13.3.2 等邊三角形（課件）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）

1、人教版 八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第十三章 軸對(duì)稱 13.3.2 等邊三角形 含30直角三角形的性質(zhì) 生活中有很多等邊三角形，如交通圖標(biāo)、臺(tái)球室的三角架等，它們都是等邊三角形.思考：在上一節(jié)課我們證明等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關(guān)系呢？等腰三角形中有哪些相等的線段？情景引入名稱圖 形定 義性 質(zhì) 判 定等 腰 三 角 形等邊對(duì)等角三線合一等角對(duì)等邊兩邊相等兩腰相等軸對(duì)稱圖形ABC有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形回顧引入等腰三角形等邊三角形一般三角形定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。一般三角形等腰三角形等邊三角形（底腰）底腰有二條邊相等什么是等邊三角形？它與一般三角形有什么

2、區(qū)別？等邊三角形也叫做正三角形是特殊的等腰三角形合作探究ABCABC思考1： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=ACB=C等邊三角形AB=AC=BCAB=ACB=CAC=BCA=BA=B=C=60你能說(shuō)一下推理過(guò)程嗎？一、等邊三角形的性質(zhì)推理歸納證明：ABC 是等邊三角形， BC =AC，BC =AB A =B，A =C A =B =C A +B +C =180， A =60 A =B =C =60已知：ABC 是等邊三角形 求證：A =B =C=60ABC結(jié)論1:等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60.ABCABC思考2： 等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三

3、角形有幾條對(duì)稱軸？結(jié)論2:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.頂角的平分線、底邊的高、底邊的中線三線合一一條對(duì)稱軸三條對(duì)稱軸圖形等腰三角形性 質(zhì) 每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合三個(gè)內(nèi)角都相等，對(duì)稱軸（3條）等邊三角形對(duì)稱軸（1條）兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60兩條邊相等三條邊都相等歸納小結(jié)ABCDEF利用等邊三角形三線合一填空： ABAC，BDDC , ； ABBC，AEEC , ； ACBC，AFFB , .BADCADADBCABECBEBEACACFBCFCFAB例1 如圖，ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是

4、BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度數(shù)解：ABC是等邊三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE604020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.變式1如圖，ABC是等邊三角形，BD平分ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD求證：BD=DE證明：ABC是等邊三角形，BD是角平分線，ABC=ACB=60，DBC=30又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角對(duì)等邊）（2） 一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？ （3）一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形?有一個(gè)角是60的等腰三

5、角形是等邊三角形.三條邊相等的三角形是等邊三角形（定 義）.三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形. （1）等邊三角形有哪些性質(zhì)？等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角相等，“三線合一”.思考：你能證明這些定理嗎？二、等邊三角形的判定ABC已知：如圖，A=B=C.求證：AB=AC=BC. A= B, AC=BC. B=C, AB=AC.AB=AC=BC.證明：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.證明：ABC已知： 若AB=AC ,A= 60.求證： AB=AC=BC.AB=AC , A= 60 ，BC (180A)2= 60.A= B=C.AB=AC=BC.證明：有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.證明：證

6、明完整嗎？是不是還有另一種情形呢？證明:AB=AC,B=60(已知),C=B=60(等邊對(duì)等角)，A=60(三角形內(nèi)角和定理)A=B =C=60 ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).已知:如圖,在ABC中，AB=AC,B=60求證:ABC是等邊三角形第二種情況：有一個(gè)底角是60.ACB601.定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.等邊三角形的判定方法：3.定理：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形2.定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.推導(dǎo)過(guò)程：ABBCCA， ABC是等邊三角形.推導(dǎo)過(guò)程：A B C， ABC是等邊三角形.推導(dǎo)過(guò)程：ABAC，A 60， ABC等

7、邊三角形.CBA結(jié)論 等邊三角形性質(zhì)判定的條件三條邊都相等“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合有一角是60的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)角都是60三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形歸納總結(jié)三條邊都相等的三角形是等邊三角形例2 如圖,在等邊三角形ABC中，DEBC, 求證：ADE是等邊三角形.ACBDE證明： ABC是等邊三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？證明：ABC 是等邊三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， AB

8、C =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等邊三角形.變式2若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的延長(zhǎng)線上，且 DEBC，結(jié)論還成立嗎？ ADEBC變式3若點(diǎn)D、E 在邊AB、AC 的反向延長(zhǎng)線上，且DEBC，結(jié)論依然成立嗎？ 證明： ABC 是等邊三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等邊三角形ADEBC例3 如圖，ABAC，BAC120，ADAC，AEAB 求證：ADE是等邊三角形證明：ABAC，BAC120，BC30，即C30ADAC，AEABADCAEB60，ADCAEBEAD60，ADE是等邊三角形例

9、4 如圖，已知D為BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，且BECF，BDE30， 求證：ABC是等邊三角形證明：D是BC的中點(diǎn)，BDCD，DEAB，DFAC，BED和CFD都是直角三角形，在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BC，ABAC（等角對(duì)等邊）BDE30，DEAB，B60，ABC是等邊三角形問(wèn)題1 如圖，將兩個(gè)相同的含30角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB三、30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半問(wèn)題2 將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對(duì)折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？含30角的直角三角形

10、的性質(zhì) 性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，ADC是ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD, BAD=230=60，從而ABD是一個(gè)等邊三角形.再由ACBD,可得BC=CD= AB.你還能用其他方法證明嗎？證法1ABCD 證明方法：倍長(zhǎng)法已知：如圖，在RtABC 中，C =90，A =30. 求證：BC = ABBC = BDBC = AB證明：在ABC 中，C =90，A =30, B =60延長(zhǎng)BC 到D，使BD =AB，連接AD，則ABD 是等邊三角形又ACBD, 證法2EABC 證明： 在BA上截取BE=BC，連接EC. B= 60

11、 ，BE=BC. BCE是等邊三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.BC = AB證明方法：截半法知識(shí)要點(diǎn)含30角的直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：在RtABC 中，C =90，A =30，ABCBC = AB）30 判斷下列說(shuō)法是否正確：1）直角三角形中30角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半2）三角形中30角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半。3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。4）直角三角形的斜邊是30角所對(duì)

12、直角邊的2倍做一做例5 如圖13313所示，在RtABC中，C90，A30，ABBC12 cm，則AB的長(zhǎng)為多少？圖13313解：設(shè)BC的長(zhǎng)為x cm.在RtABC中，C90，A30，BC AB，故AB2x cm.又ABBC12 cm，則可列方程x2x12，解得x4.則AB2x8.AB的長(zhǎng)為8 cm.思考：圖中BC、DE 分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們所對(duì)的銳角分別是多少度？ 例6 如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁AB 的中點(diǎn)，立柱BC，DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 要多長(zhǎng).ABCDEABCDE解：DEAC,BC AC, A=30 ，BC=

13、AB, DE= AD.BC= AB= 7.4=3.7(m).又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.例7 如圖，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，則PD等于()A3 B2 C.1.5 D1解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PEOB于E，PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3，PE1.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故選C.EC 1如圖是一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中的度數(shù)是( ) A180 B220 C240 D300C2如圖，已知P，Q是A

14、BC的BC邊上的兩點(diǎn)，BPPQ QCAPAQ，則BAC的度數(shù)為_(kāi).120課堂練習(xí)3. 如圖，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜邊AB上的高，AD3cm，則AB的長(zhǎng)度是()A3cm B6cm C9cm D12cm D4.如圖，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4則BD = . 1A B C D 5.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120 ，D是BC的中點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.證明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中點(diǎn)，ADBCADC=90，BAD=DAC=60.AB=2AD.DEAB，AED=90，ADE=30，AD=2AE.AB=4AE，BE=3AE. 6.等邊ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，問(wèn)APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論解：APQ為等邊三角形證明如下：ABC為等邊三角形，ABAC.BPCQ，AB