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1、 第七章 對稱矩陣和二次型7.1 對稱矩陣的對角化 定義 1 一個矩陣 若滿足 則稱為這個矩陣為 對稱矩陣。 說明:(2)對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。(1)對稱矩陣是方陣;例1:例2: 如果可能,對角化矩陣解:A 的特征多項式為所以 A 的三個特征值為: 當(dāng)時, 解方程組即解得當(dāng)時, 解方程組即解得當(dāng)時, 解方程組即解得 顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交, 現(xiàn)把它們單位化.令再令則 P 為正交矩陣, 且有 注:例2中的特征向量是正交的。下列定理解釋了原因。定理1 如果A是對稱矩陣,那么不同特征空間的任意兩個 特征向量是正交的。證明: 設(shè) 和 是對應(yīng)不同特征值 的特征向量,
2、由已知有 1p1 = Ap1 , 2p2 = Ap2 , 1 2 .因 A 對稱, 故 1p1T = (1p1)T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA ,于是 1 p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2 ) = 2 p1Tp2 ,即 (1 - 2 )p1Tp2 = 0 .但 1 2 , 故 p1Tp2 = 0, 即 p1 與 p2 正交. 正交對角化定義:.一個矩陣A 稱為可正交對角化,如果存在一個正交矩陣P ( 滿足 ) 和一個對角矩陣D 使得: 成立。 注:下面定理2表明每個對稱矩陣都可以正交對角化。定理2 一個 矩陣A可正交對角化的充分必要條件是A是 對稱矩陣。歸納
3、:對稱矩陣正交對角化的步驟步驟 1 :求出矩陣 A 的所有特征值,設(shè) A有S個不同的特征值 1 , 2 , , s ,它們的重數(shù)分別為 n1 , n2 , , ns , n1 + n2 + + ns = n. 步驟 2 : 對 A 的每個特征值 i ,求(A - i E)x=0的基礎(chǔ)解系, 設(shè)為( i = 1, 2, , s). 并把它們正交化、單位化,仍記為,以這些向量為列構(gòu)造矩陣則 P 為正交矩陣,且 P-1AP = .要注意矩陣 P 的列與對角矩 陣 主對角線上的元素( A 的特征值 ) 之間的對應(yīng)關(guān)系. 例 4 設(shè)求正交矩陣 P , 使 P-1AP 為對角矩陣.A 的特征多項式為解所以
4、 A 的三個特征值為: 時, 解方程組當(dāng)即解得當(dāng)時, 解方程組即解得 顯然, p1 , p2 , p3 兩兩正交, 現(xiàn)把它們單位化.令再令則 P 為正交矩陣, 且有方法評注在求正交矩陣 P 把對稱矩陣 A 對角化時,若 A 有重特征值,在求該重特征值對應(yīng)的特征向量時,可直接求出正交的特征向量,這樣可避免正交化過程,從而簡化計算。注:此題與課本上第396頁的例3解法有所不同。例3要對線性無關(guān)但不正交的特征向量,通過格拉姆-施密特正交化。因 A 對稱,故 A 可對角化,即有可逆矩陣P及對角陣,使 P-1AP = . 于是A = PP-1 ,從而An = PnP-1 .由得 A 的特征值 1 = 1
5、, 2 = 3 .于是解例 5 設(shè)求 An .當(dāng) 1 = 1 時, 解方程 (A E )x = 0,即得當(dāng) 2 = 3 時, 解方程 (A 3E )x = 0,即得令再求出于是譜定理 矩陣 A 的特征值的集合有時稱為 A 的譜,且下面關(guān)于 A的特征值描述稱為譜定理。 定理3 (對稱矩陣的譜定理) 一個對稱的 矩陣具有下面特性: a. A 有 n個實特征值,包含重復(fù)的特征值。 b. 對每一個特征值,對應(yīng)特征子空間的維數(shù)等于 作為特征方程的重數(shù)。 c. 特征空間相互正交,這種正交性是在特征向量對應(yīng) 不同特征值的意義下成立的。 d. A 可正交對角化 。 7.2 二次型定義1. 上的一個二次型是一個
6、定義在 上的函數(shù),它 在向量x處的值可由表達(dá)式 計算,此處 A是一個 對稱矩陣,且矩陣A稱為關(guān)于二次型 的矩陣。 注1:二次型 也可以寫成: f(x1 , x2 , , xn) = a11x12 + a12x1x2 + + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + + a2nx2xn + + an1 xnx1 + an2xnx2 + + annxn2 其中 aij = aji 。注2:實二次型與實對稱矩陣之間就建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。 例 1 令 計算矩陣 A的解 例 2 對屬于 的 ,取寫出 的二次型。解 對于二次型,我們討論的主要問題是尋求可逆的線性變換x = Cy,把二次型
7、化為只含有平方項,而沒有交叉乘積項出現(xiàn)。二次型的變量代換 例 3 求一個變量代換將二次型變?yōu)闆]有交叉項的二次型。二次型f 的矩陣 A 為A 的特征多項式為 解所以 A 的特征值為當(dāng)時, 解方程組即得2個線性無關(guān)的特征向量當(dāng)時, 解方程組即得1個特征向量 則 p1 , p2 , p3 為 A 的三個線性無關(guān)的特征向量且這三個向量兩兩正交.現(xiàn)把它們單位化. 令令則且 令 x = Py, 則 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為定理4 (主軸定理) 設(shè)A是一個 對稱矩陣,那么存在一個正交變量變換 ,它將二次型 變換為不含交叉項的二次型二次型的分類 定義 一個二次型 是a. 正定的,如果對所有 ,有 b. 負(fù)定的,如果對所
8、有 ,有 c. 不定的,如果對所有 既有正值又有負(fù)值。 注: 被稱為半正定的,如果對所有 被稱為半負(fù) 的,如果對所有 定理5 (二次型與特征值)設(shè)A是 對稱矩陣,那么A對應(yīng)的二次型是:a. 正定的,當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是正數(shù)。 b. 負(fù)定的,當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值是負(fù)數(shù)。 c. 不定的,當(dāng)且僅當(dāng)A既有正特征值又有負(fù)特征值。 例4 判定下列二次型的正定性:二次型 Q 的矩陣 A 為解 例5 設(shè) f(x1 , x2 , , xn) = xTAx 為正定二次型, 證明: |E + A| 1.證明因為f為正定二次型, 所以 A 的特征值全大于零,即 1 0, 2 0, , n 0 . 且A的特征值是
9、1,2,2和5,所以二次型是正定二次型。而 E + A 的特征值為 1+ 1, 2 + 1, , n + 1, 故 |E + A| = (1+ 1)(2 + 1) (n + 1)1 . 證畢 注 利用二次型的分類,相應(yīng)地得到矩陣的形式分類。一個正 定矩陣A是一個對稱矩陣,且二次型 是正定的。其 他形式的矩陣(如半正定矩陣)的概念可以類似定義。 例6 設(shè) B 為 mn 實矩陣, 證明: Bx = 0 只有零解的充 要條件是 BTB 為正定矩陣.證明 Bx = 0 只有零解 當(dāng) x 0 時, Bx 0, x 0 , xT(BTB)x = |Bx|2 0, BTB 為正定矩陣. 證畢第5、6、7章 小 結(jié)概念:內(nèi)積、正交、特征值
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