概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式

1、第 1 章 隨機(jī)事件及其概率關(guān)系：如果同時(shí)有，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于：。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為，也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。同時(shí)發(fā)生：A ，或者B=，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。iiAA為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：AA3 對(duì)于兩兩互不相容的事件 ， 2，有ii i1常稱(chēng)為可列（完全）可加性。A則稱(chēng)P(A)為事件 的概率。 , 12n1 P P ) )。12nn , 12m ) ) ) P ) P ) P )P(A)=12m

2、12mmnL()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（10）加法公式（11）減法公式當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)1定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)0，則稱(chēng)P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P()P(B /A)=1-P(B/A)2n12)A(1P1n231n1兩個(gè)事件的獨(dú)立性P(AB) P(A)P(B)P(A) 0多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同

3、時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。設(shè)事件1212inii1P(A) P(B )P(A| B ) P(B )P(A| B ) P(B )P(A| B )1122n設(shè)事件 ， 2，BB BnBnBBnnBii1P(B )P(A/B )iiinjjnP B A( / ) i 1 2， ， n， ， iin我們作了 次試驗(yàn)，且滿(mǎn)足A發(fā)生或A不發(fā)生；A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)n這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為 重伯努利試驗(yàn)。1pAA表示每次試驗(yàn) 發(fā)生的

4、概率，則 發(fā)生的概率為n表示 重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)P p qknnk ，。第二章 隨機(jī)變量及其分布的可能取值為 X (k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=X )的概率為X設(shè)離散型隨機(jī)變量P(X=x )=p ，k=1,2,，kkkkX則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量X|12k12kp 1kk 1k。fX的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)xf，fXX。f積分元似。在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)kk1F(x) P(X x)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有

5、如下性質(zhì)：0 F(x) xF(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即x xF(x) F(x )121F() limF(x)0， F() limF(x)1；xx5P(X x)F(x)F(x0)。F(x)pF(x) f(x)kk布n在 重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則可能取值為,n。P(X k) P (k)C p qkknnXn p服從參數(shù)為 ， 的二項(xiàng)分布。記為P(X k) p q，k0.1，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分Xk0，k，k!XX ()服從參數(shù)為 的泊松分布，記為( , )k1隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。11X的值只落在a，

6、b內(nèi)，其密度函數(shù)1,b aX在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。，,F(x) f(x)dx x，x ,x當(dāng) axx b 落在區(qū)間（ 1 2）內(nèi)的概率為122112,ex0,0，則稱(chēng)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。x e !01X(x)2e2f(x) 0為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量的正態(tài)分布或高斯（Gauss）X2x 1x f() 2X若1(t)2F(x)ex21時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N(，其密度函數(shù)記為112是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1。(-x)1-(x)且(0)2X2P(x X x ) 2112XX2n12niY g(X)的分布列（yiig(x g(

7、x Y12np, i12npiii先利用X的概率密度f(wàn)(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)F(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公YX式求出f(y)。Y第三章 二維隨機(jī)變量及其分布1對(duì)f(x,y)( x , y )，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx 時(shí)，有F（x,y）F(x,y);當(dāng)y y 時(shí)，有F(x,y ) );12121221x x ，y y ，1212F(x ，y ) F(x ，y ) F(x，y ) F(x，y )0.22211211P(X ，Y y) P(x X x，yY y dy) f(，y)f (x) f x y dy ( ,

8、) ；X布f (y) f(x,y).Y1Y布XF(X,Y)=F(x)F(y)YXp p p有零不獨(dú)立XY直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形21 2( ) xxyy112 f(x, y)e2 ) , 21122 1 212若X,X,X,X ,X相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：12mn12mn態(tài)分布21 2( ) xxyy1112 e22) 1122 1 212 , 0,0,| 1是5個(gè)參數(shù)，則稱(chēng)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，112記為（X，Y）N（1 , ( 211 , ),Y N( )2122但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。12,1F (z) P(Z z) P(X Y

9、 z)根據(jù)定義計(jì)算：Z布f(x,zx對(duì)于連續(xù)型，f (z)Z , 12n 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。22iiiiiiZ=max,min(X ,1若12nxX ,X )n2nZ=max,min(X ,X ,X )的分布函數(shù)為：12nxnF (x) 1 F (x) F (x) F (x)xn第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型) 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，設(shè) X kEnkkk1（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)nEY) g(x )pkkk1方差DD(X) xE(X f(x)D(X)=EX-E(X) ，222標(biāo)準(zhǔn)差kkk，1對(duì)于正整數(shù)X的k次冪的數(shù)學(xué)期望 對(duì)于

10、正整數(shù)X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vkkkkiiki對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的k次對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的kk，即k(kk(.kk.=kiix E Xik切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=，則對(duì)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式22P(X )2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率 nniiiii1i1充要條件：X和Y不相關(guān)。（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b2（4） D(X)=E(X)

11、-E(X)21211niiXi1nEjYj1函數(shù)的期望G(x , y )pijijij方差2Xiiipj2j協(xié)方差為 X 與 Y 的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為 (X E X Y EY與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。1相關(guān)系數(shù)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作 （有時(shí)可簡(jiǎn)記為P X b)1(正相關(guān)，當(dāng) (0)，a負(fù)相關(guān)，當(dāng) (a 0)，以下五個(gè)命題是等價(jià)的：0；協(xié)方差矩陣(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY , , , ,2121則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A是事件

12、AP p nn伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即P p nn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。1( ; , , ).F x它的 k 階原點(diǎn)設(shè)總體 X 的分布中包含有未知數(shù)12m12m估計(jì) , ,v v , , )vmk中也包含了未知參數(shù)k12mkk12mx ,x ,121nxknnv (x,112mii1nv (x212mnii11nnv , , )mm12mii1 , ,）的矩估計(jì)量。12m12mg ) g( )為n, 0 kC p p) ekknkk!n其中 k=0，1，2，n，。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章 樣本及抽樣分布第七章 參數(shù)估計(jì)1f(; , ,當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為1m1m221n2nL , , )( ; , , )f x1mi1m22i1為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng).1m2nL(x ,x ,x ;p x( ; , , )1n1mi1m222i1為樣本的似然函數(shù)。L(x ,x ,x ; , , ) , , , ,若似然函數(shù)12m12m1n1m22 , ,的最