)求 An .當(dāng) 1 = 1 時， 解方程 (A E )x = 0，即得當(dāng) 2 = 3 時， 解方程 (A 3E )x = 0，即得令再求出于是譜定理 矩陣 A 的特征值的集合有時稱為 A 的譜，且下面關(guān)于 A的特征值描述稱為譜定理。 定理3 （對稱矩陣的譜定理） 一個對稱的 矩陣具有下面特性： a. A 有 n個實特征值，包含重復(fù)的特征值。 b. 對每一個特征值，對應(yīng)特征子空間的維數(shù)等于 作為特征方程的重數(shù)。 c. 特征空間相互正交，這種正交性是在特征向量對應(yīng) 不同特征值的意義下成立的。 d. A 可正交對角化 。 7.2 二次型定義1. 上的一個二次型是一個

6、定義在 上的函數(shù)，它 在向量x處的值可由表達(dá)式 計算，此處 A是一個 對稱矩陣，且矩陣A稱為關(guān)于二次型 的矩陣。 注1：二次型 也可以寫成： f(x1 , x2 , , xn) = a11x12 + a12x1x2 + + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + + a2nx2xn + + an1 xnx1 + an2xnx2 + + annxn2 其中 aij = aji 。注2：實二次型與實對稱矩陣之間就建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。 例 1 令 計算矩陣 A的解 例 2 對屬于 的 ，取寫出 的二次型。解 對于二次型，我們討論的主要問題是尋求可逆的線性變換x = Cy，把二次型

7、化為只含有平方項，而沒有交叉乘積項出現(xiàn)。二次型的變量代換 例 3 求一個變量代換將二次型變?yōu)闆]有交叉項的二次型。二次型f 的矩陣 A 為A 的特征多項式為 解所以 A 的特征值為當(dāng)時, 解方程組即得2個線性無關(guān)的特征向量當(dāng)時, 解方程組即得1個特征向量 則 p1 , p2 , p3 為 A 的三個線性無關(guān)的特征向量且這三個向量兩兩正交.現(xiàn)把它們單位化. 令令則且 令 x = Py, 則 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為定理4 （主軸定理） 設(shè)A是一個 對稱矩陣，那么存在一個正交變量變換 ，它將二次型 變換為不含交叉項的二次型二次型的分類 定義 一個二次型 是a. 正定的，如果對所有 ，有 b. 負(fù)定的，如果對所

8、有 ，有 c. 不定的，如果對所有 既有正值又有負(fù)值。 注： 被稱為半正定的，如果對所有 被稱為半負(fù) 的，如果對所有 定理5 （二次型與特征值）設(shè)A是 對稱矩陣，那么A對應(yīng)的二次型是：a. 正定的，當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是正數(shù)。 b. 負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是負(fù)數(shù)。 c. 不定的，當(dāng)且僅當(dāng)A既有正特征值又有負(fù)特征值。 例4 判定下列二次型的正定性：二次型 Q 的矩陣 A 為解 例5 設(shè) f(x1 , x2 , , xn) = xTAx 為正定二次型, 證明: |E + A| 1.證明因為f為正定二次型, 所以 A 的特征值全大于零，即 1 0, 2 0, , n 0 . 且A的特征值是

9、1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。而 E + A 的特征值為 1+ 1, 2 + 1, , n + 1, 故 |E + A| = (1+ 1)(2 + 1) (n + 1)1 . 證畢 注 利用二次型的分類，相應(yīng)地得到矩陣的形式分類。一個正 定矩陣A是一個對稱矩陣，且二次型 是正定的。其 他形式的矩陣（如半正定矩陣）的概念可以類似定義。 例6 設(shè) B 為 mn 實矩陣, 證明: Bx = 0 只有零解的充 要條件是 BTB 為正定矩陣.證明 Bx = 0 只有零解 當(dāng) x 0 時, Bx 0, x 0 , xT(BTB)x = |Bx|2 0, BTB 為正定矩陣. 證畢第5、6、7章 小 結(jié)概念：內(nèi)積、正交、特征值