函數(shù)以及其圖像

1、關(guān)于函數(shù)及其圖像第1頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四第一章 函數(shù)與極限1.1 函數(shù)及其圖像1.2 函數(shù)極限1.3 無窮小量與無窮大量1.4 數(shù)列的極限1.5 兩個重要極限1.6無窮小的比較1.7 連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì) 第2頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1 函數(shù)及其圖像一、集合二、常量、變量、函數(shù)三、函數(shù)的初等性質(zhì)四、函數(shù)的初等運算五、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)六、函數(shù)關(guān)系的建立重點：函數(shù)的概念、初等函數(shù)難點：復合函數(shù)第3頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1.1 基礎(chǔ)知識回顧1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對象（事物）的總體.組

2、成這個集合的對象稱為該集合的元素.有限集（列舉表示）無限集（命題式表示）集合：A，B，C表示；元素：a，b，c表示第4頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四2.實數(shù)與數(shù)軸O1-1x實數(shù)系的連續(xù)性：實數(shù)的集合與數(shù)軸上的點的 集合一一對應(yīng)第5頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例如不含任何元素的集合稱為空集例如規(guī)定 空集為任何集合的子集.A是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,若且則稱 A 與 B 相等,例如 , ,記作記作定義2 .若設(shè)有集合A，B，必有3.集合之間的關(guān)系則稱第6頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四定義 3 . 給定兩

3、個集合 A, B, 定義下列運算:并集交集且差集且余集直積記為平面上的全體點集或AB第7頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四4.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間, 記作 （a, b）稱為閉區(qū)間,記作 a, b第8頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四稱為半開區(qū)間, 記作a, b)稱為半開區(qū)間, 記作 (a, b有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第9頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四5.鄰域:點 a的去心的鄰域，記作設(shè)a和數(shù)集稱為點 a的鄰域.是兩個實

4、數(shù)，且點 a叫做這鄰域的中心，叫做這鄰域的半徑.第10頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四幾個邏輯符號表示對“任意一個”、“對每一個”表示“存在一個”、“至少有一個”使得“”表示“蘊含”，“可推出”“” “”表示“當且僅當”、“充分必要”、“等價”“滿足方程”第11頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四在邏輯推理過程中最常用的兩個邏輯記號“ ”表示 “對每一個”, 或“任取 ”, 或“任意給定”;“ ”表示 “存在 ”, 或“至少存在一個”,或“能夠找到”.如實數(shù)的阿基米德 (Archimedes) 公理:任意給定兩個正的實數(shù) a,b,都存在一個自然數(shù)n,

5、用邏輯符號將阿基米德公理改寫:練習第12頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四6.絕對值:運算性質(zhì):絕對值不等式:第13頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1.2 函數(shù) 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母 a, b, c 等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母 x, y, t 等表示變量.常量 變量第14頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域函數(shù)定義：設(shè)是一個非空集合，f 是一個確定的法則，如果通過法則 f，存在唯一的則稱由

6、 f 確定了一個定義于D上，取值于R的函數(shù)，記作與x相對應(yīng)，當時，稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.第15頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.第16頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四約定: 如無特別指出，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值（自然定義域）.定義:第17頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四說明：第18頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四不同的對應(yīng)法則表示不同的函數(shù) , 如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。 函數(shù)有三種表示

7、法：圖象法、表格法. 在解析法中 ,函數(shù)的解析式有兩類：一個解析式表示的函數(shù) , 例如 :圓的面積S與半徑R的關(guān)系是 、解析法一類僅只有另一類是由一個以上的解析式表示的函數(shù),在定義域內(nèi)的不同范圍用不同的解析式表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。這種函數(shù)例如 ，某市出租車的乘車費y(元)與里程x(公里)之間的關(guān)系是：注意：分段函數(shù)是一個函數(shù) ， 而不是幾個函數(shù)。第19頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四函數(shù)的定義域1. 函數(shù)中有分式,要求分母不能為零2. 函數(shù)中根式,要求負數(shù)不能開偶次方3. 函數(shù)中有對數(shù)式,要求真數(shù)必須大于零4. 函數(shù)中有對數(shù)式和反三角函數(shù)式,要求符合它們定義域若函

8、數(shù)式是上述各式的混合式,則應(yīng)取各部分定義域 的交集第20頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例1 求下列函數(shù)的定義域第21頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四練解第22頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 (2) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo(1) 絕對值函數(shù)xyO第23頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(4) 狄利克雷函數(shù)(3) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù)5.3=5, -4

9、.5= -5.第24頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四(5) 取最值函數(shù)yxoyxo第25頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第26頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例1 解下列各題第27頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例2解:故定義域是-3, -1.因為 f(x) 的定義域是0, 2,所以對f(x+3)的有0 x+32,即 -3x-1,故f(x+3)的定義域是-3, -1.第28頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星

10、期四例3脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓第29頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四第30頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例4. 已知函數(shù)解:及寫出 f (x) 的定義域及值域, 并求f (x) 的定義域 值域 第31頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1.3 函數(shù)的幾種特性1函數(shù)的有界性(bounded) :M=1-M=-1第32頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四有界的充分必要條件是既有上界又有下界。xyo第33頁，共83頁，2022年，

11、5月20日，11點0分，星期四例.第34頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 注有界的幾何意義如左下圖.有界無界:無界第35頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四2函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity) :xyo當時, 恒有稱 f(x)為 I上的單調(diào)增函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是 D，且有區(qū)間若第36頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四xyo當時, 恒有稱 f(x)為 I上的單調(diào)減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是 D，且有區(qū)間若第37頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 注 2. 應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間 ,否則會產(chǎn)生錯誤,

12、 例:解.00? 0?第38頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四容易看出:不難驗證:第39頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四3函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第40頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四yxox-x奇函數(shù)第41頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四如xycos=在區(qū)間),(+-上是偶函數(shù)(如圖2.1)如3xy=在),(+-上是奇函數(shù)(如圖2.2)函數(shù)xxy2sin4+=在),(+-上是非奇非偶函數(shù)(如圖2.3)圖2.1圖2.2圖2.3第42頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四4函數(shù)

13、的周期性(periodicity) :（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.周期為第43頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)狄利克雷(德)1805-1859有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(當x是有理函數(shù)時)(當x是無理函數(shù)時)這是一個周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因為不存在最小的正有理數(shù),所以沒有最小正周期.第44頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1.4 函數(shù)的初等運算1. 函數(shù)的四則運算 第45頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四第46頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，

14、星期四DWDW2. 反函數(shù)(inverse function)運算第47頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四注第48頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四習慣上,的反函數(shù)記成1.反函數(shù)的求法：先由y=f(x)解出根據(jù)習慣，f(x)的反函數(shù)記為第49頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 2.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.即即3.反函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系第50頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四第51頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四3 復合函數(shù)手電筒D復合函數(shù) 第52頁，共83頁，2022年，5月2

15、0日，11點0分，星期四復合函數(shù)也可以看作是產(chǎn)品的二次加工（多次加工）第53頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四xuy定義: 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是而函數(shù)的值域為若則可確定y為x的函數(shù),稱為 f 與的復合函數(shù)，記為即第54頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成；3.復合運算不滿足交換性,第55頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四例2解第56頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四綜上所述第57頁，共83頁，2022年，

16、5月20日，11點0分，星期四1) 冪函數(shù)(power function)1.1.5 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)（6類）：常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。 第58頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四2) 指數(shù)函數(shù)(exponential function)定義域為值域為第59頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四3) 對數(shù)函數(shù)(logarithm function)定義域為值域為第60頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四4) 三角函數(shù)(trigonometric function)正弦函數(shù)定義域為值域

17、為第61頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四余弦函數(shù)定義域為值域為第62頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四正切函數(shù)余切函數(shù)定義域值域定義域值域第63頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四5) 反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)定義域值域 主值反正弦函數(shù)第64頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四定義域值域 主值反余弦函數(shù)第65頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四 主值定義域值域反正切函數(shù)反余切函數(shù) 主值定義域值域 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角

18、函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第66頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四(2) 初等函數(shù)(elementary function)及其分解初等函數(shù).如都是初等函數(shù).不是初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算(加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù), 稱為第67頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四又如2321+=+xxey等都是初等函數(shù)。如+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函數(shù)。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+= ,分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)注意：是初等函數(shù)。-=0,0,xxxx而第

19、68頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù):奇函數(shù).偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)第69頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四奇函數(shù),有界函數(shù),第70頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四雙曲函數(shù)常用公式第71頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第72頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四奇函數(shù),第73頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四第74頁，共83頁，2022年，5月20日，11點0分，星期四1.1.6 函數(shù)關(guān)系的建立例1 函數(shù)的列表表示：某公司一年中月銷售個統(tǒng)計月份 1 2 3 4 5 6 7