高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習學案12．2《合情推理與演繹推理》(含詳解)

1、PAGE PAGE 8122合情推理與演繹推理1兩種基本的推理推理一般包括_和_兩類2合情推理(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理簡言之，歸納推理是由_到整體、由_到一般的推理(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理簡言之，類比推理是由_到_的推理(3)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行_、_，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理3演繹推理(1)演繹推理：從

2、一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理簡言之，演繹推理是由_到_的推理(2)“_”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷“三段論”可以表示為：大前提：M是P.小前提：S是M.結論：S是P.自查自糾：1合情推理演繹推理2(1)部分個別(2)特殊特殊(3)歸納類比3(1)一般特殊(2)三段論 下列表述正確的是 ()歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理A BC D解：歸納推理是由部分到

3、整體、由個別到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理故正確故選D. 下列推理過程是類比推理的為 ()A人們通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5B科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼C通過檢驗溶液的pH值得出溶液的酸堿性D數(shù)學中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù)解：由類比推理的概念可知，選項B為類比推理選項A為歸納推理，選項C、D為演繹推理故選B. (eq avs4al(2018瀘州二診)甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后，甲說：“丙被錄用了”；乙說：“甲被錄用了”；丙說：“我沒被錄用”若這三人中僅有一人

4、說法錯誤，則下列結論正確的是 ()A甲被錄用了 B乙被錄用了C丙被錄用了 D無法確定誰被錄用了解：由于甲和丙的說法對立，故甲和丙必一真一假，假如甲、乙說法正確，丙說法錯誤，則甲和丙都被錄用，不成立；若甲說法錯誤，乙、丙說法正確，則甲被錄用，滿足題意故選A. 數(shù)列eq f(1,2)，eq f(1,3)，eq f(2,3)，eq f(1,4)，eq f(2,4)，eq f(3,4)，eq f(1,m1)，eq f(2,m1)，eq f(m,m1)的第20項是_解：eq f(m,m1)在數(shù)列中是第123meq f(m（m1）,2)項，當m5時，即eq f(5,6)是數(shù)列中第15項，則第20項是eq

5、f(5,7).故填eq f(5,7). (eq avs4al(2017湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n1，nN)個點，相應的圖案中總的點數(shù)記為an，則eq f(9,a2a3)eq f(9,a3a4)eq f(9,a4a5)eq f(9,a2 018a2 019)_.解：每條邊有n個點，所以3條邊有3n個點，三角形的3個頂點重復計算了一次，所以減3個頂點，即an3n3，那么eq f(9,anan1)eq f(9,（3n3）3n)eq f(1,n1)eq f(1,n)，即eq f(9,a2a3)eq f(9,a3a4)eq f(9,a4a5)eq

6、 f(9,a2 018a2 019)(eq f(1,1)eq f(1,2)(eq f(1,2)eq f(1,3)(eq f(1,3)eq f(1,4)(eq f(1,2 017)eq f(1,2 018)1eq f(1,2 018)eq f(2 017,2 018).故填eq f(2 017,2 018).類型一歸納推理(1)在數(shù)列an中，a11，an1eq f(2an,2an)，nN*，猜想這個數(shù)列的通項公式是什么？說明理由解：在an中，a11，a2eq f(2a1,2a1)eq f(2,3)，a3eq f(2a2,2a2)eq f(1,2)eq f(2,4)，a4eq f(2a3,2a3)

7、eq f(2,5)，所以猜想an的通項公式aneq f(2,n1).證明如下：因為a11，an1eq f(2an,2an)，所以eq f(1,an1)eq f(2an,2an)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以eq f(1,a1)1為首項，eq f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq f(1,an)1eq f(1,2)(n1)eq f(1,2)neq f(1,2)，所以通項公式aneq f(2,n1).(2)(eq avs4al(2017煙臺模擬)觀察下列不等式

8、1eq f(1,22)eq f(3,2)，1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(5,3)，1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(7,4)，照此規(guī)律，第五個不等式為_解：觀察不等式的特點，每個不等式左端最后一個分數(shù)的分母的算術平方根與右端值的分母相等，且右端分數(shù)的分子依次構成等差數(shù)列故第五個不等式為1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6).故填1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6).點

9、撥：本題考查歸納推理，通過對某些個體的觀察、分析和比較，發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律，再從中推出一個明確表達的一般性命題，從而寫出題中要求的具體命題(1)根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的一個通項公式()a13，an12an1；()a1a，an1eq f(1,2an).解：()由已知有a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.由此猜想an2n11，nN*.()由已知有a1a，a2eq f(1,2a1)eq f(1,2a)，a3eq f(1,2a2)eq f(2a,32a)，a4eq f(1,2a3)eq f(32a,4

10、3a).由此猜想aneq f(（n1）（n2）a,n（n1）a)，nN*.(2)(eq avs4al(2016山東)觀察下列等式：(sineq f(,3)2(sineq f(2,3)2eq f(4,3)12；(sineq f(,5)2(sineq f(2,5)2(sineq f(3,5)2(sineq f(4,5)2eq f(4,3)23；(sineq f(,7)2(sineq f(2,7)2(sineq f(3,7)2(sineq f(6,7)2eq f(4,3)34；(sineq f(,9)2(sineq f(2,9)2(sineq f(3,9)2(sineq f(8,9)2eq f(4,

11、3)45；照此規(guī)律，(sineq f(,2n1)2(sineq f(2,2n1)2(sineq f(3,2n1)2(sineq f(2n,2n1)2_.解：注意到等式的右邊分別為eq f(4,3)12，eq f(4,3) 23，eq f(4,3)34，eq f(4,3)45，所以最后一個等式的右邊為eq f(4,3)n(n1)故填eq f(4,3)n(n1)類型二類比推理(1)(eq avs4al(教材習題改編)在平面幾何中， ABC的內(nèi)角C的角平分線CE分AB所成線段的比滿足eq f(AE,BE)eq f(AC,BC).把這個結論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A

12、CDB且與AB相交于點E，則得到類比的結論是_解：將平面中線段的比類比到空間中面積的比可得eq f(AE,EB)eq f(SACD,SBCD).故填eq f(AE,EB)eq f(SACD,SBCD).點撥：本題考查的是平面到空間的推廣類比，并且在推導空間的結論時用到了平面的結論一般地，平面中的一些元素與空間中的一些元素可類比如下.平面點線圓三角形角面積周長空間線面球三棱錐二面角體積表面積(2)若等差數(shù)列an的前n項之和為Sn，則一定有S2n1(2n1)an成立若等比數(shù)列bn的前n項之積為Tn，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，則有()AT2n1(2n1)bn BT2n1(2n1)bnCT2n1(2n1)b

13、eq oal(2n1,n) DT2n1beq oal(2n1,n)解：在等差數(shù)列an中，a1a2n12an，a2a2n22an，故有S2n1(2n1)an.在等比數(shù)列bn中，b1b2n1beq oal(2,n)，b2b2n2beq oal(2,n)，故有T2n1b1b2b2n1beq oal(2n1,n).故選D.點撥：只要將等差數(shù)列關系式中的d換成等比數(shù)列中的q，并將“加、減、乘、除”依次變成“乘、除、乘方、開方”運算即可得到等比數(shù)列的關系式，而等差數(shù)列中d0通常類比成等比數(shù)列中q1.(1)在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按下圖所標邊長，由勾股定理有

14、：c2a2b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結論是_解：將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3)Seq oal(2,4).故填Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3)Seq oal(2,4).(2)“解方程eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq sup12(x)eq blc(rc)(avs4alco1(

15、f(4,5)eq sup12(x)1”有如下思路：設f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq sup12(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(x)，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2)1，故原方程有唯一解x2.類比上述思路，不等式x6(x2)(x2)3x2的解集是_解：不等式化為x6x2(x2)3(x2)，設g(x)x3x，則g(x)在R上單調(diào)遞增，所以不等式即g(x2)g(x2)，所以x2x2，解得x2或x1.故填x|x2或x1類型三演繹推理指出下面推理中的錯誤(1)自然數(shù)是整數(shù)大前提5是整數(shù)小前提所以，5是自然數(shù)結論(2)指

16、數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)大前提yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)是指數(shù)函數(shù)小前提所以，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)是增函數(shù)結論(3)三角函數(shù)是周期函數(shù) 大前提ysinx(0 x)是三角函數(shù)小前提所以，ysinx(0 x)是周期函數(shù)結論解：(1)推理形式錯誤，自然數(shù)是整數(shù)為大前提，小前提應是判斷某數(shù)為自然數(shù)，而不是某數(shù)為整數(shù)(2)大前提錯誤，因為當0a1時，指數(shù)函數(shù)yax是減函數(shù)(3)推理形式錯誤，大前提中的“三角函數(shù)”和小前提中的“三角函數(shù)”概念不同點撥：演繹推理是一種必然性推理，只有前提和推理形式都是正

17、確的，結論才一定是正確的，否則，不能保證結論的可靠性有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的所有直線，即已知直線b平面，直線a平面，若直線b平面，則直線b直線a.”該結論顯然是錯誤的，這是因為 ()A大前提錯誤 B小前提錯誤C推理形式錯誤 D非以上錯誤解：直線平行于平面，這條直線可能與該平面內(nèi)的直線成異面直線，即大前提錯誤故選A.類型四推理的應用(eq avs4al(2017全國卷)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)

18、以上信息，則 ()A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績解：依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績故選D.點撥：推理在實際生活中的應用是近年高考的一個熱點問題，對已知條件進行有效的組合一般可直接得到結果，對復雜情形，可能需要先假設，再判斷(eq avs4al(2018海南二聯(lián))在偵破某一起案件時，警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員中找出真正的嫌疑人，現(xiàn)

19、有四條明確的信息：此案是兩人共同作案；若甲參與此案，則丙一定沒參與；若乙參與此案，則丁一定參與；若丙沒參與此案，則丁也一定沒參與據(jù)此可以判斷參與此案的兩名嫌疑人是()A甲、乙 B甲、丙 C乙、丙 D丙、丁解：逐項考查：若甲、乙參與此案，則不符合；若甲、丙參與此案，則不符合；若乙、丙參與此案，則不符合；當丙、丁參與此案，全部符合故選D.1歸納推理的前提是一些特殊的情況，所以歸納推理要在觀察、經(jīng)驗、實驗的基礎上進行；歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因此所得結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結論假”的情況是有可能發(fā)生的歸納推理的一般過程如下

20、(1)通過觀察個別情況，發(fā)現(xiàn)相同的性質(zhì)(2)推出一個明確表述的一般性結論2在數(shù)學中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理、公式的重要手段，并且應用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限等之間有不少結論都是先用類比的方法提出猜想，然后再加以證明的進行類比推理，重要的是要找準合適的類比對象，如三棱錐、球、體積的類比對象一般分別為三角形、圓、面積；同時還要注意不僅可進行形式的類比，還可進行方法的類比類比推理的一般步驟如下(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)，但結論不一定正確，有待進一步證明1下面幾種推理

21、過程是演繹推理的是()A某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分D在數(shù)列an中，a11，aneq f(1,2)(an1eq f(1,an1)，計算前3項并歸納出an的通項公式解：A、D是歸納推理；B是類比推理；C使用了“三段論”，是演繹推理故選C.2給出下列三個類比結論(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)n anbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sinsin；(ab)2a22abb2與(

22、ab)2類比，則有 (ab)2a22abb2.其中正確結論的個數(shù)是 ()A0 B1 C2 D3解：(ab)nanbn(n1，ab0)，故錯誤sin()sinsin不恒成立，如30， 60，sin901，sin30sin60eq f(r(3),4)，故錯誤由向量的運算公式知正確故選B.3若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn(bneq f(a1a2an,n)也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為 ()Adneq f(c1c2cn,n) Bdneq f(c1c2cn,n)Cdneq r(n,f(ceq oal(n,1)ceq oal(n,2)ceq

23、 oal(n,n),n) Ddneq r(n,c1c2cn)解：若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1eq f(n（n1）,2)d，所以bna1eq f(n1,2)deq f(d,2)na1eq f(d,2)，即bn為等差數(shù)列若cn是等比數(shù)列，則c1c2cnceq oal(n,1)q12(n1)ceq oal(n,1)qeq sup6(f(n（n1）,2)，所以dneq r(n,c1c2cn)c1qeq sup6(f(n1,2)，即dn為等比數(shù)列故選D.4(eq avs4al(2017葫蘆島測評)在一次國際學術會議上，來自四個國家的五位代表被安排在一張圓桌上，為了使他們能夠自由與鄰座交談，事先

24、了解到的情況如下甲是中國人，還會說英語；乙是法國人，還會說日語；丙是英國人，還會說法語；丁是日本人，還會說漢語；戊是法國人，還會說德語則這五位代表的座位順序應為 ()A甲、丙、丁、戊、乙 B甲、丁、丙、乙、戊C甲、乙、丙、丁、戊 D甲、丙、戊、乙、丁解：由題意，甲、乙、丙、丁、戊5個人圍成圓圈，而且每一個人和相鄰的兩個人都能通過語言交流從甲開始，甲會說漢語和英語，則甲的相鄰座位一定是丙和丁，可知選項D符合或運用排除法來解決觀察每個答案中最后一個人和甲是否能夠交流，戊不能和甲交流，因此，選項B，C錯誤，乙不能和甲交流，選項A錯誤故選D.5(eq avs4al(2018安慶二模)對大于1的自然數(shù)的

25、三次冪可以分解成幾個奇數(shù)的和，比如2335，33 7911，4313151719，以此規(guī)律，則453的分解和式中一定不含有 ()A2 069 B2 039 C2 009 D1 979解：由規(guī)律得n3中有n項，而23，33，43中第一項分別為32221，73231，134241，所以453中第一項為4524511 981，最后一項為1 9812442 069，所以一定不含有1 979.故選D.6某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟葥?jù)此可判斷丙必定值班的日期是 ()A10日和12日

26、B2日和7日C4日和5日 D6日和11日解：這12天的日期之和，S12eq f(12,2)(112)78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，對于甲，剩余2天日期之和是22，因此這兩天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；對于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日故選D.7(eq avs4al(2017河南八市聯(lián)考)觀察下列等式：141，2479，34252729，4461636567，照此規(guī)律，第5個等式可為_解：觀察可知每個等式右端的數(shù)字都是連續(xù)的奇數(shù)，且奇數(shù)的個數(shù)等于所在的行數(shù)，設行數(shù)為n，用an1表示等

27、式右端的第一個數(shù)，則an1n3n1，因此第5行的第一個數(shù)為5351121，則第5個等式為54121123125127129.故填54121123125127129.8下表中的數(shù)陣為“森德拉姆篩子”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列記第i行第j列的數(shù)為ai，j(i，jN*)，如a1，14.則a9，9_.47101316712172227101724313813223140491627384960解：由題知，在第1行，第1個數(shù)是4，公差為3，因此第1行的第9個數(shù)為a1，943(91)28；又由表可知，第j列數(shù)的公差為2j1，故a9，928(291)(91)180.或由a1，114，a2，226，a3，

28、338，得ai，ii(2i2)，從而a9，9920180.故填180.9設f(x)eq f(1,3xr(3)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明解：f(0)f(1)eq f(1,30r(3)eq f(1,31r(3)eq f(1,1r(3)eq f(1,3r(3)eq f(r(3)1,2)eq f(3r(3),6)eq f(r(3),3)，同理可得，f(1)f(2)eq f(r(3),3)，f(2)f(3)eq f(r(3),3)，并注意到這三個式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當x1x21時，均有f(x1)f(x2)eq f

29、(r(3),3).證明：設x1x21，則f(x1)f(x2)eq f(1,3x1r(3)eq f(1,3x2r(3)eq f(（3x1r(3)）（3x2r(3)）,（3x1r(3)）（3x2r(3)）)eq f(3x13x22r(3),3x1x2r(3)（3x13x2）3)eq f(3x13x22r(3),r(3)（3x13x2）23)eq f(3x13x22r(3),r(3)（3x13x22r(3)）)eq f(r(3),3).10先解答(1)，再根據(jù)結構類比解答(2)(1)已知a，b為實數(shù)，且|a|1，|b|ab；(2)已知a，b，c均為實數(shù)，且|a|1，|b|1，|c|abc.證明：(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)因為|a|1，|b|1，|c|1，所以|ab|abc，所以abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.11在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求證：eq f(1,AD2)eq f(1,A