外接球問(wèn)題典型例題

1、在三棱柱ABC 在三棱柱ABC - ABC中，已知AA丄平面ABC, AA = 2, BC = 2盡 ABAC，此231兀D. T 1 1 1 1 1三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（） TOC o 1-5 h z 32兀讓25兀A.B. 1鼠C. -33【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的性質(zhì);球內(nèi)接多面體;球體積的公式.【答案解析】A解析：解：直三棱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，（如圖），jr.aABC中，上BAC二-,下底面 ABC的外心P為BC的中點(diǎn),厶同理，可得上底面ABC的外心Q為BC的中點(diǎn)，1 1 1 1 1連接PQ，則PQ與側(cè)棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中點(diǎn)0,

2、可得：點(diǎn)O到A, B, C, A ,B , C的距離相等，1 1 10點(diǎn)是三棱柱ABC-ABC外接球的球心1 1 1. RTPOB 中，BP = LBC 二 v3，PQ 二丄 AA =1 TOC o 1-5 h z 22 1OB x BP2 + PO2 = 2，即外接球半徑 R 二 24432tt因此，三棱柱ABC-ABC外接球的球的體積為：VR323二 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1 1 1333故選：A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱ABC-A1B1C1外接 球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線段PQ的中點(diǎn)在直角

3、RTPOB中，利用勾 股定理算出OB的長(zhǎng)，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所 求外接球的體積.四面體 ABCD 中，已知 AB=CD=；29，AC=BD=；34，AD=BC=G7，則四面體 ABCD 的外 接球的表面積（）A. 25兀 B. 45兀C. 50兀D. 100?！局R(shí)點(diǎn)】幾何體的外接球的表面積的求法;割補(bǔ)法的應(yīng)用.【答案解析】C解析：解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為 全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以V29,V34,37為三邊的三角形作為底 面，且以分別X, y，z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、 高分別為 x，y， z

4、 的長(zhǎng)方體，并且 x2+y2=29，x2+z2=34， y2+z2=37，則有（2R ）252=x2 +y2+z2=50 （R為球的半徑），得R2二石，所以球的表面積為S=4 n R2=50 n.故 選：C.【思路點(diǎn)撥】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，通過(guò)求解長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，然 后求解外接球的表面積.已知正四面體的棱長(zhǎng)為、邁，則它的外接球的表面積的值為.【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.【答案解析】3乃解析：解：正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球, 正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為：1;對(duì)角線長(zhǎng)為：亍J3棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球半徑為 .所以外接球的表面積為4所以外接球的表面積為

5、4故答案為3%.側(cè)視圖俯視圖側(cè)視圖俯視圖【思路點(diǎn)撥】正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角 線長(zhǎng)就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑，可求外接球的表面積. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 如圖是某兒何體的三視圖，則 該幾何體的外接球的表面積 為（）200k150k100kD 50k已知正三棱錐P ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為V3的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為 【答案】點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)

6、化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱正三P-AB：可看作由正方郎PADC-日三FG截得，如圖所示，PF為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，且臚一平面朋匸，設(shè)正方低棱長(zhǎng)為/則 3a1 = n.a = r=AC = BC = 22 沁=耳 x 2忑 x 2宀汎 = /5 、 - -由 F-ABC =【B-PJCh由 F-ABC =【B-PJCh，所以233 ，園兩球心到平面的距離為3平面四邊形曲加中，曲二肋W1,他=磁，購(gòu)* CD,將其沿對(duì)角線脅折成 四面體才BCQ ,使平面丄平面BCD ,若四面體A-BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面 上，則該

7、球的體積為（ ）(A)2(B)眈(C)3(D) 2刃1.A根據(jù)題意，如圖，可知BD=2,CD = IBC = 3RiMBD 中，AB = AD=BD = 2，在R達(dá)陽(yáng)D1.A根據(jù)題意，如圖，可知BD=2,CD = IBC = 3又因?yàn)槠矫嬲汲?丄平面月CD,所以球心就是月口的中點(diǎn),半徑為，所以球的體積為:半徑為，所以球的體積為:正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為A.81兀4B. 16兀C. 9兀D.A.81兀4B. 16兀C. 9兀D.27kT【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R,R2= (4 - R) 2+ (2) 2,則棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,R

8、弓球的表面積為4n (尋2=罟故選：AAB一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形, 則該幾何體的外接球的表面積為俯視圖【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積16k【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為73，如圖：ACAC其中OA=OB=OC=1, SO丄平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M, OM=x，貝V得 X= 丁,得 X= 丁,2y/3外接球的半徑只=卡 ，幾何體的外接球的表面積S=4nx = 3【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求 幾何

9、體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位置求球的半徑，若 圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題三棱錐 P - ABC 中，平面 PAC 1 平面= PC = AR = 23= 4,HAC = 30v.若三棱錐P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同-護(hù)面上,則該球的表面積為如圖，三棱錐P ABC中，ZABC = 90，它的三視圖如下，求該棱錐的（I）全面積；（II）內(nèi)切球體積;（III）外接球表面積.側(cè)視圖46俯視圖（I）全面積；（II）內(nèi)切球體積;（III）外接球表面積.側(cè)視圖46俯視圖【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三視圖的定義正確讀取三棱錐P ABC中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

10、，幾何體 內(nèi)切球半徑、外切球半徑的求法.343【答案解析】（1） 48 + 12邁;36（4二2）3兀;（3） 警343解析：解：（1）由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長(zhǎng)為 6的等腰直角三角形ABC,頂點(diǎn)P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點(diǎn)E,且高為4的三棱錐。側(cè)面PAB、PAC 的高都是5,底面斜邊長(zhǎng)6邁，所以全面積為：x 6 x 6 + 2 x - x 6 x 5 + - x 6 邁 x 4 = 48 +12 邁2 2設(shè)內(nèi)切球球心,設(shè)內(nèi)切球球心,半徑r，則由Vp_abc=V + V + V + V 得O - ABCO - PAB O - PACO - PBC3x 2x 6 63x 2x

11、6 6 6 6 4=3x 2 C8+%2)xr6解得r=288所以內(nèi)切球體積為兀343（3）設(shè)外接球球心M,半徑R,M在高PE所在直線上，因?yàn)?32,所以（R - 4）2 + 32 ）二R2懈得r= 7，所以外接球表面積為289仝44O【思路點(diǎn)撥】（1）三視圖的定義正確讀取三棱錐P-ABC中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而 求得三棱錐的全面積.（2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點(diǎn)連線，把原三棱錐分割成四個(gè)小三棱 錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑。（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半 徑。三棱錐A - BCD的外接球?yàn)榍?，球O的直徑是AD，且AABC, ABCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐

12、A - BCD的體積是（）知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積I答案解析】A解析：因?yàn)榻孛鍮OC與直徑AD垂直，而BO=CO=f，所以三角形BOC為等腰直角三角形，其面積為2 x2 x2 = 4，而AD=2，所以三棱錐A - BCD的體積為1 x 4 x41 =【思路點(diǎn)撥】求棱錐的體積若直接利用所給的底面求體積不方便時(shí)，可通過(guò)換底面法或補(bǔ)形法或分割法求體積，本題采取分割法求體積即把一個(gè)棱錐分割成兩個(gè)棱錐的體積的和. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形， 則該幾何體的外接球的表面積為俯視圖【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積16兀【答案解析】解析：解：由三視圖知

13、：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為込，如圖：SO為込，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO丄平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，貝V、：1 + 、：1 + x2 =、； 3 x2羽外接球的半徑R=刁，幾何體的外接球的表面積4 16兀S=4nx = 3【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求 幾何體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位置求球的半徑，若 圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-A

14、BC體積的 最大值為36,則球O的表面積為A. 36nB.64nC.144nD.256n【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O- ABC的體積最1 11大，設(shè)球0的半徑為R，此時(shí)V = V =xR2 xR = -R3 = 36，故R = 6，則0ABCCAOB 3 26球0的表面積為S = 4兀R2 = 144兀，故選C. TOC o 1-5 h z 已知三棱錐S - ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為 球O的直徑，且SC = 2；則此棱錐的體積為()邁運(yùn)邁近 HYPERLINK l bookmark82 o Curren

15、t Document (A)(B)(C)(D)- HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 6632【答案】AIE衛(wèi)因aIE衛(wèi)因a設(shè)球亡為O過(guò)AFC三鴉的小園的園心為01 ,則001丄三面鮎C延七01交球于點(diǎn)D _ 5iJSDABC .-.001= 12_|； j_L；i2 =2J&.-.WSD = 200i = L?eAEC：是辺氏為I的王三甬形,. 心亠際二一-4v1 7 J2VZWS-AB C = TX 一 迸 =一 :4?6故答宰齒iJj直三棱柱曲的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若曲二血二44二2血二120,則此球的表面積等于解:在UEC中血=曲=2占曲=120,可得占= 2抽,由正弦定理，可