2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測(cè)二十七拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1、PAGE 4PAGE PAGE 6課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十七） 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay2eq f(3,2)x By23xCy26x Dy26x解析：選C拋物線的焦點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0)，p3，且拋物線開口向右拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x.2已知A，B兩點(diǎn)均在焦點(diǎn)為F的拋物線y22px(p0)上，若|AF|BF|4，線段AB的中點(diǎn)到直線xeq f(p,2)的距離為1，則p的值為()A1 B1或3C2 D2或6解析：選B|AF|BF|4xAeq f(p,2)

2、xBeq f(p,2)4xAxB4p2x中4p，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)到直線xeq f(p,2)的距離為1，所以eq blc|rc|(avs4alco1(x中f(p,2)1，所以|2p|1p1或3.3設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線yeq f(k,x)(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()Aeq f(1,2) B1Ceq f(3,2) D2解析：選Dy24x，F(xiàn)(1,0)又曲線yeq f(k,x)(k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，P(1,2)將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入yeq f(k,x)(k0)，得k2.故選D.4P為拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則以|PF|為直徑的圓

3、與y軸的位置關(guān)系為()A相交 B相離C相切 D不確定解析：選C設(shè)PF的中點(diǎn)M(x0，y0)，作MNy軸于N點(diǎn)，設(shè)P(x1，y1)，則|MN|x0eq f(1,2)(|OF|x1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x1f(p,2)eq f(1,2)|PF|.故相切5已知A，B為拋物線y22x上兩點(diǎn)，且A與B的縱坐標(biāo)之和為4，則直線AB的斜率為()Aeq f(1,2) Beq f(1,2)C2 D2解析：選A設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24，由eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)2x1，,yoal(2,2)2x2，)得eq f(y1

4、y2y1y2,x1x2)2，即4kAB2，kABeq f(1,2).6已知點(diǎn)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，該拋物線上位于第一象限的點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離為5，則直線AF的斜率為_. 解析：由拋物線定義得xA15，xA4，又點(diǎn)A位于第一象限，因此yA4，從而kAFeq f(40,41)eq f(4,3).答案：eq f(4,3)7已知過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2，則|BF|_.解析：設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，則依題意有焦點(diǎn)F(1,0)，|AF|x112，x11，直線AF的方程是x1，此時(shí)弦AB為拋物線的通徑，故|BF|AF|2.答案：28拋物線x22py(

5、p0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.解析：由拋物線可知焦點(diǎn)Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，準(zhǔn)線yeq f(p,2)，由于ABF為等邊三角形，設(shè)AB與y軸交于M，則|FM|p，不妨取Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(p24),2)，f(p,2)，|FM|eq r(3)|MB|，即peq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(p24),2)，解得p2eq r(3).答案：2eq r(3)9根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x29y2144的左頂點(diǎn)；

6、(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5.解：(1)雙曲線方程可化為eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，左頂點(diǎn)為(3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p0)且eq f(p,2)3，p6，拋物線的方程為y212x.(2)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為y22px(p0)，A(m，3)，由拋物線定義得5|AF|eq blc|rc|(avs4alco1(mf(p,2).又(3)22pm，p1或p9，故所求拋物線方程為y22x或y218x.10已知過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)為36，求弦所在的直線方程解：過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為36，弦所在的直線的斜率存在且不為零故

7、可設(shè)弦所在直線的斜率為k，且與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，直線的方程為yk(x1)由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,y24x，)整理得k2x2(2k24)xk20(k0)x1x2eq f(2k24,k2).|AB|AF|BF|x1x22eq f(2k24,k2)2.又|AB|36，eq f(2k24,k2)236，keq f(r(2),4).所求直線方程為yeq f(r(2),4)(x1)或yeq f(r(2),4)(x1)1已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Al，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，若eq o(FA

8、,sup7()3eq o(FB,sup7()，則|eq o(AF,sup7()|()A3B4C6D7解析：選B由已知點(diǎn)B為AF的三等分點(diǎn)，作BHl于點(diǎn)H，如圖，則|BH|eq f(2,3)|FK|eq f(4,3)，所以|BF|BH|eq f(4,3).所以|eq o(AF,sup7()|3|eq o(BF,sup7()|4.2已知拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若eq f(|AF|,|BF|)(0,1)，則eq f(|AF|,|BF|)()Aeq f(1,5) Beq f(1,4) Ceq f(1,3) Deq f(1,2)解析：選C因?yàn)閽?/p>

9、物線的焦點(diǎn)為Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)，故過點(diǎn)F且傾斜角為30的直線的方程為yeq f(r(3),3)xeq f(p,2)，與拋物線方程聯(lián)立得x2eq f(2r(3),3)pxp20，解方程得xAeq f(r(3),3)p，xBeq r(3)p，所以eq f(|AF|,|BF|)eq f(|xA|,|xB|)eq f(1,3)，故選C.3(2020福州期末)設(shè)拋物線y22px上的三個(gè)點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，y1)，B(1，y2)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，y3)到該拋物線的焦點(diǎn)距離分別為d1，

10、d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值為3，則p的值為_解析：根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得d1eq f(p,2)eq f(2,3)，d2eq f(p,2)1，d3eq f(p,2)eq f(3,2)，由題意可得p0，因此可判斷d3最大，故d3eq f(p,2)eq f(3,2)3，解得p3.答案：34(2018全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90，則k_.解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq blcrc (avs4alco1(yoal(2,1)4x1，,yoal(2,2)4x2，)yeq oal(2,1)yeq

11、oal(2,2)4(x1x2)，keq f(y1y2,x1x2)eq f(4,y1y2).設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|eq f(1,2)|AB|eq f(1,2)(|AF|BF|)eq f(1,2)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，MM平行于x軸，y1y22，k2.答案：25已知AB是拋物線y22px(p0)的過焦點(diǎn)F的一條弦設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)求證：(1)若AB的傾斜角為，則|AB|eq f(2p,sin2)；(2)x1x2eq f(p2,4)

12、，y1y2p2；(3)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)為定值eq f(2,p).證明：(1)設(shè)直線AB的方程為xmyeq f(p,2)，代入y22px，可得y22pmyp20，則y1y2p2，y1y22pm，yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p.當(dāng)90時(shí)，m0，x1x2p，|AB|x1x2p2peq f(2p,sin2)；當(dāng)90時(shí)，meq f(1,tan )，x1x2eq f(2p,tan2)p，|AB|x1x2peq f(2p,tan2)2peq f(2p,sin2).|AB|eq f(2

13、p,sin2).(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2eq f(y1y22,4p2)eq f(p2,4).(3)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)eq f(1,x1f(p,2)eq f(1,x2f(p,2)eq f(x1x2p,x1x2f(p,2)x1x2f(p2,4)eq f(x1x2p,f(p,2)x1x2p)eq f(2,p).6已知拋物線y22x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點(diǎn)M，使M到直線xy30的距離最短，并求出距離的最小值解：(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P(x，y)，則|PA|2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)2y2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,3)22xeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2eq f(1,3)，因?yàn)閤0，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，|PA|mineq f(2,3)