線線角,線面角,二面角的幾何法

1、新高考一輪復(fù)習(xí)之立體幾何線線角、線面角、面面角的幾何解法一、異面直線所成角解題口訣：一平二構(gòu)三邊四余弦一平：異面直線通過平行線平移至相交二構(gòu)：構(gòu)造三角形三邊：計(jì)算三角形的三邊長（注意是否為特殊三角形）四余弦：利用余弦定理求角（注意異面直線的夾角范圍為（00,900，所以余弦值應(yīng)該為正的）練習(xí)題：1、在正方體ABCD1、在正方體ABCD-ABCD中1111E為棱CC1的中點(diǎn)則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）2、在正方體ABCD2、在正方體ABCD-ABCD中1111O為AC的中點(diǎn)，則異面直線AD與OC所成111A、1A、23、在四面體ABCD中，若AB=CD=2E,F,G分別是BC,BD,

2、AC中點(diǎn)，若角的余弦值為（2c5D、FF=3，則直線ABCD所成角為（A、300B、450C、60A、300B、450C、600D、12004、在長方體ABCDABCD中1111AB=BC=2AA，則異面直線AB與BC所成11的角的余弦值為（）,.-10A、-1B、515D、-5、已知直三棱柱AB。AB。中，ZABC=1200,AB=2,BC=CC=1,則異1111面直線a色與eq所成角的余弦值為（）A、看B、45C、40D、4乙JJJ6、如圖，在三棱錐ABCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2，點(diǎn)M、N分別為AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是答案：8二、線面

3、角（線面角的難點(diǎn)在于找出垂線以及計(jì)算邊長）題型一：能證明出垂線的解題步驟:先找斜足過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，交點(diǎn)為垂足（線面垂直，需要證明）連接斜足和垂足，稱為斜線的射影，射影和斜線所成的角即為線面角基礎(chǔ)例題:1、正方體中，（1）求BD和底面ABCD所成的角AB1AB（2）求BD和面AADD所成的角iii2、空間四邊形ABC。中，AC，BC,PAABC,AC=BC=2,PA=4求可與平面PAC所成的角(2)求尸C和平面PA5所成的角練習(xí)題：K(2018年全國1卷理科)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把a(bǔ)DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF1BF.(1

4、)證明：平面PEF,平面PF1BF.(1)證明：平面PEF,平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.8題型二：不能證明垂線時(shí)，考慮等體積法求點(diǎn)到線的距離(該種題型較難，往往選擇空間向量法)1、如圖，三棱錐夕ABC中，PA=PC,AB=BC,/APC=12Oo,/A6C=9O。AC=右PB,.(1)求證：ACPB(2)求直線AC與平面PAB所成角的正弦值1c空間幾何二面角的求法(方法有很多種，但常用兩種定義法和三垂線法)(1)定義法從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩

5、條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。解題指導(dǎo)：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；例1s如圖，已知二面角a-a-B等于120,PAc(,Aec(,PBp,Bep.求心APB的大AOB小.AOB例2、在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA,平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。3、(2017年全國一卷理科)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD,且尸=/CDP=90(1)證明：平面PAB1平面PAD;(2)若PA二PD二AB二DC,ZAPD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.(2)三垂線法(定義法的衍生)重點(diǎn)例題:1、(2019年全國一卷理科)如圖，直四棱柱ABCD-ARCR的底面是菱形，AA=4,AB=2,ZBAD=60,E,M,N分別是BC,BBAJ的中點(diǎn).(1)證明：MN平面CDE；(2)求二面角A-MAN的正弦值.2、如圖，在四棱錐夕-ABC。中，底面ABC。為直角梯形，AD/BC,ZADC=900,平面44。_L底