高等數(shù)學(xué)第六版下期知識(shí)點(diǎn)超詳細(xì)

1、第八章向量與剖析幾何向量代數(shù)兩點(diǎn)間的距離公式：AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角,向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向.記作a或aaxiayjazk(ax,ay,az)ABaxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模記作aaax2ay2az2和差單位向量方向余弦點(diǎn)乘（數(shù)量積）叉乘（向量積）cabcabcaba0a，則eaa設(shè)a與x,y,z軸的夾角分別為，則方向余弦分別為cos，cos，cosababcos，為向量a與b的夾角cabsin為向量a與b的夾角向量c與a，b都垂直cabaxbx,ayb

2、y,az(ax,ay,az)eaa2a2a2xyzcosax，cosay，cosaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21abaxbxaybyazbzijkabaxayazbxbybz定理與公式bzaza垂直平行交角余弦投影abab0abaxbxaybyazbz0a/bab0a/baxayazbxbybz兩向量夾角余弦axbxaybyazbzabcoscosax2ay2az2bx2by2bz2ab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzabprjbabxbybzprjbaacos(ab)222b-2-/10曲面、空間曲線與其方程1、曲面與其方程:F(x,y,z)=

3、0，旋轉(zhuǎn)曲面【繞誰不換誰，正負(fù)根號(hào)里沒有誰；作圖時(shí)先畫母線爾后繞其軸旋轉(zhuǎn)之】，柱面【柱面三缺一，缺誰母線就平行于誰；作圖時(shí)先畫準(zhǔn)線聯(lián)合母線特點(diǎn)得柱面】，二次曲面【截痕法與伸縮變形法作圖】；要熟悉常有的曲面與其方程并會(huì)作2、旋轉(zhuǎn)曲面：yoz面上曲線C:f(y,z)0，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周：f(y,x2z2)0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周：f(x2y2,z)01、柱面：F(x,y)x2、二次曲面:橢圓錐面：ax2y2旋轉(zhuǎn)橢球面：a2a2x2y2雙葉雙曲面：a2b2x2雙曲拋物面（馬鞍面）：a2x2y2雙曲柱面：a2b2空間曲線與其方程:F(x,y,z)F(x,y)0表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為z02y2z2橢球面：x2

4、y22222babz21單葉雙曲面：x2y2c2a2b2z21橢圓拋物面：x2y2c2a2b2y2z橢圓柱面：x2y2b2a2b21拋物柱面：x2ayxx(t)00的柱面z21c2z21c2z1一般方程：參數(shù)方程：yy(t)G(x,y,z)0zz(t)xacostF(x,y,z)如螺旋線：yasint空間曲線在坐標(biāo)面上的投影G(x,y,z)zbtH(x,y)0線在面xoy上的投影z00，消去z，獲得曲0-3-/10曲線（曲面或空間立體）在坐標(biāo)面上的投影：投誰便消去誰平面方程與直線方程平面直線法向量nA,B,C點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方向向量Tm,n,p點(diǎn)M0(x0,y0,z0)方程名稱方程形

5、式與特點(diǎn)方程名稱方程形式與特點(diǎn)一般式AxByCzD0一般式A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20點(diǎn)法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0點(diǎn)向式xx0yy0zz0mnpxx1yy1zz1xx0mt三點(diǎn)式x2x1y2y1z2z10參數(shù)式y(tǒng)y0ntx3x1y3y1z3z1zz0pt截距式xyz兩點(diǎn)式xx0yy0zz01x1x0y1y0z1z0abc面面垂直A1A2B1B2C1C20線線垂直m1m2n1n2p1p20面面平行A1B1C1線線平行m1n1p1A2B2C2m2n2p2線面垂直ABC線面平行AmBnCp0mnp點(diǎn)面距離面面距離M0(x0,y0,z0)AxByCzD0AxByCz

6、D10AxByCzD20Ax0By0Cz0DdD1D2dA2B2C2B2C2A2面面夾角線線夾角線面夾角n1A1,B1,C1n2A2,B2,C2s1m1,n1,p1s2m2,n2,p2sm,n,pnA,B,C|A1A2B1B2C1C2|cosm1m2n1n2p1p2sinAmBnCpcosB12C12A22B22C22A2B2C2m2n2p2A12m12n12p12m22n22p22第九章多元函數(shù)微分法與其應(yīng)用（一）基本見解距離，鄰域，點(diǎn)，外點(diǎn)，界線點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，地區(qū)，閉地區(qū)，有界集，無界集。1、多元函數(shù)：zf(x,y)，圖形：2、極限：limf(x,y)A(x,y)(x0,y

7、0)3、連續(xù)：limf(x,y)f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)4、偏導(dǎo)數(shù)：fx(x0,y0)limf(x0 x,y0)f(x0,y0)xx0-4-/10f(x0,y0y)f(x0,y0)fy(x0,y0)limyy05、方導(dǎo)游數(shù)：6、梯度：zffflcoscosxyf(x,y)，則gradf(x0,y0)其中,為l的方向角。fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。7、全微分：設(shè)zf(x,y)，則dzzdxzdyxy（二）性質(zhì)1、函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等見解之間的關(guān)系：12偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在充分條件必要條件42定義3函數(shù)連續(xù)2、閉地區(qū)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性

8、定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定義：ux2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒ɡ齴vy若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，則zzuzvzzuzvxuxvx，yuyvy3）隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，爾后解方程（組）（三）應(yīng)用1、極值1）無條件極值：求函數(shù)zf(x,y)的極值fx0解方程組fy0求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，令A(yù)fxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，若ACB20，A0，函數(shù)有極小值，若ACB20，A0，函數(shù)有極大值；-5-/10若ACB20，函數(shù)沒有極值；若ACB20，不定。2）條件極值：求函數(shù)zf(x,y)在條件(x,y

9、)0下的極值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函數(shù)Lx0解方程組Ly0(x,y)02、幾何應(yīng)用1）曲線的切線與法平面xx(t)曲線:yy(t)，則上一點(diǎn)M(x,y,z)（對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0）處的000zz(t)xx0yy0zz0切線方程為：x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程為：x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)02）曲面的切平面與法線曲面:F(x,y,z)0，則上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切平面方程為：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 xx0yy0zz0法線方程為：Fx(

10、x,y,z)Fy(x0,y,z)F(x0,y,z)00000z00 x(t)，切“線”方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)y(t)，切向量空z(t)，T(t0),(t0),(t0)法平“面”方程：間(t)(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0曲線切“線”方程：xx0yy0zz0：1(x0)(x0)y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0-6-/10F(x,y,z)0空間曲面：zf(x,y)法向量(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)n(fx(x0,y0),f

11、y(x0,y0),1)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“線“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“線“方程：xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重積分重積分積分種類計(jì)算方法典型例題（1）利用直角坐標(biāo)系X型f(x,y)dxdyb2(x)f(x,y)dydx1(x)DaP141例1、例3Y型

12、f(x,y)dxdyd2(y)f(x,y)dxdy1(y)Dc二重積分（2）利用極坐標(biāo)系Ifx,ydD使用原則(1)積分地區(qū)的界線曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段)；平面薄片的質(zhì)(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2y2),為實(shí)數(shù))量質(zhì)量=面密度面積P147例5f(cos,sin)ddD2(),sin)ddf(cos1()02023）利用積分地區(qū)的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D對(duì)于y軸對(duì)稱時(shí)，（對(duì)于x軸對(duì)稱時(shí)，有近似結(jié)論）P141例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便-7-/100f(x,y)對(duì)于即f(x,y)I2f(x,y)dxdyf(x,y)對(duì)于x是奇函數(shù)，(x,y)x是偶函數(shù)，1即f(x,y

13、)f(x,y)D1是D的右半部分計(jì)算步驟與注意事項(xiàng)1畫出積分地區(qū)2選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域界線應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)對(duì)于坐標(biāo)變量易分別3確定積分序次原則：積分地區(qū)別塊少，累次積分好算為妙4確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5計(jì)算要簡(jiǎn)易注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性三重積分If(x,y,z)dv投影法(1)利用直角坐標(biāo)截面法投影f(x,y,z)dVby2(x)z2(x,y)dxdyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)xrcos（2）利用柱面坐標(biāo)yrsinzz相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)變換成極坐標(biāo)合用圍:1積分地區(qū)表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如旋轉(zhuǎn)體P159例1P160例2有

14、先一后二和先二后一之分P161例32變量易分別.如f(x22)f(x22)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)yzf(x,y,z)dVbdr2()cos,sin,z)ddzf(空間立體物的ar1()質(zhì)量xcosrsincos（3）利用球面坐標(biāo)ysinrsinsin質(zhì)量=密度zrcos面積dvr2sindrddP16510-(1)合用圍:積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如，球體，錐體.12變量易分別.如，f(x2y2z2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)222(,)sincos,sinsin,cos)2sindIdd1(f(11,)（4）利用積分地區(qū)的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分-8-/1

15、0積分種類第一類曲線積分If(x,y)dsL曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長(zhǎng)曲線積分與曲面積分計(jì)算方法典型例題參數(shù)法（轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分）（1）L:y(x)If(t),(t)2(t)2(t)dt（x(t)(t2f(x,y(x)1y2(x)dx）L:)IP189-例1by(t)aP1903平面第二類曲線積分IPdxQdyL變力沿曲線所做的功（3）rr()(xr()cos)L:r()sinyIf(r()cos,r()sin)r2()r2()d1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分）x(t)L:(t單一地從到)y(t)PdxQdyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL2）利用格林公式（轉(zhuǎn)變?yōu)槎胤e分）條件：L

16、關(guān)閉，分段圓滑，有向（左手法例圍成平面地區(qū)D）P，Q擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：PdxQdy(QP)dxdyLxyD知足條件直策應(yīng)用應(yīng)用：有瑕點(diǎn)，挖洞不是關(guān)閉曲線，增添輔助線（3）利用路徑?jīng)]關(guān)定理（特別路徑法）等價(jià)條件：QPPdxQdy0 xyLQdy與路徑?jīng)]關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)相關(guān)LPdxPdxQdy擁有原函數(shù)u(x,y)（特別路徑法，偏積分法，湊微分法）（4）兩類曲線積分的聯(lián)系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分）P196-例1、例2、例3、例4P205例4P214-5(1)(4)P211-例5、例6、例7空間第二類曲線積分IPdxQdyRdzL變力沿曲線所做的功Pd

17、xQdyRdzP(t),(t),(t)(t)Q(t),(t),(t)(t)R(t),(t),(t)(t)dtP240-例12）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)變第二類曲面積分）條件：L關(guān)閉，分段圓滑，有向P，Q，R擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：-9-/10第一類曲面積分If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積第二類曲面積分PdxQdyRdzL(RQ)dydz(PR)dzdx(Qp)dxdyyzzxxy知足條件直策應(yīng)用應(yīng)用：不是關(guān)閉曲線，增添輔助線投影法zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)1zx2zy2dxdyDxy近似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公式（1）投

18、影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1Dyz：zz(x,y)，為的法向量與x軸的夾角前側(cè)取“+”，cos0；后側(cè)取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2Dyz：yy(x,z)，為的法向量與y軸的夾角右側(cè)取“+”，cos0；左側(cè)取“”，cos0P217-例1、例2P226-例2QdxdyQ(x,y,z(x,y)dxdy3DyzIPdydzQdzdxRdxdy：xx(y,z)，為的法向量與x軸的夾角上側(cè)取“+”，cos0；下側(cè)取“”，cos0（2）高斯公式右手法例取定的側(cè)條件：關(guān)閉，分片圓滑，是所圍空間閉地區(qū)的外側(cè)流體流向曲面一側(cè)的流P，Q，R擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)量

19、結(jié)論：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyz知足條件直策應(yīng)用應(yīng)用：不是關(guān)閉曲面，增添輔助面（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS變換投影法：dydz(z)dxdydzdx(z)dxdyxy所有種類的積分：1定義：四步法切割、代替、求和、取極限；2性質(zhì)：對(duì)積分的圍擁有可加性，擁有線性性；3對(duì)坐標(biāo)的積分，積分地區(qū)對(duì)稱與被積函數(shù)的奇偶性。P231-例1、例2P228-例3-10-/10第十二章級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)常交叉數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性無冪和窮級(jí)函級(jí)數(shù)數(shù)數(shù)展成冪級(jí)數(shù)T2傅T2l立葉級(jí)數(shù)周期延拓若級(jí)數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂1兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂2用收斂定義，limsn存在注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng)不改變其收斂性3若級(jí)數(shù)收斂